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- 2021-06-16 发布
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专练44 空间向量及其运算
命题范围:空间向量的概念、基本定理及其应用
[基础强化]
一、选择题
1.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量,,是( )
A.有相同起点的向量 B.等长向量
C.共面向量 D.不共面向量
2.[2020·吉化一中高三测试]已知向量a=(2m+1,3,m-1),b=(2,m,-m),且a∥b,则实数m的值为( )
A. B.-2
C.0 D.或-2
3.已知空间两点P(-1,2,-3),Q(3,-2,-1),则P,Q两点间的距离是( )
A.6 B.2
C.36 D.2
4.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点,若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是( )
A.-a+b+c
B.a+b+c
C.-a-b+c
D.a-b+c
5.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c三向量共面,则实数λ等于( )
A. B.
C. D.
6.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,E为PD中点,若=a,=b,=c,则=( )
A.a-b+c
B.a-b-c
C.a-b+c
D.a-b+c
7.已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a成60°夹角的是( )
A.(-1,1,0) B.(1,-1,0)
C.(0,-1,1) D.(-1,0,1)
8.已知a=(2,-1,3),b=(-4,y,2),且a⊥(a+b),则y的值为( )
A.6 B.10
C.12 D.14
9.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则·=( )
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
二、填空题
10.已知a=(0,-1,1),b=(4,1,0),|λa+b|=,且λ>0,则λ=________.
11.在空间直角坐标系中,以点A(4,1,9),B(10,-1,6),C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形,则实数x的值为________.
12.在三棱锥O-ABC中,M,N分别为OA,BC的中点,设=a,=b,=c,则=________.
[能力提升]
13.[2020·长春一中高三测试]已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,下列向量的数量积一定不为0的是( )
A.·
B.·
C.·
D.·
14.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
棱长为2,O是底面ABCD的中心,E,F分别为CC1,AD的中点,则异面直线OE与FD1所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
15.
如图所示,在大小为45°的二面角A-EF-D中,四边形ABFE,CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是( )
A. B.
C.1 D.
16.
[2020·银川一中高三测试]已知V为矩形ABCD所在平面外一点,且VA=VB=VC=VD,=,=,=,则VA与平面PMN的位置关系是________.
专练44 空间向量及其运算
1.C ∵=,
又AC,D1A,D1C共面,
∴,,共面,即:,,共面.
2.B ∵a∥b,∴b=λa,得m=-2.
3.A |PQ|====6.
4.A 由题意知=++=-a+c+(a+b)=-a+b+c.
5.D ∵a,b,c共面,∴c=xa+yb.
∴(7,5,λ)=(2x,-x,3x)+(-y,4y,-2y),
∴得
6.C ∵E为PD的中点,∴=
=(-+)
=(-+-+-)
=-++
=a-b+c
7.B ∵|a|==,设b=(-1,1,0),|b|=,a·b=-1<0,故A不正确;对于B,设c=(1,-1,0),a·c=1,|c|=.∴cos〈a,c〉==,
∴〈a,c〉=60°,同理可得C、D不正确.
8.C a+b=(-2,y-1,5),∵a⊥(a+b),
∴-2×2-(y-1)+3×5=0,得y=12.
9.C 依题意,点E,F为BC,AD的中点,如图所示,·=(+)·=(·+·)=(a2cos60°+a2cos60°)=a2.
10.3
解析:∵λa+b=(4,1-λ,λ),
∴|λa+b|==,∴17+2λ2-2λ=29,
∴λ=3或λ=-2(舍).
11.2
解析:由题意得·=0,||=||,
又=(6,-2,-3),=(x-4,3,-6)
∴得x=2.
12.(b+c-a)
解析:=-
=(+)-
=(b+c-a)
13.D 逐个检验.
14.B ∵==(++),
=+,
∴·=(++)·==3.
而||= =,||=,
∴cos〈,〉==.
15.D ∵=++,
∴||2=||2+||2+||2+2(·+·+·)=1+1+1+2=3-.
∴||=.
16.平行
解析:设=a,=b,
=c,
则=a+c-b,
=b-c,
=-=a-b+c,
∴=+,∴,,共面,
又VA⊄面PMN,∴VA∥面PMN.
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