高中数学第二章平面解析几何2-3-1圆的标准方程课件新人教B版选择性必修第一册 22页

2 . 3 . 1 　 圆的标准方程 核心 素养 1 . 掌握圆的定义及标准方程 . ( 数学抽象 ) 2 . 能根据圆心、半径写出圆的标准方程 , 并能解决一些简单的实际问题 . ( 数学模型 ) 3 . 会用待定系数法求圆的标准方程 . ( 数学运算 ) 4 . 能借助圆的几何性质处理与圆心及半径有关的问题 . ( 直观想象 ) 思维脉络 激趣诱思 知识点拨 拉达尔公路隧道位于挪威西部 , 是世界上最长的公路隧道 . 拉达尔隧道位于挪威西部的拉达尔和艾于兰之间 , 全长 24 . 51 千米 . 于 1995 年 3 月开始动工兴建 ,2000 年 11 月 27 日正式通车 . 隧道 中也蕴含着丰富的数学知识 , 比如 , 隧道横截面可近似看成半圆形 , 测出相关数据可以解决车辆能否通过的问题 . 提出问题 已知隧道的截面是半径为 4 m 的半圆 , 车辆只能在道路中心线一侧行驶 , 一辆宽为 2 . 7 m, 高为 3 m 的货车能不能驶入这个隧道 ? 提示 : 以某一截面半圆的圆心为坐标原点 , 半圆的直径 AB 所在直线为 x 轴 , 建立直角坐标系 , 则半圆的方程为 x 2 +y 2 = 16( y ≥ 0), 将 x= 2 . 7 代 即 在离隧道中心线 2 . 7 m 处 , 隧道的高度低于货车的高度 , 因此货车不能驶入这个隧道 . 激趣诱思 知识点拨 1 . 圆的定义 平面内到一定点的距离等于定长的点的 集合 是圆 , 其中定点是 圆心 , 定长是圆的 半径 . 微思考 平面内到一个定点的距离小于或等于定长的点的集合是什么 ? 提示 : 是一个以定点为圆心 , 以定长为半径的圆面 . 激趣诱思 知识点拨 2 . 圆的标准方程 一般地 , 如果平面直角坐标系中 ☉ C 的圆心为 C ( a , b ), 半径为 r ( r> 0), 设 M ( x , y ) 为平面直角坐标系中任意一点 , 则点 M 在 ☉ C 上的充要条件是 |CM|=r , 即 = r , 两边平方 , 得 ( x-a ) 2 + ( y-b ) 2 =r 2 , 通常称为圆的标准方程 . 激趣诱思 知识点拨 微判断 (1)( x-a ) 2 + ( y-b ) 2 =r 2 一定表示圆的方程 . ( 　　 ) 直线 y=b 下方的半圆弧 . ( 　　 ) 答案 : (1)× 　 (2) √ 微思考 在平面直角坐标系中 , 圆是函数的图像吗 ? 提示 : 根据函数知识 , 对于平面直角坐标系中的某一曲线 , 如果垂直于 x 轴的直线与此曲线至多有一个交点 , 那么这条曲线是函数的图像 , 否则 , 不是函数的图像 . 对于平面直角坐标系中的圆 , 垂直于 x 轴的直线与其至多有两个交点 , 因此圆不是函数的图像 . 激趣诱思 知识点拨 3 . 点与圆的位置关系 点 M ( x 0 , y 0 ) 与 ☉ C :( x-a ) 2 + ( y-b ) 2 =r 2 的位置关系及判断方法 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点 M 在圆上 |CM|=r (x 0 -a) 2 +(y 0 -b) 2 =r 2 点 M 在圆外 |CM|>r (x 0 -a) 2 +(y 0 -b) 2 >r 2 点 M 在圆内 |CM| 5, 因此点 (3,6) 在该圆外 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 一题多解 —— 待定系数法与几何法求圆的标准方程 案例 求经过点 P (1,1) 和坐标原点 , 并且圆心在直线 2 x+ 3 y+ 1 = 0 上的圆的标准方程 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 归纳提升 (1) 待定系数法求圆的标准方程的一般 步骤 (2) 几何法即是利用平面几何知识 , 求出圆心和半径 , 然后写出圆的标准方程 . (3) 有时待定系数法和几何法交叉使用 , 体现数形结合的数学思想 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 1 . 圆心为 (3,1), 半径为 5 的圆的标准方程是 ( 　　 ) A.( x+ 3) 2 + ( y+ 1) 2 = 5 B.( x+ 3) 2 + ( y+ 1) 2 = 25 C.( x- 3) 2 + ( y- 1) 2 = 5 D .( x- 3) 2 + ( y- 1) 2 = 25 答案 : D 2 . 若点 (5 a+ 1,12 a ) 在圆 ( x- 1) 2 +y 2 = 1 的内部 , 则实数 a 满足 ( 　　 ) 答案 : D 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 3 . 圆心在 y 轴上 , 半径为 1, 且过点 (1,2) 的圆的标准方程是 ( 　　 ) A. x 2 + ( y- 2) 2 = 1 B. x 2 + ( y+ 2) 2 = 1 C.( x- 1) 2 + ( y- 3) 2 = 1 D. x 2 + ( y- 3) 2 = 1 解析 : 方法一 : 直接法 ∴ b= 2, ∴ 圆的标准方程是 x 2 + ( y- 2) 2 = 1 . 方法二 : 数形结合法 作图 ( 如图 ), 根据点 (1,2) 到圆心的距离为 1 易知 , 圆心 为 (0,2), 故圆的标准方程是 x 2 + ( y- 2) 2 = 1 . 答案 : A 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 4 . 圆 ( x- 3) 2 + ( y+ 1) 2 = 1 关于直线 x+y- 3 = 0 对称的圆的标准方程是 　　　　　　　　 .   解析 : 设圆心 A (3, - 1) 关于直线 x+y- 3 = 0 对称的点 B 的坐标为 ( a , b ), 故所求圆的标准方程为 ( x- 4) 2 +y 2 = 1 . 答案 : ( x- 4) 2 +y 2 = 1 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 5 . 求过点 A (1, - 1), B ( - 1,1), 且圆心在直线 x+y- 2 = 0 上的圆的标准方程 . 解 : 设圆的标准方程为 ( x-a ) 2 + ( y-b ) 2 =r 2 , 根据已知条件可 得 所以所求圆的标准方程为 ( x- 1) 2 + ( y- 1) 2 = 4 .