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- 2021-06-16 发布
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第2节 导数与函数的单调性
考试要求 1.了解函数的单调性与导数的关系;2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间.
知 识 梳 理
1.函数的单调性与导数的关系
已知函数f(x)在某个区间内可导,
(1)如果f′(x)>0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;
(2)如果f′(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.
2.利用导数求函数单调区间的基本步骤是:
(1)确定函数f(x)的定义域;
(2)求导数f′(x);
(3)由f′(x)>0(或<0)解出相应的x的取值范围.当f′(x)>0时,f(x)在相应的区间内是单调递增函数;当f′(x)<0时,f(x)在相应的区间内是单调递减函数.
一般需要通过列表,写出函数的单调区间.
3.已知单调性求解参数范围的步骤为:
(1)对含参数的函数f(x)求导,得到f′(x);
(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f′(x)≥0恒成立;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f′(x)≤0恒成立,得到关于参数的不等式,解出参数范围;
(3)验证参数范围中取等号时,是否恒有f′(x)=0.若f′(x)=0恒成立,则函数f(x)在(a,b)上为常数函数,舍去此参数值.
[常用结论与易错提醒]
(1)解决一次、二次函数的单调性问题不必用导数.
(2)有些初等函数(如f(x)=x3+x)的单调性问题也不必用导数.
(3)根据单调性求参数常用导数不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0求解,注意检验等号.
(4)注意函数、导函数的定义域.
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误.
(1)若可导函数f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有f′(x)>0.( )
(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)在此区间内没有单调性.( )
(3)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件.( )
解析 (1)f(x)在(a,b)内单调递增,则有f′(x)≥0.
(3)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件.
答案 (1)× (2)√ (3)×
2.函数f(x)=ex-x的单调递增区间是( )
A.(-∞,1] B.[1,+∞)
C.(-∞,0] D.(0,+∞)
解析 令f′(x)=ex-1>0得x>0,所以f(x)的递增区间为(0,+∞).
答案 D
3.(2020·浙江“超级全能生”联考)已知函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可以是( )
解析 根据导函数的正负与原函数的单调性的关系,结合导函数f′(x)的图象可知,原函数f(x)先单调递增,再单调递减,最后缓慢单调递增,选项C符合题意,故选C.
答案 C
4.若f(x)=,0<a<b<e,则f(a)与f(b)的大小关系为________.
解析 f′(x)=,当0<x<e时,1-ln x>0,
即f′(x)>0,∴f(x)在(0,e)上单调递增,
∴f(a)<f(b).
答案 f(a)<f(b)
5.函数f(x)=的单调递增区间为________;单调递减区间为________.
解析 函数的定义域为{x|x≠0},且f′(x)=,令f′(x)>0得x>1,f(x)的单调递增区间为(1,+∞),令f′(x)<0,得x<1且x≠0,f(x)的单调减区间为(-∞,0)和(0,1).
答案 (1,+∞) (-∞,0)和(0,1)
6.(2019·北京卷)设函数f(x)=ex+ae-x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a=________;若f(x)是R上的增函数,则a的取值范围是________.
解析 ∵f(x)=ex+ae-x(a为常数)的定义域为R,
∴f(0)=e0+ae-0=1+a=0,∴a=-1.
∵f(x)=ex+ae-x,∴f′(x)=ex-ae-x=ex-.
∵f(x)是R上的增函数,∴f′(x)≥0在R上恒成立,
即ex≥在R上恒成立,∴a≤e2x在R上恒成立.
又e2x>0,∴a≤0,即a的取值范围是(-∞,0].
答案 -1 (-∞,0]
考点一 求不含参数的函数的单调性
【例1】 已知f(x)=ex,讨论f(x)的单调性.
解 由题意得f′(x)=ex+ex
=ex
=x(x+1)(x+4)ex.
令f′(x)=0,解得x=0,x=-1或x=-4.
当x<-4时,f′(x)<0,故f(x)为减函数;
当-40,故f(x)为增函数;
当-10时,f′(x)>0,故f(x)为增函数.
综上知,f(x)在(-∞,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+∞)内为增函数.
规律方法 确定函数单调区间的步骤:
(1)确定函数f(x)的定义域;
(2)求f′(x);
(3)解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;
(4)解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.
【训练1】 (1)函数y=x2-ln x的单调递减区间为( )
A.(-1,1) B.(0,1)
C.(1,+∞) D.(0,+∞)
(2)已知函数f(x)与f′(x)的图象如图所示,则g(x)=( )
A.在(0,1)上是减函数 B.在(1,4)上是减函数
C.在上是减函数 D.在上是减函数
解析 (1)y=x2-ln x,y′=x-==(x>0).令y′<0,得0f′(x),即g′(x)=>0,所以函数g(x)=在(0,1)上是增函数,故选项A错误;又由图易得当x∈时,f(x)0,则f(x)在(0,+∞)上是增函数;
当a>0时,令f′(x)<0,得00,得x>,
∴f(x)在(0,)上是减函数,在(,+∞)上是增函数.
综上可得,当a≤0时,函数y=f(x)的增区间为(0,+∞),无减区间;当a>0时,函数y=f(x)的增区间为(,+∞),减区间为(0,).
考点三 利用函数的单调性求参数
【例3】 (1)已知函数f(x)=ax3-x2+x在区间(0,2)上是单调增函数,则实数a的取值范围为________.
(2)已知函数f(x)=ln x+(x-b)2(b∈R)在上存在单调递增区间,则实数b的取值范围是________.
解析 (1)f′(x)=ax2-2x+1≥0⇒a≥-+=-+1在(0,2)上恒成立,即a≥1.
(2)由题意得f′(x)=+2(x-b)=+2x-2b,因为函数f(x)在上存在单调递增区间,所以f′(x)=+2x-2b>0在上有解,所以b<,x∈,由函数的性质易得当x=2时,+x取得最大值,即=+2=,所以b的取值范围为.
答案 (1)[1,+∞) (2)
规律方法 利用单调性求参数的两类热点问题的处理方法
(1)函数f(x)在区间D上存在递增(减)区间.
方法一:转化为“f′(x)>0(<0)在区间D上有解”;
方法二:转化为“存在区间D的一个子区间使f′(x)>0(<0)成立”.
(2)函数f(x)在区间D上递增(减).
方法一:转化为“f′(x)≥0(≤0)在区间D上恒成立”问题;
方法二:转化为“区间D是函数f(x)的单调递增(减)区间的子集”.
【训练3】 (1)函数f(x)=x3-x2+2x+1的递减区间为(-2,-1),则实数a的值为________.
(2)若f(x)=-x2+bln(x+2)在[-1,+∞)上是减函数,则实数b的取值范围是________.
解析 (1)f′(x)=x2-ax+2,由已知得-2,-1是f′(x)的两个零点,
所以有解得a=-3.
(2)由已知得f′(x)=-x+≤0在[-1,+∞)上恒成立,∴b≤(x+1)2-1在[-1,+∞)上恒成立,∴b≤-1.
答案 (1)-3 (2)(-∞,-1]
基础巩固题组
一、选择题
1.已知函数f(x)=x3+ax+4,则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 f′(x)=x2+a,当a≥0时,f′(x)≥0恒成立,故“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.
答案 A
2.下面为函数y=xsin x+cos x的递增区间的是( )
A. B.(π,2π)
C. D.(2π,3π)
解析 y′=(xsin x+cos x)′=sin x+xcos x-sin x=xcos x,当x∈时,恒有xcos x>0.
答案 C
3.设函数f(x)=x2-9ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是( )
A.(1,2] B.[4,+∞)
C.(-∞,2] D.(0,3]
解析 ∵f(x)=x2-9ln x,∴f′(x)=x-(x>0),
当x-≤0时,有00且a+1≤3,解得12,则下列结论正确的是( )
A.对于任意x∈R,f(x)<0
B.对于任意x∈R,f(x)>0
C.当且仅当x∈(-∞,1)时,f(x)<0
D.当且仅当x∈(1,+∞)时,f(x)>0
解析 由f(x)是定义在R上的减函数,得f′(x)<0在R上恒成立,则+x>2⇒(2-x)f′(x)-f(x)>0.令g(x)=(2-x)f(x),则g′(x)=(2-x)f′(x)-f(x)>0,函数g(x)单调递增,又g(2)=0,则当x<2时,g(x)=(2-x)f(x)<0,f(x)<0,当x>2时,g(x)=(2-x
)f(x)>0,f(x)<0,排除B,C,D.
答案 A
二、填空题
7.函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为________.
解析 f′(x)>2转化为f′(x)-2>0,构造函数F(x)=f(x)-2x,
得F(x)在R上是增函数.
又F(-1)=f(-1)-2×(-1)=4,f(x)>2x+4,
即F(x)>4=F(-1),所以x>-1.
答案 (-1,+∞)
8.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,g(x)为f(x)的导函数.若f(x)在(0,1)上单调递减,则下列结论正确的是________(填序号).
①a+b+1<0;②b≤0;③3+2a+b≤0.
解析 因为f(x)在(0,1)上单调递减,所以f(0)>f(1),即a+b+1<0;由题意可得g(x)=f′(x)=3x2+2ax+b.因为f(x)在(0,1)上单调递减,所以g(x)≤0在(0,1)上恒成立,即g(0)≤0,g(1)≤0,所以b≤0,3+2a+b≤0.
答案 ①②③
9.已知函数f(x)=-x2+4x-3ln x在区间[t,t+1]上不单调,则实数t的取值范围是________.
解析 由题意知f′(x)=-x+4-=-,由f′(x)=0得函数f(x)的两个极值点为1和3,则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内,函数f(x)在区间[t,t+1]上就不单调,由t<10知,f′(x)与1-x+ex-1同号.
令g(x)=1-x+ex-1,则g′(x)=-1+ex-1.
当x∈(-∞,1)时,g′(x)<0,g(x)在(-∞,1)上递减;
当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)上递增,
∴g(x)≥g(1)=1在R上恒成立,
∴f′(x)>0在R上恒成立.
∴f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).
12.已知函数f(x)=ex-axex-a(a∈R).
(1)若f(x)在(0,+∞)上单调递减,求a的取值范围;
(2)求证:x在(0,2)上任取一个值,不等式-<恒成立(注:e为自然对数的底数).
(1)解 由已知得f′(x)=ex(x+1).
由函数f(x)在(0,+∞)上单调递减得f′(x)≤0恒成立.
∴-a≤0,即a≥,又∈(0,1),
∴a的取值范围为[1,+∞).
(2)证明 要证原不等式恒成立,
即证ex-1-x0在x∈(0,2)上恒成立.
设F(x)=(x-2)ex+x+2,则F′(x)=(x-1)ex+1.
在(1)中,令a=1,则f(x)=ex-xex-1,f(x)在(0,2)上单调递减,
∴F′(x)=-f(x)在(0,2)上单调递增,而F′(0)=0,
∴在(0,2)上F′(x)>0恒成立,
∴F(x)在(0,2)上单调递增,
∴F(x)>F(0)=0,
即当x∈(0,2)时,-<恒成立.
能力提升题组
13.(2020·九江一模)若函数f(x)=x3-tx2+3x在区间[1,4]上单调递减,则实数t的取值范围是( )
A. B.(-∞,3]
C. D.[3,+∞)
解析 f′(x)=3x2-2tx+3,由于f(x)在区间[1,4]上单调递减,则有f′(x)≤0在[1,4]上恒成立,即3x2-2tx+3≤0,即t≥在[1,4]上恒成立.
因为y=在[1,4]上单调递增,所以t≥=.
答案 C
14.若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=0,且f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示,记α=|f(-1)|+|f′(1)|,β=|f(1)|+|f′(-1)|,则( )
A.α=β B.α>β
C.α<β D.α=2β
解析 由导函数的图象为直线知函数f(x)为过原点的二次函数,设f(x)=ax2+bx(a≠0),结合导函数图象可知f(x)在上单调递增,在上单调递减,则a<0,又由
->1得b>-2a,则f′(1)=2a+b>0,f(1)=a+b>-a>0,f′(-1)=-2a+b>0,f(-1)=a-b<0,因此α-β=(a+2b)-(-a+2b)=2a<0,故选C.
答案 C
15.已知定义在R上的可导函数f(x),满足0eaf(a),f(a)>eaf(1)
B.f(1)>eaf(a),f(a)eaf(1)
D.f(1)0,即g(x)在R上单调递增,因为a∈(1,+∞),则eaf(a)>ef(1)>f(1);令函数h(x)=,则h′(x)=<0,即h(x)在R上单调递减,则f(a)0时,f(x)的增区间为(0,1),减区间为(1,+∞);
当a<0时,f(x)的增区间为(1,+∞),减区间为(0,1);
当a=0时,f(x)不是单调函数.
(2)由(1)及题意得f′(2)=-=1,
即a=-2,∴f(x)=-2ln x+2x-3,f′(x)=.
∴g(x)=x3+x2-2x,
∴g′(x)=3x2+(m+4)x-2.
∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数,
即g′(x)=0在区间(t,3)上有变号零点.
由于g′(0)=-2,
∴当g′(t)<0,
即3t2+(m+4)t-2<0对任意t∈[1,2]恒成立,
由于g′(0)<0,故只要g′(1)<0且g′(2)<0,
即m<-5且m<-9,即m<-9;
由g′(3)>0,即m>-,
所以-
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