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- 2021-06-16 发布
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课时作业(四十三) 直线、平面平行的判定及其性质
一、选择题
1.(2015·济南模拟)平面α∥平面β的一个充分条件是( )
A.存在一条直线 a,a∥α,a∥β
B.存在一条直线 a,a⊂α,a∥β
C.存在两条平行直线 a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α
D.存在两条异面直线 a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α
答案:D
解析:若α∩β=l,a∥l,a⊄ α,a⊄ β,故排除 A.若α∩β=l,a⊂α,a∥l,则
a∥β,故排除 B.若α∩β=l,a⊂α,a∥l,b⊂β,b∥l,则 a∥β,b∥α,故排除 C.
故应选 D.
2.下面四个命题:
①分别在两个平面内的两直线平行;
②若两个平面平行,则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面;
③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行;
④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行.
其中正确的命题是( )
A.①② B.②④
C.①③ D.②③
答案:B
解析:①中的两条直线有可能平行,相交或异面,故①不正确,②正确,③中一个平面
内的两条相交直线分别平等于另一个平面,则这两个平面平行,故③不正确,④正确.
3.下面四个正方体图形中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,P 分别为其所在棱的中
点,能得出 AB∥平面 MNP 的图形是( )
A.①② B.①④
C.②③ D.③④
答案:A
解析:由线面平行的判定定理,知①②可得出 AB∥平面 MNP.
4.如图,在四面体 ABCD 中,截面 PQMN 是正方形,且 PQ∥AC,PN∥BD,则下列命题中,
错误的是( )
A.AC⊥BD
B.AC∥截面 PQMN
C.AC=BD
D.异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45°
答案:C
解析:由题意可知 PQ∥AC,QM∥BD,PQ⊥QM,所以 AC⊥BD,故 A 正确;由 PQ∥AC 可得
AC∥截面 PQMN,故 B 正确;由 PN∥BD 可知,异面直线 PM 与 BD 所成的角等于 PM 与 PN 所成
的角,又四边形 PQMN 为正方形,所以∠MPN=45°,故 D 正确;而 AC=BD 没有论证来源.
5.(2015·余姚模拟)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别是 BC1,CD1 的中点,
则下列说法错误的是( )
A.MN 与 CC1 垂直 B.MN 与 AC 垂直
C.MN 与 BD 平行 D.MN 与 A1B1 平行
答案:D
解析:如图,连接 C1D,BD,AC,在△C1DB 中,MN∥BD,故 C 正确;
∵CC1⊥平面 ABCD,
∴CC1⊥BD,∴MN 与 CC1 垂直,故 A 正确;
∵AC⊥BD,MN∥BD,∴MN 与 AC 垂直,故 B 正确;
∵A1B1 与 BD 异面,MN∥BD,
∴MN 与 A1B1 不可能平行,故 D 错误.
故应选 D.
6.如图,四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,MD⊥平面 ABCD,NB⊥平面 ABCD,且 MD=
NB=1,G 为 MC 的中点,则下列结论中不正确的是( )
A.MC⊥AN
B.GB∥平面 AMN
C.平面 CMN⊥平面 AMN
D.平面 DCM∥平面 ABN
答案:C
解析:显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体,把该几何体放置到正方
体中(如图).
取 AN 的中点 H,连接 HB,MH,GB,则 MC∥HB,又 HB⊥AN,所以 MC⊥AN,所以 A 正确;
由题意得 GB∥MH,又 GB⊄ 平面 AMN,MH⊂平面 AMN,所以 GB∥平面 AMN,所以 B 正确;
因为 AB∥CD,DM∥BN,且 AB∩BN=B,CD∩DM=D,
所以平面 DCM∥平面 ABN,所以 D 正确.
二、填空题
7.如图所示,ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体,M,N 分别为下底面的棱 A1B1,B1C1
的中点,P 是上底面的棱 AD 上的一点,AP=a
3
,过 P,M,N 的平面交上底面于 PQ,Q 在 CD
上,则 PQ=________.
答案:2 2
3
a
解析:如图,连接 AC,易知 MN∥平面 ABCD,又平面 ABCD∩平面 PMNQ=PQ,∴MN∥PQ.
∵MN∥AC,∴PQ∥AC.
又∵AP=a
3
,
∴PD
AD
=DQ
CD
=PQ
AC
=2
3
,
∴PQ=2
3
AC=2 2
3
a.
8.已知平面α∥平面β,P 是α,β外一点,过点 P 的直线 m 与α,β分别交于 A,C,
过点 P 的直线 n 与α,β分别交于 B,D,且 PA=6,AC=9,PD=8,则 BD 的长为________.
答案:24 或24
5
解析:如图,根据题意可得到以下如图两种情况:
可求出 BD 的长分别为24
5
或 24.
9.如图所示,在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G,H 分别是棱 CC1,C1D1,D1D,DC
的中点,N 是 BC 的中点,点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动,则 M 满足条件________时,有
MN∥平面 B1BDD1.
答案:M∈线段 FH
解析:连接 FH,HN,FN,由题意知 HN∥平面 B1BDD1,FH∥平面 B1BDD1,且 FH∩HN=H,
∴平面 NHF∥平面 B1BDD1,
∴当 M 在线段 HF 上运动时,有 MN∥平面 B1BDD1.
10.空间四面体 A-BCD 的两条对棱 AC,BD 的长分别为 5 和 4,则平行于两条对棱的截
面四边形 EFGH 在平移过程中,周长的取值范围是________.
答案:(8,10)
解析:设DH
DA
=GH
AC
=k(0
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