浙江省2021届高考数学一轮复习第四章导数及其应用第1节导数的概念与导数的计算课件 29页

第 1 节　导数的概念与导数的计算 知 识 梳 理 1 . 函数 y ＝ f ( x ) 在 x ＝ x 0 处的导数 ( x 0 ， f ( x 0 )) (2) 几何意义：函数 f ( x ) 在点 x 0 处的导数 f ′( x 0 ) 的几何意义是在曲线 y ＝ f ( x ) 上点 处的 . 相应地，切线方程为 . 切线的斜率 y － y 0 ＝ f ′( x 0 )( x － x 0 ) 2 . 函数 y ＝ f ( x ) 的导函数 如果函数 y ＝ f ( x ) 在开区间 ( a ， b ) 内的每一点处都有导数，其导数值在 ( a ， b ) 内构成一个新函数，这个函数称为函数 y ＝ f ( x ) 在开区间内的导函数 . 记作 f ′( x ) 或 y ′. 3 . 基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f ( x ) ＝ c ( c 为常数 ) f ′( x ) ＝ ___ f ( x ) ＝ x α ( α ∈ Q ) f ′( x ) ＝ _______ f ( x ) ＝ sin x f ′( x ) ＝ _______ f ( x ) ＝ cos x f ′( x ) ＝ _______ f ( x ) ＝ e x f ′( x ) ＝ _____ 0 αx α － 1 cos x － sin x e x f ( x ) ＝ a x ( a ＞ 0 且 a ≠ 1) f ′( x ) ＝ _______ f ( x ) ＝ ln x f ′( x ) ＝ _______ f ( x ) ＝ log a x ( a ＞ 0 ， a ≠ 1) f ′( x ) ＝ _______ a x ln a f ′( x )± g ′( x ) f ′( x ) g ( x ) ＋ f ( x ) g ′( x ) 5 . 复合函数的导数 复合函数 y ＝ f ( g ( x )) 的导数和函数 y ＝ f ( u ) ， u ＝ g ( x ) 的导数间的关系为 y x ′ ＝ y u ′· u x ′ ，即 y 对 x 的导数等于 的导数与 的导数的乘积 . y 对 u u 对 x [ 常用结论与易错提醒 ] 1. f ′( x 0 ) 与 x 0 的值有关，不同的 x 0 ，其导数值一般也不同 . 2. f ′( x 0 ) 不一定为 0 ，但 [ f ( x 0 )]′ 一定为 0. 3. 奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数 . 4. 函数 y ＝ f ( x ) 的导数 f ′( x ) 反映了函数 f ( x ) 的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小 | f ′( x )| 反映了变化的快慢， | f ′( x )| 越大，曲线在这点处的切线越 “ 陡 ”. 诊 断 自 测 1. 判断下列说法的正误 . (1) f ′( x 0 ) 与 ( f ( x 0 ))′ 表示的意义相同 .( 　　 ) (2) 曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点 .( 　　 ) (3)(2 x )′ ＝ x ·2 x － 1 .( 　　 ) (4) 若 f ( x ) ＝ e 2 x ，则 f ′( x ) ＝ e 2 x .( 　　 ) 解析 　 (1) f ′( x 0 ) 是函数 f ( x ) 在 x 0 处的导数， ( f ( x 0 ))′ 是常数 f ( x 0 ) 的导数即 ( f ( x 0 ))′ ＝ 0 ； (3)(2 x )′ ＝ 2 x ln 2 ； (4)(e 2 x )′ ＝ 2e 2 x . 答案 　 (1) × 　 (2) √ 　 (3) × 　 (4) × 2. 函数 y ＝ x cos x － sin x 的导数为 ( 　　 ) A. x sin x B. － x sin x C. x cos x D. － x cos x 解析　 y ′ ＝ ( x cos x )′ － (sin x )′ ＝ cos x － x sin x － cos x ＝－ x sin x . 答案 　 B 3. (2019· 全国 Ⅰ 卷 ) 曲线 y ＝ 3( x 2 ＋ x )e x 在点 (0 ， 0) 处的切线方程为 ________. 解析 　 y ′ ＝ 3(2 x ＋ 1)e x ＋ 3( x 2 ＋ x )e x ＝ 3e x ( x 2 ＋ 3 x ＋ 1) ，所以曲线在点 (0 ， 0) 处的切线的斜率 k ＝ e 0 × 3 ＝ 3 ，所以所求切线方程为 y ＝ 3 x . 答案 　 y ＝ 3 x 4. (2020· 南通一调 ) 若曲线 y ＝ x ln x 在 x ＝ 1 与 x ＝ t 处的切线互相垂直，则正数 t 的值为 ________. 解析　 因为 y ′ ＝ ln x ＋ 1 ，所以 (ln 1 ＋ 1)(ln t ＋ 1) ＝－ 1 ， ∴ ln t ＝－ 2 ， t ＝ e － 2 . 答案　 e － 2 答案　 1 　 e 2 x ＋ x 2 － 2 x 6. (2020· 杭州四中仿真 ) 已知函数 f ( x ) ＝ x 3 ＋ ax ＋ b 的图象在点 (1 ， f (1)) 处的切线方程为 2 x － y － 5 ＝ 0 ，则 a ＝ ________ ； b ＝ ________. 答案　－ 1 　－ 3 考点一　导数的运算 解　 (1) y ′ ＝ ( x 2 )′sin x ＋ x 2 (sin x )′ ＝ 2 x sin x ＋ x 2 cos x . 规律方法 　求导一般对函数式先化简再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错，常用求导技巧有： (1) 连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导； (2) 分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； (3) 对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4) 根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导； (5) 三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导； (6) 复合函数：由外向内，层层求导 . 考点二　导数的几何意义 多维探究 解析　 (1) 设 y ＝ f ( x ) ＝ 2sin x ＋ cos x ，则 f ′( x ) ＝ 2cos x － sin x ， ∴ f ′(π) ＝－ 2 ， ∴ 曲线在点 (π ，－ 1) 处的切线方程为 y － ( － 1) ＝－ 2( x － π) ，即 2 x ＋ y － 2π ＋ 1 ＝ 0. 故选 C. 答案　 (1)C 　 (2)3 x － 3 y ＋ 2 ＝ 0 或 12 x － 3 y － 16 ＝ 0 角度 2 　求参数的值 【例 2 － 2 】 (1) (2019· 全国 Ⅲ 卷 ) 已知曲线 y ＝ a e x ＋ x ln x 在点 (1 ， a e) 处的切线方程为 y ＝ 2 x ＋ b ，则 ( 　　 ) A. a ＝ e ， b ＝－ 1 B. a ＝ e ， b ＝ 1 C. a ＝ e － 1 ， b ＝ 1 D. a ＝ e － 1 ， b ＝－ 1 (2) (2020· 杭州质检 ) 若直线 y ＝ x 与曲线 y ＝ e x ＋ m ( m ∈ R ， e 为自然对数的底数 ) 相切，则 m ＝ ( 　　 ) A.1 B.2 C. － 1 D. － 2 (2) 设切点坐标为 ( x 0 ， e x 0 ＋ m ). 由 y ＝ e x ＋ m ，得 y ′ ＝ e x ＋ m ，则切线的方程为 y － e x 0 ＋ m ＝ e x 0 ＋ m ( x － x 0 ) 　 ① ，又因为切线 y ＝ x 过点 (0 ， 0) ，代入 ① 得 x 0 ＝ 1 ，则切点坐标为 (1 ， 1) ，将 (1 ， 1) 代入 y ＝ e x ＋ m 中，解得 m ＝－ 1 ，故选 C. 答案　 (1)D 　 (2)C 角度 3 　公切线问题 【例 2 － 3 】 ( 一题多解 ) 已知曲线 y ＝ x ＋ ln x 在点 (1 ， 1) 处的切线与曲线 y ＝ ax 2 ＋ ( a ＋ 2) x ＋ 1 相切，则 a ＝ ________. 答案　 8 规律方法 　 (1) 求切线方程的方法： ① 求曲线在点 P 处的切线，则表明 P 点是切点，只需求出函数在点 P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程； ② 求曲线过点 P 的切线，则 P 点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程 . (2) 处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数： ① 切点处的导数是切线的斜率； ② 切点在切线上； ③ 切点在曲线上 .