数学北师大版（2019）必修第二册：1-5-2 余弦函数的图象与性质再认识 学案与作业 8页

5.2 余弦函数的图象与性质再认识 (15 分钟 30 分) 1.函数 y=1+cos x 的图象 ( ) A.关于 x 轴对称 B.关于 y 轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线 x= 对称 【解析】选 B.函数 y=1+cos x 是偶函数. 2.函数 y=cos x-2 在 x∈[-π,π]上的大致图象是( ) 【解析】选 A.函数 y=cos x-2 是将函数 y=cos x 向下平移 2 个单位得 到的曲线. 3.从函数 y=cos x,x∈[0,2π)的图象来看,对于 cos x=- 的 x 有 ( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 【解析】选 C.画出函数 y=cos x,x∈[0,2π)的简图,作直线 y=- ,可 得有两个交点. 4.函数 y=2cos x-1 的单调递减区间是________. 【解析】函数 y=2cos x-1 的单调递减区间与函数 y=cos x 的单调递减 区间相同. 答案:[2kπ,π+2kπ](k∈Z) 5.函数 y=-cos2x-cosx+2 的最大值为________. 【解析】y=-cos 2x-cos x+2=- + . 因为-1≤cos x≤1,所以当 cos x=- 时,ymax= . 答案: 6.求作函数 y=-2cos x+3 在一个周期内的图象,并求函数的最大值及取 得最大值时 x 的值. 【解析】列表如下: x 0 π 2π cos x 1 0 -1 0 1 -2cos x+3 1 3 5 3 1 描点、连线得出函数 y=-2cos x+3 在一个周期内的图象: 由图可得,当 x=2kπ+π,k∈Z 时函数取得最大值,ymax=5. (30 分钟 60 分) 一、单选题(每小题 5 分,共 20 分) 1.已知函数 f(x)=sin (x∈R),下面结论错误的是( ) A. 函数 f(x)的最小正周期为 2π B. 函数 f(x)在区间 上是增函数 C. 函数 f(x)的图象关于直线 x=0 对称 D. 函数 f(x)是奇函数 【解析】选 D.因为 y=sin =-cos x, 所以 T=2π,A 正确;因为 y=cos x 在 上是减函数,所以 y=-cos x 在 上是增函数,B 正确; 由图象知 y=-cos x 关于直线 x=0 对称,C 正确; y=-cos x 是偶函数,D 错误. 【补偿训练】 函数 f(x)= ( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 【解析】选 A.定义域为 R,f(-x)= = =-f(x),则 f(x)是奇 函数. 2.函数 y=cos x 与函数 y=-cos x 的图象( ) A.关于直线 x=1 对称 B.关于原点对称 C.关于 x 轴对称 D.关于 y 轴对称 【解析】选 C.作出函数 y=cos x 与函数 y=-cos x 的简图(略),易知它 们关于 x 轴对称. 3.已知函数 y=cos x 在(a,b)上是增函数,则 y=cos x 在(-b,-a)上是 ( ) A.增函数 B.减函数 C.增函数或减函数 D.以上都不对 【解析】选 B.因为函数 y=cos x 为偶函数,所以在关于 y 轴对称的区间 上单调性相反. 【补偿训练】 (2020·兰州高一检测)若函数 y=sin x 和 y=cos x 在区间 D 上都是增 函数,则区间 D 可以是( ) A. B. C. D. 【解析】选 D.因为函数 y=sin x 和 y=cos x 在区间 D 上都是增函数, 则区间 D 为 ,k∈Z. 4.函数 y=cos x+|cos x|,x∈[0,2π]的大致图象为( ) 【解析】选 D.y=cos x+|cos x|= 二、多选题(每小题 5 分,共 10 分,全部选对得 5 分,选对但不全的得 3 分,有选错的得 0 分) 5.下列选项能使 cos x= 有意义的 m 的值为( ) A.m≥0 B.m≤0 C.-11 【解析】选 BC.由|cos x|≤1 得| |≤1 解得 m≤0. 6.函数 y=-cos x 的图象中与 y 轴最近的最高点的坐标为( ) A. B.(π,1) C.(0, 1) D.(-π,1) 【解析】选 BD.用五点作图法作出函数 y=-cos x 的图象,易知与 y 轴最 近的最高点的坐标为(π,1)和(-π,1). 三、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 7. 函 数 y=cos x+4,x∈[0,2π] 的 图 象 与 直 线 y=4 的 交 点 坐 标 为 ________. 【解析】作出函数 y=cos x+4,x∈[0,2π]的图象(图略),容易发现它与 直线 y=4 的交点坐标为 , . 答案: , 8.函数 y=lo (cos x)的定义域是________.函数 y=lo (cos 2x+2cos x+1)的值域为________. 【解析】函数 y=lo (cos x)有意义,则 cos x>0,由余弦函数 y=cos x 的图象可知,当 2kπ- 0, 故函数 y=lo (cos x)的定义域为 ; cos x∈(-1,1],cos 2x+2cos x+1∈(0,4],所以 y=lo (cos 2x+2cos x+1) ∈[-2, +∞). 答案: ,k∈Z [-2,+∞) 【补偿训练】 已知函数 y=cos x 的定义域为[a,b],值域为 ,则 b-a 的值不可 能是______(填序号). ① ; ② ; ③π; ④ ; ⑤ . 【解析】结合已知条件和余弦函数的图象(图略)可知,y 取- 和 1 的最 近的 x 值相差 -0= ,所以 b-a 的值应不小于 ,y 取- 和 1 的最远的 x 值相差 - = ,所以 b-a 的值应不大于 .故 b-a 的值不可能是 和 . 答案:①⑤ 四、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.函数 f(x)=asin x+b +1 满足 f( )=7,求 f( ). 【解析】设 F(x)=f(x)-1=asin x+b ,显然 F(-x)=-asin x-btanx=-F(x),故 F(x)为奇函数. 又因为 F =f -1=6, F =F =asin +b =asin +b =F =-F =-6,f =f ,f =-F +1=-5. 10.已知函数y=a-bcos x的最大值是 ,最小值是- ,求函数y=-4bsin ax 的最大值、最小值及周期. 【解析】因为-1≤cos x≤1,由题意知 b≠0. 当 b>0 时-b≤-bcos x≤b,所以 a-b≤a-bcos x≤a+b. 所以 解得 所以 y=-4bsin ax=-4sin x. 最大值为 4,最小值为-4,最小正周期为 4π. 当 b<0 时 b≤-bcos x≤-b,所以 a+b≤a-bcos x≤a-b. 所以 解得 所以 y=-4bsin ax=4sin x. 最大值为 4,最小值为-4,最小正周期为 4π. 1.若函数 y=cos x 在区间[-π,a]上为增函数,则 a 的取值范围是 ________. 【解析】因为 y=cos x 在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数,所 以只有 -π