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- 2021-06-16 发布
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巴蜀中学2020届高考适应性月考卷(六)
文科数学
一、选择题
1.已知集合,,则( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
解一元二次不等式化简集合,求出再与取交集,即可得答案.
【详解】∵或,
∴.
故选:B.
【点睛】本题考查集合的交、补运算,考查运算求解能力,属于基础题.
2.设复数,则( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出,根据复数的除法运算法则,即可求解.
【详解】
.
故选:C.
- 23 -
【点睛】本题考查共轭复数、复数的代数运算,属于基础题.
3.在等差数列中,若,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用等差数列的性质,将已知式子和所求式子都转化为,即可求解
【详解】因为在等差数列中,,
所以.
故选:B.
【点睛】本题考查等差数列性质的应用,属于基础题.
4.命题“,”的否定形式是( )
A. ,
B. ,
C. ,
D. ,
【答案】D
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定形式,即可求出结论.
【详解】,,
全称命题的否定是先改变量词,然后否定结论,
故所求的否定是“,”.
故选:D.
【点睛】本题考查命题的否定形式,要注意量词之间的转化,属于基础题.
5.在区间上随机取一个实数,则使的概率为( )
- 23 -
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用对数函数的单调性,求出满足的的范围,根据几何概型的概率公式,即可求解.
【详解】由,得,
所求概率为.
故选:B.
【点睛】本题考查几何概型长度型概率,属于基础题.
6.函数的最大值是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据辅助角公式,将函数化为正弦型函数,即可求解.
【详解】
,
所以函数的最大值为13.
故选:A.
【点睛】本题考查三等变换化简函数以及三角函数性质,熟记公式是解题的关键,属于基础题.
- 23 -
7.若实数满足不等式组则的最大值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
分析】
作出不等式组表示的平面区域,将目标函数变形为,作出直线,将直线平移,由图判断出直线过过点 时,取得最大值,可得选项.
【详解】画出不等式表示的平面区域如下图所示:
由得,,平移直线,由图象可知当直线过点 时,直线的纵截距最大,
此时取得最大值,最大值为:,
故选:D.
【点睛】本题考查不等式组所表示的平面的区域,线性规划中目标函数的最值问题,可以从明确目标函数的几何意义入手,运用数形结合的思想求得最值,属于基础题.
8.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列选项正确的是( )
A. 若,,且,则
B. 若,,且,,则
C. 若,,且,则
D. 若,,且,则
- 23 -
【答案】C
【解析】
【分析】
根据空间线、面平行平行、垂直关系,逐项判断.
【详解】由是两条不同的直线,是两个不同的平面,
知:在A中,若,,且,
则与相交或平行,故A错误;
在B中,若,,且∥,∥,
则与相交或平行,故B错误;
在C中,若,且,
设,在平面内做,则,
又,所以∥,因为,所以,
所以,故C正确;
在D中,若∥,∥,且∥,
则与相交,平行或异面,故D错误.
故选:C.
【点睛】本题考查空间有关线、面位置关系的判断,熟记定理是解题的关键,属于基础题.
9.已知正实数,则“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
由可得,成立,则成立;成立,可举例说明不一定成立,根据充分必要条件的定义,即可得出结论.
- 23 -
【详解】不充分性:,;
必要性:∵,∴.
故选:B.
【点睛】本题考查必要不充分条件的判断,属于基础题.
10.如图,在直三棱柱中,为等边三角形,,,则三棱柱的外接球的表面积为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直三棱柱中,上下底面平行且全等,可得直三棱柱外接球的球心为上下底面外接圆圆心连线的中点,求出底面外接圆半径,即可求解.
【详解】如下图所示,取,的外接圆的圆心分别为,
连接,取的中点,
则是三棱柱的外接球的球心,
设的外接圆的半径为,
三棱柱的外接球的半径为,
由正弦定理得,∵,
- 23 -
∴,即,又,
所以,所以,
所以外接球的表面积为.
故选:B.
【点睛】本题考查多面体与球的“外接”“内切”问题,确定球心位置是解题关键,属于中档题.
11.已知分别是双曲线的左、右焦点,直线与双曲线的一条渐近线交于点,且,则双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知得,直线过焦点且与渐近线平行,则与另一渐近线交于点,将直线方程与联立,求出点坐标,利用,建立关系,即可求解.
【详解】双曲线的渐近线方程为,
与直线相交的渐近线的直线方程为,
- 23 -
直线与联立,
得到的坐标为,
,∴,
∴,∴,∴.
故选:C.
【点睛】本题考查双曲线的性质,考查计算求解能力,属于基础题.
12.已知定义在上的函数满足,对任意的实数,且,,则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意设新函数,则可得,又因为即可算出,再根据,得到函数是增函数,根据增函数的定义即可求出的解.
【详解】解:设,
则,
,
对任意的,且,,
得,
即,
- 23 -
所以在上是增函数,
不等式即为,
所以,.
故选:B
【点睛】本题考查函数的单调性解不等式,属于中档题.
二、填空题
13.若向量与的夹角为,,,则______.
【答案】
【解析】
【分析】
由已知可得,根据向量数量积性质,转化为求的值,由向量的数量积运算律即可求解.
【详解】,
.
故答案为:.
【点睛】本题考查向量的模长、向量的数量积运算,考查计算求解能力,属于基础题.
14.在中,若,,,则______.
【答案】
【解析】
分析】
根据余弦定理,建立方程,求解即可.
【详解】由余弦定理得
整理得,解得或(舍去).
故答案为:3.
【点睛】本题考查应用余弦定理解三角形,属于基础题.
- 23 -
15.函数的单调递增区间为______.
【答案】(也可以为)
【解析】
【分析】
先求出函数的定义域,根据二次函数的单调性和对数函数的单调性,即可求解.
【详解】函数有意义须,解得,
要使函数单调递增,
则应使函数单调递减,
函数的单调递减区间为,
结合定义域可得函数的单调递增区间为.
故答案为:
【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性,研究函数性质要注意定义域优先原则,属于基础题.
16.焦点为的抛物线上有不同的两点,且满足,若线段的中点到抛物线的准线的距离为,则______.
【答案】
【解析】
【分析】
抛物线的焦点,设,根据抛物线的定义可得,设直线方程为,与抛物线方程联立求出,转化为,建立的方程,进而求出,即可求解.
【详解】法一:抛物线的焦点,准线方程为,
- 23 -
设,又,
三点共线,设其方程为,,
线段的中点到抛物线的准线的距离为,
,
联立消去得,①
,
当时,方程①为,
解得或,,
同理.
法二:不妨设点在第一象限,作准线于点,
作准线于点,作准线于点,
∵,
∴.设直线的倾斜角为,
,
∴,∴.
故答案为:3
- 23 -
【点睛】本题考查抛物线方程和性质,以及直线与抛物线的位置关系,焦点弦要注意焦半径公式的灵活应用,考查计算求解能力,属于中档题.
三、解答题
17.在数列中,前项和为,若,数列为等比数列,.
(1)求;
(2)求数列的前项和.
【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】
(1)设的公比为,根据已知得到,即可求出;
(2)由(1)结论求出数列的通项公式,进而得到的通项公式,根据其特征求出前项和.
【详解】(1)由数列为等比数列,
由,则,,
- 23 -
,有,则.
(2)由(1),,
,
所以则
当时,
,
又符合,所以.
【点睛】本题考查等比数列的通项公式基本量的运算与其前项和的求解,以及由前项和求通项,考查计算求解能力,属于中档题.
18.某学校高三年级在开学时举行了入学检测.为了了解本年级学生寒假期间历史的学习情况,现从年级名文科生中随机抽取了名学生本次考试的历史成绩,得到他们历史分数的频率分布直方图如图.已知本次考试高三年级历史成绩分布区间为.
(1)求图中的值;
- 23 -
(2)根据频率分布直方图,估计这名学生历史成绩的平均分,众数;(每组数据用该组的区间中点值作代表)
(3)已知该学校每年高考有%的同学历史成绩在一本线以上,用样本估计总体的方法,请你估计本次入学检测历史学科划定的一本线该为多少分?
【答案】(1);(2)平均数为,众数为;(3)分
【解析】
【分析】
(1)根据频率和为,即可求出的值;
(2)根据频率直方图,取频率最大组的中值即为众数;由平均数公式即可求出结论;
(3)先确定从小到大概率和为所在的组,以及在该组所在的比例,即可求出结果.
【详解】(1)依题意得,,
解得;
(2)估计这名学生历史成绩的平均分为,
,
众数为;
(3)的频率和为,的频率为
所以估计本次入学检测历史学科划定的一本线为.
【点睛】本题考查补全频率分布直方图,并利用频率直方图求众数、平均数以及估计百分比数,属于基础题.
19.如图,在三棱台中,,.若点为的中点,点为靠近点的四等分点.
- 23 -
(1)求证:平面;
(2)若三棱台的体积为,求三棱锥的体积.
注:台体体积公式:,或在分别为台体上下底面积,为台体的高.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
【分析】
(1)取的中点,连接,可得∥,再由已知可证四边形为平行四边形,得∥,进而有∥,即可证明结论;
(2)根据已知可得三棱台的高为,可得平面,再结合已知可证平面,应用,即可求解.
【详解】(1)如图3,取的中点,连接.
在中,由为中点,有∥.
由棱台的性质知∥,与相似,
且,则有,
所以有∥,
所以四边形为平行四边形,
则∥,所以∥,又平面,
平面,所以∥平面.
- 23 -
(2)设三棱台的高为,,
则体积,则,故平面.
由,,,所以平面.
,为中点,
,
所以.
【点睛】本题考查空间线、面位置关系,证明直线与平面平行以及几何体的体积,空间垂直关系的应用是解题的关键,注意等体积法的运用,属于中档题.
20.已知椭圆的右焦点为,上顶点为,右顶点为.若(为坐标原点)的三个内角大小成等差数列.
(1)求椭圆的离心率;
(2)直线与椭圆交于两点,设直线,若面积的最大值为,且该椭圆短轴长小于焦距,求椭圆的标准方程.
【答案】(1)或;(2)
【解析】
【分析】
- 23 -
(1)由已知可得或,并且,在中,即可求出离心率;
(2)根据已知条件可得,进而有,椭圆方程化为,直线过,设,,,直线方程与椭圆方程联立,得到关系,将表示为的函数,根据函数特征,求出最大值,建立的方程,求解即可.
【详解】(1)的三个内角大小为,,,
又,则或.
所以椭圆的离心率或.
(2)由,所以中,,
,则.
设椭圆的标准方程为,
直线,,.
直线与椭圆方程联立
消去得,
所以
所以
- 23 -
,
令,,
则,当时,恒成立,
故在上单调递减,.
所以时,,
故椭圆的标准方程为.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质,以及直线与椭圆的位置关系,要掌握根与系数关系设而不求的方法处理相交弦的问题,考查计算求解能力,属于较难题.
21.函数.
(1)若函数在处的切线为,求函数的单调递增区间;
(2)证明:对任意时,.
【答案】(1);(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)求出,由,建立方程关系,求解,得到,求出的解即可;
(2)作差并化简,只需证明,设,只需证明,转化为证明
- 23 -
,构造函数,,利用的单调性即可证明结论.
【详解】(1)解:,
由题有
所以,
又定义域为,,
所以函数的单调递增区间为.
(2)由(1)有,
,
由
,
下证,等价于.
设,由,则.
原式等价于:.
- 23 -
设,,
恒成立,所以在上单调递增,
,得证.
【点睛】本题考查函数导数的综合应用,涉及到导数的几何意义、单调区间、不等式的证明等知识,考查等价转化思想,以及逻辑推理和数学计算能力,属于较难题.
22.点的极坐标为,圆的极坐标方程为.点为圆上一动点,线段的中点为点.
(1)求点的轨迹方程;
(2)设线段的中点为点,直线过点且与圆交于两点,直线交轨迹于两点,求的最小值.
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
(1)根据点为圆上一动点,N为线段的中点设点,点为,有,得到 代入圆的方程整理即可.
(2)根据点为圆的圆心,则,得到,设直线(为参数),代入圆有,再由求解.
【详解】(1)点的直角坐标为,圆的标准方程为.
- 23 -
设点,点为,有
代入,得,
即,
所以点的轨迹方程为.
(2)点,点坐标为为圆的圆心,,
所以,设直线(为参数),
代入圆,得,
即,
所以
所以
.
【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法,直线与圆的位置关系以及直线参数方程的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.
23.已知函数.
(1)当时,解关于的不等式;
(2)已知,求函数的最小值.
【答案】(1)(2)
【解析】
【分析】
(1)利用绝对值的几何意义,去掉绝对值求解.
- 23 -
(2)根据,利用绝对值三角不等式得到,再根据,利用不等式的基本性质求解.
【详解】(1)当时,
等价于或或
解得.
所以原不等式的解集是.
(2)
,当且仅当时,取“”
因为,所以,
所以当时,函数的最小值为.
【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法以及绝对值三角不等式的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.
- 23 -
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