湖南省株洲市第二中学2020届高三下学期4月模拟考试数学试题 Word版含解析 25页

- 1 - 2020 年高考(4 月份)数学模拟试卷 一､选择题. 1. 已知集合 ， ，则集合 不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 集合 是数集，求出函数 值域， ， 是 的子集，根据选 项可得. 【详解】 , 即 ， ,又 故选：D 【点睛】本题考查集合交集运算. 交集运算口诀：“越交越少，公共部分”. 2. 设复数 的共轭复数为 且满足关系 ，那么 等于 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先设 根据题意得到方程组，求解，即可得出结果 【详解】设 则 . . 故选：A. 【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记复数模的计算公式，以及共轭复数的概念即可，属 于常考题型. . { }| 2 1,xM y y x R−= = + ∈ M N N= N ∅ M 1 3| 1x x  >    { 1,2}− M 2 1,xy x R−= + ∈ M N N= N M 2 1,xy x R −= + ∈ 1y∴ > (1, )M = +∞ M N N= N M∴ ⊆ { 1,2} M− ⊄ z 2z z i+ = + z 3 4 i+ 3 4 i− 3 4 i− + 3 4 i− − ,z x yi= + ,z x yi= + 2 2 2 ,z z x yi x y i+ = + + + = + 2 2 32 4 1 1 xx x y y y  = + + =∴ ⇒ =  = z∴ = 3 4 i+ - 2 - 3. 等比数列 的各项和均为正数， ， ,则 （ ） A. 14 B. 21 C. 28 D. 63 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题中的条件求出等比数列的公比 ，再根据 即可得到所求． 【详解】设等比数列的公比为 ， ∵ ， ， ∴ ， 即 ，解得 或 ， 又 ， ∴ ， ∴ ． 故选 C． 【点睛】本题考查等比数列项的运算，解题时注意将问题转化为基本量（首项和公比）的运 算，另外解题时还需注意数列中项之间性质的灵活应用，以减少计算量、提高解题的效率． 4. 若 x,y 满足约束条件 的取值范围是 A. [0,6] B. [0,4] C. [6, D. [4, 【答案】D 【解析】 解：x、y 满足约束条件 ，表示的可行域如图： 目标函数 z=x+2y 经过 C 点时，函数取得最小值， 由 解得 C（2，1）， 目标函数的最小值为：4 { }na 1 1a = 1 2 3 7a a a+ + = 3 4 5a a a+ + = q 3 5 2 4 1 2 3)(a a a a a qa+ + = + + q 1 1a = 1 2 3 7a a a+ + = 2 1 2(1 ) 1 7q qa q q+ + = + =+ 2 6 0q q+ − = 2q = 3q = − 0na > 2q = 3 4 5 1 2 3 2( ) 4 7 28a a a a a aq+ + = + = × =+ x 0 x+y-3 0 z 2 x-2y 0 x y ≥  ≥ = +  ≤ ，则 +∞） +∞） - 3 - 目标函数的范围是[4，+∞）． 故选 D． 5. 如图， ， 分别是边长为 4 的等边 的中线，圆 是 的内切圆，线段 与圆 交于点 .在 中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用等边三角形中心的性质，求得内切圆的半径和阴影部分面积，再根据几何概型计算公式 计算出所求的概率. 【 详 解 】 在 中 ， ， ， 因 为 ， 所 以 ， 即 圆 的 半 径 为 ， 由 此 可 得 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 等 于 ， 的面积为 ，故所求概率 .故选 A. 【点睛】本题考查几何概型问题，考查数据处理能力和应用意识.属于中档题. 6. 已知等边三角形 的边长为 2，其重心为 ，则 （ ） CD BE ABC∆ O ABC∆ OB O F ABC∆ 3 54 π 18 π 3 27 π 3 108 π BOD∆ 90ODB∠ = ° 30OBD∠ = ° 1 22BD AB= = 2 32tan30 3OD = ° = O 2 3 3 2 1 2 3 2 6 3 9 ππ  × × =    ABC∆ 4 3 2 3 549 4 3 P π π= = × ABC G BG CG⋅ =  - 4 - A. 2 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 分析】 以 中垂线为 轴建立坐标系，利用重心求出 点坐标，再求出向量坐标，运用向量数量 积坐标进行计算 【详解】如图所示建立平面直角坐标系. 则 ， ， ， 重心为 ， 点 的坐标为 . 则 ， ，所以 . 故选：C． 【点睛】本题考查平面向量数量积的运算 (1)根据定义计算数量积的思路：根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向 量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求 解. (2)利用坐标计算数量积的方法：先根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标，求解过 程要注意方程思想的应用；再根据数量积的坐标公式进行运算即可． 7. “十一”黄金周来临，甲、乙、丙三个大学生决定出去旅游，已知一人去泰山，一人去西 嶽，一人去云南.回来后，三人对自己的去向，作如下陈述： 甲：“我去了泰山，乙去了西藏 ” 乙：“甲去了西藏，丙去了泰山.” 【 . 1 4 − 2 3 − BC y G ( 1,0)B − (1,0)C (0, 3)A G ∴ G 3(0, )3 3(1, )3BG = 3( 1, )3CG = − 3 3 21 1 3 3 3BG CG ⋅ = − × + × = − - 5 - 丙：“甲去了云南，乙去了泰山.” 事实是甲、乙、丙三人的陈述都只对了一半. 根据如上信息，可判断下面正确的是（ ） A. 甲去了西藏 B. 乙去了泰山 C. 丙去了西藏 D. 甲去了云 南 【答案】D 【解析】 【分析】 对甲：“我去了泰山，乙去了西藏.”的陈述进行判断，验证甲、乙、丙三人的陈述都只对了 一半的事实是否成立，可得答案 【详解】若甲的陈述“我去了泰山”正确，则“乙去了西藏”错误，则乙去了云南，丙去了 西藏， 则乙丙的陈述都错误；若甲的陈述“我去了泰山” 错误，则“乙去了西藏” 正确，则甲去了 云南，丙去了泰山，验证乙丙的陈述都说对了一半，符合题意. 故选：D． 【点睛】本题考查逻辑推理能力.在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用 综合法展现解决问题的过程． 8. 在数列 中，已知 ，且对于任意的 ，都有 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 令 ， 代 入 已 知 可 得 ， 将 变 形 为 ： ， 即 可 求 得 ， 裂 项 得 ： ，问题得解 { }na 1 1a = *,m n∈N m n m na a a mn+ = + + 2019 1 1 i ia= =∑ 2019 2020 2018 2019 2019 1010 2021 1010 1m = 1 1n na a n+ − = + na ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1...n n n n na a a a a a a a− − −= − + − + + − + ( )1 2n n na += ( ) 1 2 1 121 1na n n n n  = = − + +  - 6 - 【详解】因为对于任意的 ，都有 ， 取 ，有 ，即 ， 则 ， 所以 ， 所以 . 故选 C 【点睛】本题主要考查了等差数列前 项和公式、裂项求和、赋值法，还考查计算能力及转化 能力，属于中档题． 9. 已知 ，若 ，则 （ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据题中条件求出 ，再将 代入解析式，即可得出结果. 【详解】因为 ， ， 所以 ，因此 ，故 ； 所以 . 故选 B 【点睛】本题主要考查函数求值问题，根据题意先求出参数，进而可求出结果，属于常考题 型. 10.已知函数 ，函数 ，若函数 恰有三个 零点，则实数 的取值范围是（ ） *,m n∈N m n m na a a mn+ = + + 1m = 1 1n na a n+ = + + 1 1n na a n+ − = + ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1...n n n n na a a a a a a a− − −= − + − + + − + ( ) ( )11 ... 2 1 2 n nn n += + − + + + = ( ) 1 2 1 121 1na n n n n  = = − + +  2019 1 1 1 1 1 1 12 1 ...2 2 3 2019 2020i ia=  = − + − + + −  ∑ 1 20192 1 2020 1010  = − =   n 21( ) sin sinf x x axx = + + ( ) 22f π π= + ( )2f π− = 2 π− 2π − π 4a π= 2x π= − 21( ) sin sinf x x axx = + + ( ) 22f π π= + 2 ( ) 1 1 22 4 af π π π= + + = + 2 4 aπ π= 4a π= 24( ) 1 1 22 4f π π ππ− = − − + × = − + 2 3 1, 0( ) 2, 0 x xf x x x  − − ≥= − + < ( )g x mx= ( ) 2 ( )y f x g x= − m - 7 - A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根 据 所 给 函 数 ， 画 出 函 数 图 象 ， 根 据 及 恰有三个零点，即可根据图象判断 m 的取值范围． 【详解】由题意，画出函数 的图象如下图所示： 恰有三个零点 即 有三个不同交点，即 有三个不同交点 由图象可知，当直线斜率在 之间时，有三个交点 即 所以 可得 所以选 A 【点睛】本题考查了函数图象的画法，根据零点个数求参数的取值范围，属于中档题． 11. 如图，直角梯形 ， ， ， ， 是边 中点， 沿 翻折成四棱锥 ，则点 到平面 距离的最大值为（ ） 1 1( , )6 2- 1( ,1)3 − 1( , )6 − +∞ 1( , )2 −∞ ( ) 2 3 1, 0 2, 0 x xf x x x  − − ≥=  − + < ( )g x mx= ( ) ( )2y f x g x= − ( ) 2 3 1, 0 2, 0 x xf x x x  − − ≥=  − + < ( ) ( )2y f x g x= − ( ) ( )2f x g x= ( ) 2f x mx= OAk , OBk 2OA OBk m k< < 1 2 13 m− < < 1 1 6 2m− < < ABCD 90ABC∠ =  2CD = 1AB BC= = E CD ADE∆ AE D ABCE′− C ABD′ - 8 - A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意得在四棱锥 中 平面 ．作 于 ，作 于 ，连 ，可证得 平面 ．然后作 于 ，可得 即为点 到 平面 的距离．在 中，根据等面积法求出 的表达式，再根据基本不等式求 解可得结果． 【详解】由翻折过程可得，在如图所示的四棱锥 中，底面 为边长是 1 的正 方形，侧面 中， ，且 ． ∵ ， ∴ 平面 ． 作 于 ，作 于 ，连 ， 则由 平面 ，可得 ， ∴ 平面 ． 又 平面 ， ∴ ． ∵ ， ， ∴ 平面 ． 在 中，作 于 ，则 平面 ． 1 2 2 2 1 D ABCE′− AE ⊥ D CE′ D M CE′ ⊥ M MN AB⊥ N D N′ AB ⊥ D MN′ MH D N′⊥ H MH C ABD′ D MN′∆ MH D ABCE′− ABCE D EA′ D E AE′ ⊥ 1DE AE′ = = , ,AE D E AE CE D E CE E′ ′⊥ ⊥ = AE ⊥ D CE′ D M CE′ ⊥ M MN AB⊥ N D N′ AE ⊥ D CE′ DM AE′ ⊥ D M′ ⊥ ABCE AB Ì ABCE DM AB′ ⊥ MN AB⊥ D M MN M′ = AB ⊥ D MN′ D MN′∆ MH D N′⊥ H MH ⊥ ABD′ - 9 - 又由题意可得 平面 ， ∴ 即为点 到平面 的距离． 在 中， ， 设 ，则 ， ∴ ． 由 可得 ， ∴ ，当 时等号成立，此时 平面 ， 综上可得点 到平面 距离的最大值为 ． 故选 B． 【点睛】本题综合考查立体几何中的线面关系和点面距的计算，解题的关键是作出表示点面 距的垂线段，另外根据线面平行将所求距离进行转化也是解答本题的关键．在求得点面距的 表达式后再运用基本不等式求解，此时需要注意等号成立的条件，本题难度较大． 12. 已知函数 是定义在 上 偶函数，设函数 的导函数为 ，若对任意 都有 成立，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 设 在 上是增函数，易得 是偶函数 ， 故选 A. 【点睛】本题考查函数的奇偶性、函数与方程、函数与不等式、导数的应用，涉及函数与方 程思想、分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、 运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先 的 CE  ABD′ MH C ABD′ Rt D MN′∆ , 1D M MN MN′ ⊥ = DM x′ = 0 1x D E′< ≤ = 21DN x′ = + D M MN D N MH′ ′⋅ = ⋅ 21x x MH= + ⋅ 2 2 1 2 211 1 xMH x x = = ≤ + + 1x = D E′ ⊥ ABCE C ABD′ 2 2 ( )f x R ( )f x ( )′f x 0x > 2 ( ) ( ) 0f x xf x′+ > 4 ( 2) 9 (3)f f− < 4 ( 2) 9 (3)f f− > 2 (3) 3 ( 2)f f> − 3 ( 3) 2 ( 2)f f− < − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2' 2 ' 2 0g x x f x g x xf x x f x x f x xf x g x = ⇒ = + = + > ⇒ ′ [ )0,+∞ ( )g x ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 2 2 2 3 9 3f g g g f⇒ − = − = < = - 10 - 在 上是增函数，易得 是偶函数 ，故选 A. 二､填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 已知函数 ，则函数 的图象在 处的切线方程为_______. 【答案】 【解析】 【分析】 函数求导， ，计算 ，点斜式方程写出切线方程. 【详解】 , , 点 点斜式方程 写出切线方程： 故答案为： 【点睛】本题考查求“在”曲线上一点处的切线方程. 其方法：求“在”曲线 上一点 处的切线方程：点 为切点，切线斜 率为 ，有唯一的一条切线，对应的切线方程为 14. 已知二项式 的展开式中，二项式系数之和为 64，含 的项的系数为 ，则 _______. 【答案】2 【解析】 【分析】 利用二项式系数之和为 64，求出 ，利用二项展开式得到 求出参数 . 【详解】 二项式系数之和为 64, , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2' 2 ' 2 0x x f x g x xf x x f x x f x xf x g x = ⇒ = + = + > ⇒ ′ [ )0,+∞ ( )g x ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 2 2 2 3 9 3f g g g f⇒ − = − = < = 8 1( ) ln( 1) 1 xf x x x −= − − + ( )f x 2x = 5y = − 2 1( ) 1 9 ( 1)f x x x ′ = −− + (2)k f ′= 2 1( ) 1 9 ( 1)f x x x ′ = −− + (2)=0k f ′= (2, 5)− 0 0 0( ))(y y f x x x- ¢ -＝ 2)5 (y x＝0+ ´ - 5y＝- 5y＝- ( )y f x＝ 0 0( , )P x y 0 0( , )P x y 0( )k f x¢＝ 0 0 0( ))(y y f x x x- ¢ -＝ 1( ) ( 0)nx a a x + > 3x 15 4 a = n 3x a  2 64n = 6n = - 11 - 得 ， 的项的系数为 ， 令 ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查二项定理. 二项展开式问题的常见类型及解法 (1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第 项，再由特定项的特点求出 值即 可． (2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第 项， 由特定项得出 值，最后求出其参数． 15. 如图，点 是抛物线 的焦点，点 分别在抛物线 和圆 的实线部分上运动，且 总是平行于 轴，则 周长的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】 求出抛物线 的焦点 ，准线方程为 ， 三角形周长转化 为 ，求出 范围可解. 【详解】抛物线 的焦点 ，准线方程为 ， 圆 的圆心 ， 61( ) ( 0)x a a x ∴ + > 36 2 1 6 kk k kT C a x -- + = 3x 15 4 36 32 k- = 2k = 2 2 6 15= 4C a- 2a = 2 1k + k 1k + k F 2: 4C x y= ,A B C 2 2( 1) 4x y+ − = AB y AFB△ (4,6) 2: 4C x y= (0,1)F 1y = − 1,AAF y= + + + 3+ BFB AF AB y= By 2: 4C x y= (0,1)F 1y = − 2 2( 1) 4x y+ − = (0,1)F 2R = 2, 1,A B AFB AF y AB y y = = + = - - 12 - 三角形周长为： 周长的取值范围是 故答案为： 【点睛】利用抛物线的定义解决问题时，应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线 距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线 距离有关问题的有效途径． 16. 三棱锥 中，底面 是边长为 3 的等边三角形，侧面 为等腰三角形， 且腰长为 ，若 ，则三棱锥 外接球表面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意，将题中所述三棱锥在直三棱柱中进行截取，再求三棱柱的外接球半径，即为所求 外接球的半径，结合球的表面积公式即可求得结果. 【详解】∵三棱锥 中，底面△ 是边长为 的等边三角形， 侧面三角△ 为等腰三角形，且腰长为 ， ， ∴ ， ， ∴ ⊥ ， ⊥ ， ∵ ，∴ ⊥平面 ， ∴将三棱锥还原成三棱柱 ， ∴ + + 2+ 1+ =3+A B A BFB AF AB y y y y = + - 1 3By< < AFB△ (4,6) (4,6) A BCD− BCD∆ ACD∆ 13 2AB = A BCD− 16π A BCD﹣ BCD 3 ACD 13 2AB = 2 2 2AB BC AC+ = 2 2 2AB BD AD+ = AB BC AB BD BC BD B∩ = AB BCD AEF BCD﹣ - 13 - 则上下底面中心 的连线的中点 为三棱锥 外接球的球心， 如图， ， ， =2， ∴三棱锥 外接球表面积 ． 故答案为： ． 【点睛】空间几何体与球接、切问题 求解方法 求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为 平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解． 若球面上四点 ， ， ， 构成的三条线段 ， ， 两两互相垂直，且 ， ， ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用 求解． 三､解答题 17. 在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ． （1）若 ，且 为锐角三角形， ， ，求 的值； （2）若 ， ，求 的取值范围． 【答案】（1）b＝5（2） 【解析】 的 1 2,O O O A BCD﹣ 2 2 2 3 3 33 3 2BO BF= = × × = 2 1 2 1 12O O O O= = BO = 2 2 2 2BO O O+ A BCD﹣ 24 4 4 16S rπ π π= = × = 16π ( )1 ( )2 P A B C PA PB PC PA a＝ PB b＝ PC c＝ 2 2 2 24R a b c= + + ABC∆ A B C a b c 223cos cos2 0A A+ = ABC 7a = 6c = b 3a = 3A π= b c+ ( 3 2 3b c + ∈ ， - 14 - 【分析】 （1）运用二倍角的余弦公式，化简整理可得 ，再由余弦定理，解方程可得 ； （2）运用正弦定理和两角和差的正弦公式，以及正弦函数的图象和性质，即可得到所求范围 ； 【详解】解：（1） ， ，又 为锐角， ， 而 ，即 ， 解得 或 （舍去）， ； （2）由正弦定理可得 ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，三角形的正弦定理和余弦定理的运用，以及运算能 力，属于中档题． 18. 如图四棱锥 中， 底面 ， 是边长为 2 的等边三角形，且 ， ，点 是棱 上的动点. （I）求证：平面 平面 ； cos A b 2 2 223cos cos2 23cos 2cos 1 0A A A A+ = + − = ∴ 2 1cos 25A = A 1cos 5A = 2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 12 13 05b b− − = 5b = 13 5b = − 5b∴ = 22(sin sin ) 2 sin sin 2 3sin3 6b c B C B B B π π    + = + = + − = +          20 3B π< < ∴ 5 6 6 6B π π π< + < ∴ 1 sin 12 6B π < +   ∴ ( 3,2 3]b c+ ∈ P ABCD− PA ⊥ ABCD ACD∆ 2AB BC= = 2PA = M PC PAC ⊥ PBD - 15 - （Ⅱ）当线段 最小时，求直线 与平面 所成角的正弦值. 【答案】（I）证明见解析；（Ⅱ） ． 【解析】 【分析】 （Ⅰ）由 底面 可得 ．取 的中点 ，连接 ，根据等腰三角 形的性质可得 ，于是得到 平面 ，根据面面垂直的判定可得所证结论．（ Ⅱ）取 中点 ，连接 ，可证得 ，建立空间直角坐标系．然后根据向量的 共线得到点 的坐标，再根据线段 最短得到点 的位置，进而得到 ．求出平面 的法向量后根据线面角与向量夹角间的关系可得所求． 【详解】（Ⅰ）证明：∵ 底面 ， 底面 ， ∴ ． 取 的中点 ，连接 ， ∵ 是等边三角形， ， ∴ ， ， ∴点 共线，从而得 ， 又 ， ∴ 平面 ， ∵ 平面 ， ∴平面 平面 . MB MB PBD 30 10 PA ⊥ ABCD PA BD⊥ AC O ,OB OD AC BD⊥ BD ⊥ PAC CP E OE , ,OC OD OE M MB M BM PBD PA ⊥ ABCD BD ⊂ ABCD PA BD⊥ AC O ,OB OD ACD∆ AB BC= AC OB⊥ AC OD⊥ , ,O B D AC BD⊥ PA AC A= BD ⊥ PAC BD ⊂ PBD PAC ⊥ PBD - 16 - （Ⅱ）解：取 中点 ，连接 ，则 ， ∴ 底面 ， ∴ 两两垂直． 以 为原点如图建立空间直角坐标系 ， 则 ， ∴ , 设平面 的法向量为 ， 由 ，得 ， 令 ，得 ． 设 ，则 ， ∴ ， ∴当 时， 有最小值，且 ，此时 ． 设直线 与平面 所成角为 ， 则 ， CP E OE //OE PA EO ⊥ ABCD , ,OC OD OE O Oxyz ( ) ( ) ( ) ( )0, 1,0 , 1,0,0 , 0, 3,0 , 1,0,2B C D P− − ( ) ( )0, 3 1, 0 , 1,1, 2BD BP= + = −  PBD ( ), ,n x y z= ( )3 1 0 2 0 n BD y n BP x y z  ⋅ = + = ⋅ = − + + =   0 2 y x z =  = 1z = ( )2,0,1n = ( )0 1CM CP λ λ= ≤ ≤ ( )1 2 ,1,2BM BC CM λ λ= + = −   ( ) ( ) 2 2 22 1 31 2 1 2 8 4 2BM λ λ λ = − + + = − +    1 4 λ = BM min 6 2BM = 1 1,1,2 2BM  =     MB PBD θ 11| | 302sin cos< , > 10| 3 52 | || BM nBM n BM n θ + = = = = × ⋅     - 17 - ∴直线 与平面 所成角的正弦值为 ． 【点睛】空间向量的引入，为解决立体几何中的探索性问题提供了新的解决方法，即根据计 算可解决探索性问题．解答空间角的有关问题时，可转化为向量的数量积问题来处理，但要 注意向量的夹角与空间角的关系，在进行代数运算后还需要再转化为几何问题，属于中档题． 19. 已知椭圆 经过点 ，离心率为 . （1）求椭圆 的方程； （2）设点 分别为椭圆的右顶点、右焦点，经过点 作直线交椭圆于 ， 两点，求四 边形 面积的最大值（ 为坐标原点）. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）点 代入椭圆方程，离心率 与 联立求解椭圆方程； （2）设直线 方程 ，与椭圆联解，利用根与系数关系及三角形面积公式得四边 形面积，再利用换元法和对勾函数单调性求出四边形面积的最大值. 【详解】点 代入椭圆方程 ， 又离心率 与 ，则 椭圆 的方程为： （2）设直线 方程为 , 化简得： ， MB PBD 30 10 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b + = > > (0, 3)− 1 2 E ,A F F C D OCAD O 2 2 14 3 x y+ = 3 (0, 3)− 1 2 c a = 2 2 2a b c= + CD 1x ky= + (0, 3)− 2 2 0 3 1a b + = 2 3b = 1 2 c a = 2 2 2a b c= + 2 4a = E 2 2 14 3 x y+ = CD 1x ky= + 1 1 2 2( , ), ( , )C x y D x y 2 2 14 3 1 x y x ky  + =∴  = + 2 2(3 4) 6 9 0k y ky+ + − = 2 21 6 3+ = ,4 ky y k + - 1 2 2 9 3 4y y k = − + - 18 - 四边形 面积： 令 ， 在 上单增， ，当且仅当 即 时等号成立. 四边形 面积的最大值为 3 【点睛】与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法 (1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围． (2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围． (3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围． (4)利用一元二次方程的判别式求最值或取值范围． 20.十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地 区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增 加.为了更好的制定 2019 年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办 统计了 2018 年 50 位农民的年收入并制成如下频率分布直方图： 附：参考数据与公式 ，若 ，则① ；② ；③ . （1）根据频率分布直方图估计 50 位农民的年平均收入 （单位：千元）（同一组数据用该组 OCAD 1 2 1 1= 2 22 2OCA ODAS S S y yD D+ = ´ ´ + ´ ´ 2 1 2 1 2 1 2( ) 4y y y y y y= - = + - 2 2 12 1= 3 4 k k + + 2 1( 1)t k t= + ³ 2 12 12 13 1 3 tS t t t = =+ + 1t ≥ 13y t t = + [1, )+∞ 4y∴ ≥ 12 313 S t t = £ + 1t = 0k = OCAD 6.92 2.63≈ ( )2~ ,X N µ σ ( ) 0.6827P Xµ σ µ σ− < + = ( 2 2 ) 0.9545P Xµ σ µ σ− < + = ( 3 3 ) 0.9973P Xµ σ µ σ− < + = x - 19 - 数据区间的中点值表示）； （2）由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入 X 服从正态分布 ，其中 近似为年平均收入 近似为样本方差 ，经计算得： ，利用该正态分布，求： （i）在 2019 年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的 84.14%的农民的年收入高 于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元? （ii）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了 1000 位农 民.若每个农民的年收入相互独立，问：这 1000 位农民中的年收入不少于 12.14 千元的人数 最有可能是多少? 【答案】（1）17.4；（2）（i）14.77 千元（ii）978 位 【解析】 【分析】 （1）用每个小矩形的面积乘以该组中点值，再求和即可得到平均数； （2）（i）根据正态分布可得： 即可得解；（ii）根 据正态分布求出每个农民年收入不少于 12.14 千元的事件概率为 0.9773，利用独立重复试验 概率计算法则求得概率最大值的 k 的取值即可得解. 【详解】（1）由频率分布直方图可得： ； （2）（i）由题 ， ， 所以 满足题意，即最低年收入大约 14.77 千元； （ii） ， 每个农民年收入不少于 12.14 千元的事件概率为 0.9773， 记这 1000 位农民中的年收入不少于 12.14 千元的人数为 X， 恰有 k 位农民中的年收入不少于 12.14 千元的概率 得 ， 所以当 时， ，当 时， ( )2,N µ σ µ 2,x σ 2s 2 6.92s = 0.6827( ) 0.5 0.84142P X µ σ> − = + ≈ 12 0.04 14 0.12 16 0.28 18 0.36 20 0.1 22 0.06 24 0.04 17.4x = × + × + × + × + × + × + × = ( )~ 17.4,6.92X N 0.6827( ) 0.5 0.84142P X µ σ> − = + ≈ 17.4 2.63 14.77µ σ− = − = 0.9545( 12.14) ( 2 ) 0.5 0.97732P X P X µ σ≥ = ≥ − = + ≈ ( )1000,0.9773X B ( ) ( )1000 1000 0.9973 1 0.9973 kk kP X k C −= = − ( ) ( ) ( ) ( ) 1001 0.9773 11 1 0.9773 P X k k P X k k = − ×= >= − × − 1001 0.9773 978.2773k < × = 0 978k≤ ≤ ( ) ( )1P X k P X k= − < = 979 1000k≤ ≤ - 20 - ，所以这 1000 位农民中的年收入不少于 12.14 千元的人数最有可 能是 978 位. 【点睛】此题考查频率分布直方图求平均数，利用正态分布估计概率，结合独立重复试验计 算概率公式求解具体问题，综合性强. 21. 已知函数 ． （1）当 时，讨论函数 的单调性； （2）当 ， 时，对任意 ，有 成立，求实数 的取值范围 ． 【答案】（1）当 ， 时，函数 在 上单调递增；当 ， 时， 函数 在 上单调递减，在 上单调递增．（2） 【解析】 【分析】 （1）求出导数 对 分类讨论，明确函数函数 的单调性； （2）对任意 ，有 成立，等价于 ． ， 函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 为 与 中的较大者．再利用导数求解不等式即可. 【详解】（1）函数 的定义域为 ． 当 时， ，所以 ． 当 时， ，所以函数 在 上单调递增． 当 时，令 ，解得 ， ( ) ( )1P X k P X k= − > = ( ) ln bf x a x x= + ( )0a ≠ 2b = ( )f x 0a b+ = 0b > 1,eex  ∈   ( ) e 1f x ≤ − b 2b = 0a > ( )f x ( )0, ∞+ 2b = 0a < ( )f x 0, 2 a −    ,2 a − +∞    ( ]0,1 ( ) 22x af x x =′ + ， a ( )f x 1,eex  ∈   ( ) e 1f x ≤ − ( )max e 1f x ≤ − ( ) ( )1bb x f x x − ′ = ( )f x 1 ,1e     ( ]1,e ( )maxf x 1 ee bf b −  = +   ( )e ebf b= − + ( )f x ( )0, ∞+ 2b = ( ) 2lnf x a x x= + ( ) 222a x af x xx x =′ += + 0a > ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0, ∞+ 0a < ( ) 0f x′ = 2 ax = − - 21 - 当 时， ，所以函数 在 上单调递减； 当 时， ，所以函数 在 上单调递增． 综上所述，当 ， 时，函数 在 上单调递增； 当 ， 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增． （2）因为对任意 ，有 成立，所以 ． 当 即 时， ， ． 令 ，得 ；令 ，得 ． 所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 为 与 中的较大者． 设 ， 则 ， 所以 在 上单调递增，故 所以 ， 从而 ． 所以 即 ． 设 ，则 ． 所以 在 上单调递增． 又 ，所以 的解为 ． 因为 ，所以 的取值范围为 ． 0 2 ax< < − ( ) 0f x′ < ( )f x 0, 2 a −    2 ax > − ( ) 0f x′ > ( )f x ,2 a − +∞    2b = 0a > ( )f x ( )0, ∞+ 2b = 0a < ( )f x 0, 2 a −    ,2 a − +∞    1,eex  ∈   ( ) e 1f x ≤ − ( )max e 1f x ≤ − 0a b+ = = −a b ( ) ln bf x b x x= − + ( ) ( )1 1b b b xbf x bxx x − −−= =′ + ( ) 0f x′ < 0 1x< < ( ) 0f x′ > 1x > ( )f x 1 ,1e     ( ]1,e ( )maxf x 1 ee bf b −  = +   ( )e ebf b= − + ( ) ( ) 1e e e 2e b bg b f f b− = − = − −   ( )0b > ( ) 2 2 · 2 0b b b bg b e e e e− −= + − > − =′ ( )g b ( )0, ∞+ ( ) ( )0 0g b g> = ( ) 1e ef f  >    ( ) max f x  =  ( )e ebf b= − + e e 1bb− + ≤ − e e 1 0b b− − + ≤ ( )=e e 1bb bϕ − − + ( )0b > ( )=e 1 0bbϕ′ − > ( )bϕ ( )0, ∞+ ( )1 0ϕ = e e 1 0b b− − + ≤ 1b ≤ 0b > b ( ]0,1 - 22 - 【点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题： （1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 就可讨论参数不 同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若 恒成立，转 化为 ；（3）若 恒成立，可转化为 . 22. 已知曲线 的参数方程为 （ 为参数）， ， 为曲线 上的一动点. （I）求动点 对应的参数从 变动到 时，线段 所扫过的图形面积； （Ⅱ）若直线 与曲线 的另一个交点为 ，是否存在点 ，使得 为线段 的中点？ 若存在，求出点 坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）存在点 满足题意，且 . 【解析】 【分析】 （Ⅰ）先判断出线段 所扫过的图形由一三角形和一弓形组成，然后通过分析图形的特征并 结合扇形的面积可得所求．（Ⅱ）设 ，由题意得 ，然后 根据点 在曲线 上求出 后可得点的坐标． 【详解】（Ⅰ）设 时对应的点为 时对应的点为 ，由题意得 轴， 则线段 扫过的面积 . （Ⅱ）设 ， ， ∵ 为线段 的中点， ∴ ， ∵ 在曲线 上，曲线 的直角坐标方程为 ， ∴ ， 整理得 ， ( ) 0f x > min( ) 0f x > ( ) 0f x < max( ) 0f x < ( ) ( )f x g x> min max( ) ( )f x g x> C cos sin x y θ θ =  = θ ( )2,0A P C P 3 π 2 3 π AP AP C Q P P AQ P 6 π P 7 15,8 8P  ±    AP ( )cos ,sinP θ θ ( )2cos 2,2sinQ θ θ− Q C cos ,sinθ θ 3 πθ = 2, 3M πθ = N MN x AP 21 12 3 6AMN OMN OMNS S S S S π π ∆ ∆= + = + = = × × =弓形 弓形 扇形 ( )cos ,sinP θ θ ( )2,0A P AQ ( )2cos 2,2sinQ θ θ− Q C C 2 2 1x y+ = ( ) ( )2 22cos 2 2sin 1θ θ− + = 8cos 7θ = - 23 - ∴ ， ∴ ， ∴存在点 满足题意，且点的坐标为 ． 【点睛】本题考查参数方程及其应用，解题的关键是将问题转化为普通方程后再求解，考查 转化和计算能力，属于中档题． 23. 已知函数 ， . （1）若 ，解不等式 ； （2）若不等式 至少有一个负数解，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）当 时，利用零点分段法去绝对值，将不等式变为分段不等式来求得解集； （2）作出函数 的图象和函数 的图象,通过数形结合与分类讨论的数学思想方法求 得 的取值范围. 【详解】（1）若 ，则不等式 + 化为 2− ． 当 x≥1 时，2− ≥3，即 − ， 因为不等式对应的一元二次方程 ，故不等式无解； 当 时， ，即 ，解得 ． 综上，不等式 + ≥3 的解集为 ． （2）作出 的图象如图所示，当 时， 的图象如折线①所示， 7cos 8 θ = 2 15sin 1 cos 8 θ θ= ± − = ± P 7 15,8 8P  ±    2( ) 2f x x= − ( )g x x a= − 1a = ( ) ( ) 3f x g x+ ≥ ( ) ( )f x g x> a { }1 0x x− ≤ ≤ 9 ,24  −   1a = ( )f x ( )g x a 1a = ( )f x ( )g x 3≥ 2x 1 3x+ − ≥ 2x 1x+ − 2x 2 0x + ≤ 1 8 0= − < 1x < 22 1 3x x− − + ≥ 2x 0x+ ≤ 1 0x− ≤ ≤ ( )f x ( )g x { | 1 0}x x− ≤ ≤ y = ( )f x 0a < ( )g x - 24 - 由 ，得 ， 若相切，则 ，得 ， 数形结合知，当 时，不等式无负数解，则− ． 当 时，满足 > 至少有一个负数解． 当 时， 的图象如折线②所示， 此时当 时恰好无负数解，数形结合知， 当 时，不等式无负数解，则 ． 综上所述，若不等式 > 至少有一个负数解， 则实数 的取值范围是(− ，2)． 【点睛】本题考查含参绝对值不等式的求解，以及考查学生数形结合的能力，属中档题. 22 y x a y x = −  = − 2x 2 0x a+ − − = ( )1 4 2 0a∆ = + + = a = 9 4 − a ≤ − 9 4 9 4 0a< < 0a = ( )f x ( )g x 0a > ( )g x 2a = 2a ≥ 0 2a< < ( )f x ( )g x a 9 4 - 25 -