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  • 2021-06-16 发布

2020-2021学年新高三数学开学摸底自测卷

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- 1 - 高高高 三三三 数数数 学学学 开开开 学学学 摸摸摸 底底底 自自自 测测测 卷卷卷 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1 .复数 (1 ) (z i i i 为虚数单位)的共轭复数为 . 2 2. 已知 p :? x0 ∈R ,mx2 0+1 ≤ 0 ,q :? x∈R , x2 + mx+1 > 0 ,若 p ∨q 为假命题,则实数 m的 取值范围是 ________. 解析 依题意知, p,q 均为假命题.当 p 是假命题时, mx2 + 1 >0 恒成立,则有 m ≥0;当 q 是假命题时, 则有 Δ =m 2-4 ≥0, m ≤- 2 或 m ≥2. 因此由 p, q 均为假命题得 m ≥0, m ≤- 2或m ≥2 , 即 m ≥2. 3 . : 2p x 或 4y 是 : 6q x y 的 条件. 必要不充分 4. 某工厂生产某种产品 5000 件,它们来自甲、乙、丙 3 条不同的生产线.为检查这批产品的 质量,决定采用分层抽样的方法进行抽样.若从甲、乙、丙三条生产线抽 取的件数之比为 1:2:2 ,则乙生产线生产了 件产品. 2000 5 .阅读右面的流程图 . 若输入 x 的值为 8 ,则输出 y 的值为 .3 6 .先后投掷一颗质地均匀的骰子两次,得到其向上的点数分别为 m, n , 设向量 ),( nma ,则满足 5a 的概率为 . 36 13 7. 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y2 =2px(p>0) 的焦点为 F ,双曲线 x2 a 2 - y2 b 2 =1(a>0 ,b>0) 的两条渐近线分别与抛物线交于 A ,B 两点 (A, B异于 坐标原点 O).若直线 AB恰好过点 F ,则双曲线的渐近线方程是 ________. 解析 不妨设点 A 是渐近线 y= b ax 与抛物线的交点,则 A p 2, bp 2a 在抛物线上,所以 bp 2a 2 =2p × p 2,化简得 b a=2 ,故双曲线的渐近线方程是 y=± b ax=± 2x. 8. 若 a>0,b>0,且函数 f(x) =4x3 -ax2 -2bx+2 在 x=1 处有极值,若 t =ab,则 t 的最大值 为________. 9 解析 f ′(x) =12x 2 -2ax-2b,则 f ′(1) =12-2a-2b=0,则 a +b=6 , 又 a>0,b>0,则 t =ab≤ a + b 2 2 =9,当且仅当 a =b=3 时取等号. 9. 某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言,要求甲乙两人至少有一人参加,那么不同的发 开始 输入 x x ≤0 y← log2x 输出 y 结束 y ←2 x N Y (第 5 题图) 该文档是极速PDF编辑器生成, 如果想去掉该提示,请访问并下载: http://www.jisupdfeditor.com/ - 2 - 言顺序有 ________种( 用数字作答 ) . 解析 若只有甲乙其中一人参加,有 C 1 2 C 3 5 A 4 4 =480 种方法;若甲乙两人都参加,有 C 2 2C 2 5 A 4 4 = 240 种方法,则共有 48 0+240=720 种方 法. 10. 5 2 3 1 5 x x 的展开式中的常数项为 ______.2 解: 5 2 3 1 5 x x 的展开式的通项公式为 T r+1 = ? (﹣1) r ? ? x 10﹣5r , 令 10﹣5r=0 ,求得 r=2 ,可得展开式中的常数项为 ? 5 ﹣1 =2. 11. 从装有编号为 1 ,2,3 ,⋯, n+1 的 n+1 个球的口袋中取出 m 个球( 0 <m ≤n , m ,n∈N ) , 共有 C n+1m 种取法.在这 C n+1m 种取法中,不取 1 号球有 C 1 0 C n m种取法;必取 1 号球有 C 1 1C nm ﹣1 种取 法.所以 C 1 0C n m+C1 1C n m ﹣1=Cn+1 m ,即 C n m+Cn m ﹣1=Cn+1 m 成立.试根据上述思想,则有当 1 ≤k≤m ≤n,k, m ,n∈N时, C n m+Ck 1C n m﹣1+Ck 2C n m ﹣2+⋯+Ck kC n m ﹣k= . 解:在 C n m+Ck 1?Cn m ﹣1+Ck 2? C n m ﹣2+⋯+Ck k? C n m ﹣k 中, 从第一项到最后一项分别表示: 从装有 n 个白球, k 个黑球的袋子里, 取出 m 个球的所有情况取法总数的和, 故从装有 n+k 球中取出 m个球的不 同取法数 . 12. 已知- 1 < x+y<4 且 2 <x-y<3 ,则 z=2x-3y 的取值范围是 _______.(3,8) 解析 设 2x-3y=a(x +y) +b(x -y) ,则由待定系数法可得 a+b =2 , a-b =- 3 , 解得 a=- 1 2, b= 5 2, 所以 z=- 1 2(x +y) +5 2(x -y) . 又 -2<- 1 2 x+y 1 2, 5 < 5 2 x-y 15 2 , 所以两式相加可得 z∈(3,8) . 13. 已知 F 1 ( - c,0) , F 2(c,0) 为椭圆 x 2 a 2 + y2 b 2 =1(a >b >0) 的两个焦点, P 为椭圆上一点, 且 PF1 → · PF2 → =c2,则此椭圆离心率的取值范围是 ________. 3 3 , 2 2 解析 设 P(x , y) ,则 PF1 → ·PF2 → =( -c-x,- y) ·(c -x,- y) =x2 -c2 +y2 =c2 ,① 该文档是极速PDF编辑器生成, 如果想去掉该提示,请访问并下载: http://www.jisupdfeditor.com/ - 3 - 将 y2 =b2 - b2 a 2 x2代入①式解得 x2 = 2c2 -b2 a2 c2 = 3c2-a2 a2 c2 , 又 x2 ∈[0 ,a2 ] ,∴ 2c2≤a 2≤3c2 ,∴ e = c a∈ 3 3 , 2 2 . 14. 已知函数 f (x)= ﹣ xlnx+ax 在( 0,e )上是增函数,函数 .当 x∈ [0 ,ln3] 时,函数 g(x)的最大值 M 与最小值 m的差为 ,则 a=______. 解:∵ f (x) = ﹣xlnx+ax ,∴ f' (x)= ﹣lnx+a ﹣1 ∵函数 f (x)=﹣xlnx+ax 在( 0,e )上是增函数 ∴f' (x)= ﹣ lnx+a ﹣1 ≥0 在( 0 ,e )恒成立 ∵y=﹣lnx 是( 0 ,e)上的减函数 ∴f' (x)= ﹣ lnx+a+1 的最小值大于等于 0 即可,即﹣ 1+a﹣1 ≥ 0 ∴a ≥ 2 ∵x∈ [0 ,ln3] ,∴ e x∈ [1 ,3] ∴e x=a 时,函数取得最小值为 ∵x=0 时, ;x=ln3 时, 3 >a≥2 时,函数 g(x)的最大值 M= ∵函数 g(x)的最大值 M 与最小值 m 的差为 ∴3 > a ≥2 时, ∴a= a >3 时, x0 > ln3 , 此 时 x 在[0 ,ln3] 内单调递减, 所以函数在 f( 0 )处取最大值, 在 f (ln3 ) 处取最小值, a= 不符合 a 大于 3 ,所以舍去. 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 该文档是极速PDF编辑器生成, 如果想去掉该提示,请访问并下载: http://www.jisupdfeditor.com/ - 4 - 15. ( 14 分)某小组共 10 人,利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为 1,2,3 的人 数分别为 3,3,4. 现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会. (1) 设 A为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4”,求事件 A 发生的概率; (2) 设 X为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值, 求随机变量 X 的概率分布和数学期望. 解 (1) 由已知,有 P(A) = C 1 3 C 1 4+C 2 3 C 2 10 = 1 3. 所以,事件 A 发生的概率为 1 3. (2) 随机变量 X 的所有可能取值为 0,1, 2. P(X= 0) = C 2 3+C 2 3 +C 2 4 C 2 10 = 4 15,P(X=1) = C 1 3 C 1 3 +C 1 3C 1 4 C 2 10 = 7 15, P(X=2) = C 1 3C 1 4 C 2 10 = 4 15. 所以,随机变量 X 的概率分布为 X 0 1 2 P 4 15 7 15 4 15 所以,数学期望 E(X)= 7 42 =1 15 15 + 16. ( 14 分)已知函数 f x 满足 2 3 3log log .f x x x (1 ) 求函数 f x 的解析式; (2 ) 当 n N 时,试比较 f n 与3n 的大小,并用数学归纳法证明你的结论 . 解 (1)令 xt 3log ,则 tx 3 , 所以 ttf t 23)( ,故函数 f x 的解析式为 3 2xf x x . ⋯⋯⋯⋯ 3 分 (2)当 1n 时, 1 1f , 13n ,此时 3)1( nf ; 当 2n 时, 2 5f , 83n ,此时 3)1( nf ; 当 3n 时, 21)3(f , 273n ,此时 3)3( nf ; 当 4n 时, 73)4(f , 643n ,此时 3)4( nf ; 猜想:当 4n≥ , *n R ,都有 3f n n . ⋯⋯⋯⋯ 6 分 要证明:当 4n ≥ , *n R ,都有 3f n n , 该文档是极速PDF编辑器生成, 如果想去掉该提示,请访问并下载: http://www.jisupdfeditor.com/ - 5 - 即要证:当 4n ≥ , *n R ,3 3 2n n n , 即要证:当 4n ≥ , *n R ,33 2n n n . 证明:①当 4n 时, 3 81n , 3 2 72n n ,显然, 33 2n n n 成立; ②假设当 n k 时, 33 2k k k 成立, 那么,当 1n k 时, 1 3 33 3 3 3 2 3 6k k k k k k ,又当 4k ≥ 时, 33 3 2 2 23 6 1 2 1 2 3 3 2 3 3k k k k k k k k k k k 2 2 24 2 3 3 5 3 0k k k k k≥ , 故 333 6 1 2 1k k k k , 所以 1n k 时, 31 33 3 6 1 2 1k k k k k 结论成立, 由①②,根据数学归纳法可知,当 4n ≥ , *n R ,都有 3f n n . ⋯⋯⋯⋯ 10 分 17. ( 14 分)如图所示,已知空间四边形 ABCD的各边和对角线的长都等于 a,点 M ,N分别是 AB,CD的中点. (1) 求证: MN⊥AB, MN⊥CD; (2) 求 MN的长; (3) 求异面直线 AN与 CM所成角的余弦值. (1) 证明 设AB→=p,AC→=q,AD→=r. 由题意可知, |p| = |q| =|r| =a,且 p,q,r 三向量两两夹角均为 60° . MN→=AN→-AM→= 1 2(AC→+AD→) - 1 2AB→= 1 2(q +r -p) , ∴MN→·AB→= 1 2(q +r -p) ·p= 1 2(q ·p+r·p-p2 ) = 1 2(a 2 cos 60 °+ a 2cos 60 °- a2 ) =0. ∴MN→⊥AB→,即 MN⊥AB.同理可证 MN⊥CD. (2) 解 由(1) 可知 MN→= 1 2(q +r -p) , 该文档是极速PDF编辑器生成, 如果想去掉该提示,请访问并下载: http://www.jisupdfeditor.com/ - 6 - ∴|MN→ | 2= 1 4(q + r -p) 2 = 1 4[q 2 +r2 +p2 +2(q ·r -p ·q-r ·p)] = 1 4 a2 +a2 +a 2+2a2 2 -a2 2 -a2 2 = 1 4× 2a2= a2 2 . ∴|MN→ | = 2 2 a. ∴MN的长为 2 2 a. (3) 解 设向量 AN→与 MC→的夹角为 θ. ∵AN→= 1 2(AC→+ AD→) = 1 2(q +r) , MC→=AC→-AM→= q - 1 2p , ∴AN→·MC→= 1 2( q + r) ·(q - 1 2p) =1 2(q 2 - 1 2q ·p+r ·q - 1 2r ·p) =1 2(a 2 - 1 2a 2 cos 60 °+ a2 cos 60 °- 1 2a2 cos 60 °) = 1 2(a 2 - a2 4 + a2 2 - a2 4 ) = a 2 2 . 又∵ |AN→| =|MC→| = 3 2 a, ∴AN→·MC→=|AN→||MC→ |cos θ = 3 2 a× 3 2 a×cos θ = a 2 2 . ∴cos θ= 2 3. ∴向量 AN→与 MC→的夹角的余弦值为 2 3. 因此异面直线 AN与 CM所成角的余弦值为 2 3. 18. ( 16 分)如图,现有一个以 AOB 为圆心角、湖岸 OA 与 OB 为半径的扇形湖面 AOB . 现 欲在弧 AB 上取不同于 A B、 的点 C ,用渔网沿着弧 AC ( 弧 AC 在扇形 AOB 的弧 AB 上) 、 半 径 OC 和线段 CD ( 其中 //CD OA ) ,在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养殖区域Ⅰ和养殖区 域Ⅱ . 若 1 , , 3 OA km AOB AOC . (1 ) 用 表示 CD 的长度; 该文档是极速PDF编辑器生成, 如果想去掉该提示,请访问并下载: http://www.jisupdfeditor.com/ - 7 - (2 ) 求所需渔网长度 ( 即图中弧 AC 、半径 OC 和线段 CD 长度之和 ) 的取值范围. 解: (1) 由 CD∥OA,∠ AOB= π 3 ,∠ AOC= θ,得∠ OCD=θ,∠ODC= 2π 3 , ∠COD= π 3 -θ. 在△ OCD中,由正弦定理,得 CD= 2 3 sin π 3 -θ,θ∈ 0 , π 3 · · 8 分 (2) 设渔网的长度为 f( θ) .由 (1) 可知, f( θ) =θ+1+ 2 3 sin π 3 -θ⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分 所以 f ′( θ) = 1 - 2 3 cos π 3 -θ,因为 θ∈0,π 3 ,所以 π 3 -θ∈0,π 3 , 令 f ′(θ ) =0,得 cos π 3 -θ=3 2 ,所以 π 3 -θ=π 6 ,所以 θ=π 6 . ···· 13 分 θ 0,π 6 π 6 π 6 ,π 3 f ′ (θ) + 0 - f( θ) 极大值 所以 f( θ ) ∈ 2 , π+6 + 2 3 6 . 故所需渔网长度的取值范围是 2,π+6 +2 3 6 ⋯ 16 分 19. ( 16 分)已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a b a b 的两个焦点分别为 1( 2,0)F , 2 ( 2,0)F , 点 (1,0)M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直 . (1 )求椭圆 C 的方程; (2 )过点 (1,0)M 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A , B 两点 , 设点 (3,2)N ,记直线 AN , BN 的 斜率分别为 1k , 2k , 求证: 1 2k k 为定值 . 解: ( 1 )依题意,由已知得 2c , 2 2 2a b ,由已知易得 1b OM , 解得 3a . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分 则椭圆的方程为 2 2 1 3 x y . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分 该文档是极速PDF编辑器生成, 如果想去掉该提示,请访问并下载: http://www.jisupdfeditor.com/ - 8 - (2) ①当直线 l 的斜率 不存在时,由 2 2 1, 1 3 x x y 解得 61, 3 x y . 设 6(1, ) 3 A , 6(1, ) 3 B ,则 1 2 6 62 2 3 3 2 2 2 k k 为定值⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分 ②当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为: ( 1)y k x . 将 ( 1)y k x 代入 2 2 1 3 x y 整理化简,得 2 2 2 2(3 1) 6 3 3 0k x k x k ⋯⋯ 7 分 依题意,直线 l 与椭圆 C 必相交于两点,设 1 1( , )A x y , 2 2( , )B x y , 则 2 1 2 2 6 3 1 kx x k , 2 1 2 2 3 3 3 1 kx x k . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分 又 1 1( 1)y k x , 2 2( 1)y k x , 所以 1 2 1 2 1 2 2 2 3 3 y yk k x x ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分 1 2 2 1 1 2 (2 )(3 ) (2 )(3 ) (3 )(3 ) y x y x x x 1 2 2 1 1 2 1 2 [2 ( 1)](3 ) [2 ( 1)](3 ) 9 3( ) k x x k x x x x x x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 12 2( ) [2 4( ) 6] 9 3( ) x x k x x x x x x x x 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 612 2( ) [2 4 6] 3 1 3 1 6 3 39 3 3 1 3 1 k kx x k k k k k k k 2 2 12(2 1) 2. 6(2 1) k k ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 15 分 综上得 1 2k k 为常数 2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯16 分 该文档是极速PDF编辑器生成, 如果想去掉该提示,请访问并下载: http://www.jisupdfeditor.com/ - 9 - 20. ( 16 分)已知函数 2 ,f x x bx c b c R ,并设 x f xF x e , (1 )若 F x 图像在 0x 处的切线方程为 0x y ,求 b 、 c 的值; (2 )若函数 F x 是 , 上单调递减,则 ① 当 0x 时,试判断 f x 与2 x c 的大小关系,并证明之; ② 对满足题设条件的任意 b 、 c ,不等式 2 2f c Mc f b Mb 恒成立,求 M 的取值 范围. 解:( 1 )因为 2 x x bx cF x e ,所以 2 2 x x b x b c F x e ,⋯⋯⋯⋯ 2 分 又因为 F x 图像在 0x 处的切线方程为 0x y , 所以 0 0 0 1 F F ,即 0 1 c b c ,解得 1b , 0c . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分 (2 )①因为 F x 是 , 上的单调递减函数,所以 0F x 恒成立, 即 2 2 0x b x b c 对任意的 x R恒成立, ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分 所以 2 2 4 0b b c , 所 以 2 24 4 2 4 4 4c b b b b , 即 c b 且 1c , 令 2 2 1g x f x x c b c x c c ,由 2 0b c ,知 g x 是减函数, 故 g x 在 0, 内取得最小值 0g ,又 0 1 0g c c , 所以 0x 时, 0 0g x g ,即 2 f x x c . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分 ② 由①知, 0c b ,当 b c 时, b c 或 b c , 因为 2 4 4 0b c ,即 2 4 4 0c c , 解得 2c , 2b 或 2b ,所以 2 2 2f x x x , 而 2 2 2 2 22 2f c f b c bc c b b c c bc b c b c b , 所以 8f c f b 或 0 , 该文档是极速PDF编辑器生成, 如果想去掉该提示,请访问并下载: http://www.jisupdfeditor.com/ - 10 - 不等式 2 2f c Mc f b Mb 等价于 2 2f c f b M c b , 变为 8 0M 或 0 0M 恒成立, M R , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分 当 b c 时, c b ,即 2 2 0c b ,所以不等式 2 2f c Mc f b Mb 恒成立等价于 2 2 f c f b M c b 恒成立,等价于 2 2 max f c f bM c b ,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分 而 2 2 2 2 12 1 f c f b c b c b c b bc b c b c b c b c , 因为 c b , 1b c ,所以 1 1b c ,所以 0 1 2b c ,所以 1 1 21 b c , 所以 2 2 1 32 2 2 f c f b c b ,所以 3 2 M .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 16 分 该文档是极速PDF编辑器生成, 如果想去掉该提示,请访问并下载: http://www.jisupdfeditor.com/