高中数学单元评估验收一达标检测含解析新人教A版必修5 12页

单元评估验收(一)‎ ‎(时间：120分钟　满分：150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．在△ABC中，a＝k，b＝k(k>0)，A＝45°，则满足条件的三角形有(　　)‎ A．0个　　　　　 B．1个 C．2个 D．无数个 解析：由正弦定理得＝，‎ 所以sin B＝＝>1，即sin B>1，这是不成立的．所以没有满足此条件的三角形．‎ 答案：A ‎2．在△ABC中，已知a＝，b＝2，B＝45°，则角A＝(　　)‎ A．30°或150° B．60°或120°‎ C．60° D．30°‎ 解析：由正弦定理＝得，sin A＝sin B＝sin 45°＝，又因为b＞a，故A＝30°.‎ 答案：D ‎3．对于△ABC有如下判断，其中正确的判断是(　　)‎ A．若sin 2A＝sin 2B，则△ABC为等腰三角形 B．若A>B，则sin A>sin B C．若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个 D．若sin2 A＋sin2 BB，则a>b，由正弦定理得＝，即sin A>sin B成立．故B项正确．‎ 对于C项，由余弦定理可得：b＝＝，只有一解，故C - 12 -‎ 项错误．‎ 对于D项，若sin2 A＋sin2 Ba，所以B>A，故B有两解，‎ 所以cos B＝±.‎ 答案：A ‎5．在△ABC中，已知cos Acos B＞sin Asin B，则△ABC是(　　)‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 解析：由cos Acos B＞sin Asin B，得 cos A·cos B－sin Asin B＝cos (A＋B)＞0，‎ 所以A＋B＜90°，所以C＞90°，C为钝角．‎ 答案：C ‎6．如图所示，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，与O相距15海里的C处．现甲船以35海里/时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向25海里的B处的乙船，则甲船到达B处需要的时间为(　　)‎ A．小时 B．1小时 - 12 -‎ C．小时 D．2小时 解析：在△OBC中，由余弦定理，得CB2＝CO2＋OB2－2CO·OBcos 120°＝152＋252＋15×25＝352，因此CB＝35，＝1(小时)，因此甲船到达B处需要的时间为1小时．‎ 答案：B ‎7．已知△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝k∶(k＋1)∶2k，则k的取值范围是(　　)‎ A．(2，＋∞) B．(－∞，0)‎ C． D． 解析：由正弦定理得：a＝mk，b＝m(k＋1)，c＝2mk(m＞0)，‎ 因为即 所以k＞.‎ 答案：D ‎8.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2 min，从D沿着DC走到C用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min，则该扇形的半径为(　　)‎ A．50 m B．45 m C．50 m D．47 m 解析：由题知，OD＝100，DC＝150，‎ 因为DC∥OA，∠AOB＝120°‎ 连接CO 在△ODC中，由余弦定理得：‎ OC2＝OD2＋DC2－2OD×DC＝1002＋1502－2×100×150cos 60°‎ OC＝50 故选C.‎ 答案：C ‎9.如图，设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(acos C＋ccos A)＝2bsin B，且∠CAB＝.若点D是△ABC外一点，DC＝1，DA＝3，下列说法中，正确的命题是(　　)‎ - 12 -‎ A．△ABC的内角B＝ B．△ABC的内角C＝ C．四边形ABCD面积的最大值为＋3‎ D．四边形ABCD面积无最大值 解析：因为(acos C＋ccos A)＝2bsin B 所以(sin Acos C＋sin Ccos A)＝2sin2 B 所以sin(A＋C)＝2sin2 B 所以sin B＝2sin2 B 所以sin B＝ 因为∠CAB＝，所以B∈，所以B＝，所以C＝π－A－B＝，因此A、B正确；‎ 四边形ABCD面积等于S△ABC＋S△ACD＝AC2＋AD·DC·sin ∠ADC＝(AD2＋DC2－2AD·DC·cos ∠ADC)＋AD·DC·sin ∠ADC＝(9＋1－6·cos ∠ADC)＋×3sin ∠ADC＝＋3sin≤＋3，因此C正确，D错误．‎ 答案：ABC ‎10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2＝，则△ABC的形状为(　　)‎ A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 解析：由已知可得＝－，‎ 即cos A＝，b＝ccos A.‎ 法一　由余弦定理得 cos A＝，‎ - 12 -‎ 则b＝c·，‎ 所以c2＝a2＋b2，由此知△ABC为直角三角形．‎ 法二　由正弦定理，得sin B＝sin Ccos A.‎ 在△ABC中，sin B＝sin(A＋C)，‎ 从而有sin Acos C＋cos Asin C＝sin Ccos A，‎ 即sin Acos C＝0.‎ 在△ABC中，sin A≠0，‎ 所以cos C＝0.由此得C＝，‎ 故△ABC为直角三角形．‎ 答案：B ‎11．一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到A处时测得公路北侧一铁塔底部C在西偏北30°的方向上，行驶200 m后到达B处，测得此铁塔底部C在西偏北75°的方向上，塔顶D的仰角为30°，则此铁塔的高度为(　　)‎ A． m B．50 m C．100 m D．100 m 解析：设此铁塔高h(m)，则BC＝h，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠CBA＝105°，∠BCA＝45°，AB＝200.‎ 根据正弦定理得＝，解得h＝(m)．‎ 答案：A ‎12．在△ABC中，D在线段AB上，且AD＝5，BD＝3若CB＝2CD，cos ∠CDB＝－，则(　　)‎ A．sin ∠CDB＝ B．△ABC的面积为8‎ C．△ABC的周长为8＋4 D．△ABC为钝角三角形 - 12 -‎ 解析：因为cos ∠CDB＝－，所以sin ∠CDB＝＝，故A项错误；‎ 设CD＝a，则BC＝2a，在△BCD中，BC2＝CD2＋BD2－2BD·CD·cos ∠CDB，解得a＝，所以S△DBC＝BD·CD·sin ∠CDB＝×3××＝3，‎ 所以S△ABC＝S△DBC＝8，故B项正确；‎ 因为∠ADC＝π－∠CDB，‎ 所以cos ∠ADC＝cos(π－∠CDB)＝－cos ∠CDB＝，‎ 在△ADC中，AC2＝AD2＋CD2－2AD·DC·cos ∠ADC，解得AC＝2，‎ 所以C△ABC＝AB＋AC＋BC＝(3＋5)＋2＋2＝8＋4，故C项正确；‎ 因为AB＝8为最大边，‎ 所以cos C＝＝－<0，即∠C为钝角，所以△ABC为钝角三角形，故D项正确．‎ 答案：BCD 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)‎ ‎13．已知△ABC中，3a2－2ab＋3b2－3c2＝0，则cos C＝________．‎ 解析：由3a2－2ab＋3b2－3c2＝0，‎ 得c2＝a2＋b2－ab.‎ 根据余弦定理，得 cos C＝ ‎＝ ‎＝，‎ 所以cos C＝.‎ 答案： ‎14．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a，3sin A＝5sin B，则角C＝________．‎ 解析：由已知条件和正弦定理得：3a＝5b，且b＋c＝2a，‎ - 12 -‎ 则a＝，c＝2a－b＝，‎ cos C＝＝－，‎ 又0＜C＜π，因此角C＝.‎ 答案： ‎15．在△ABC中，A满足sin A＋cos A＝1，AB＝2，BC＝2，则△ABC的面积为________．‎ 解析：由 得 所以A＝120°，‎ 由正弦定理得＝，‎ 所以sin C＝.‎ 因为AB0，0