高中数学第二章平面解析几何2-5-2椭圆的几何性质课件新人教B版选择性必修第一册 33页

2 . 5 . 2 　 椭圆的几何性质 核心 素养 1 . 掌握椭圆的几何性质 , 掌握 a , b , c , e 的几何意义及 a , b , c , e 之间的相互关系 . ( 直观想象 ) 2 . 尝试利用椭圆的方程研究椭圆的几何性质 . ( 直观想象 ) 3 . 尝试利用椭圆的知识解决简单的实际问题 . ( 数学运算、数学建模 ) 思维脉络 激趣诱思 知识点拨 根据开普勒三大定律 , 地球围绕太阳公转的轨道是一个椭圆 , 太阳处在这个椭圆的一个焦点上 . 在椭圆轨道上有一个近日点和一个远日点 , 在近日点时距离太阳 14 710 万千米 . 在远日点 时 距离太阳 15 210 万千米 . 事实上 , 很多天体或飞行器的运行轨道都是椭圆 . 如神舟九号飞船 , 于 2012 年 6 月 16 日搭载 3 名航天员发射升空 , 之后进入近地点高度 200 千米 . 远地点高度 329 . 8 千米的椭圆形轨道 , 然后进行了 5 次变轨 , 两天后与天宫一号交会对接成功 , 这是中国实施的首次载人空间交会对接 . 激趣诱思 知识点拨 椭圆的几何 性质 激趣诱思 知识点拨 焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 范围 -a ≤ x ≤ a 且 -b ≤ y ≤ b -b ≤ x ≤ b 且 -a ≤ y ≤ a 顶点 A 1 (-a,0),A 2 (a,0), B 1 (0,-b),B 2 (0,b) A 1 (0,-a),A 2 (0,a), B 1 (-b,0),B 2 (b,0) 轴长 长轴长为 2a , 短轴长为 2b 焦点 F 1 (-c,0),F 2 (c,0) F 1 (0,-c),F 2 (0,c) 焦距 2c 对称性 对称轴 : x 轴、 y 轴 , 对称中心 : 坐标原点 离心率 激趣诱思 知识点拨 微 练习 答案 : C 激趣诱思 知识点拨 微 判断 答案 : (1)× 　 (2)× 　 (3) √ 激趣诱思 知识点拨 微思考 离心率对椭圆扁圆程度的影响 ? 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 椭圆的简单几何性质 例 1 求椭圆 m 2 x 2 + 4 m 2 y 2 = 1( m> 0) 的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 讨论椭圆的几何性质时 , 一定要将方程化为标准方程 , 标准方程能将参数的几何意义凸显出来 , 另外要抓住椭圆中 a 2 -b 2 =c 2 这一核心关系式 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 长、短轴长分别相等 , 且椭圆 C 2 的焦点在 y 轴上 . (1) 求椭圆 C 1 的半长轴长、半短轴长、焦点坐标及离心率 ; (2) 写出椭圆 C 2 的方程 , 并研究其性质 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 由几何性质求椭圆的标准方程 例 2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 . (2) 在 x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直 , 且焦距为 6 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 此类问题应由所给的几何性质充分找出 a , b , c 所满足的关系式 , 进而求出 a , b. 在求解时 , 需注意椭圆的焦点位置 , 其次要注意平面几何知识的应用 , 将数形结合思想更多地渗透进去 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2 分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程 . (1) 短轴的一个端点到一个焦点的距离为 5, 焦点到椭圆中心的距离为 3; (2) 离心率 为 , 经过点 (2,0) . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 椭圆的离心率问题 例 3 椭圆 ( a>b> 0) 的两焦点为 F 1 , F 2 , 以 F 1 F 2 为边作正三角形 , 若椭圆恰好平分正三角形的另两条边 , 则椭圆的离心率为 　　　　　 .   探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 求椭圆离心率的值或取值范围的常用方法 ( 3) 方程法 : 若 a , c 的值不可求 , 则可根据条件建立关于 a , b , c 的关系式 , 借助于 a 2 =b 2 +c 2 , 转化为关于 a , c 的齐次方程 ( 或不等式 ), 再将方程 ( 或不等式 ) 两边同除以 a 的最高次幂 , 得到关于 e 的方程 ( 或不等式 ), 即可求得 e 的值 ( 或取值范围 ) . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 椭圆几何性质的实际应用 案例 神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行 , 实现了中国人民的航天梦想 . 某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆 , 地心为椭圆的一个焦点 , 如右图所示 . 假设航天员到地球表面的最近距离为 d 1 , 最远距离为 d 2 , 地球的半径为 R , 我们想象存在一个镜像地球 , 其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上 , 上面发射某种神秘信号 , 需要飞行中的航天员中转后地球上的人才能接收到 , 则传送神秘信号的最短距离为 ( 　　 ) A. d 1 +d 2 +R B. d 2 -d 1 + 2 R C. d 2 +d 1 - 2 R D. d 1 +d 2 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 答案 : D 反思感悟 将太空中的轨迹与学过的椭圆建立起对应关系 . 利用椭圆的几何性质来解决航空航天问题 , 考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 A. 点 ( - 3, - 2) 不在椭圆上 B. 点 (3, - 2) 不在椭圆上 C. 点 ( - 3,2) 在椭圆上 D. 无法判断点 ( - 3, - 2),(3, - 2),( - 3,2) 是否在椭圆上 解析 : 由椭圆以坐标轴为对称轴 , 以原点为对称中心可知 , 点 ( - 3,2) 在椭圆上 , 故选 C . 答案 : C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2 . 设 AB 是 椭圆 ( a>b> 0) 的长轴 , 若把线段 AB 分为 100 等份 , 过每个分点作 AB 的垂线 , 分别交椭圆的上半部分于点 P 1 , P 2 , … , P 99 , F 1 为椭圆的左焦点 , 则 |F 1 A|+|F 1 P 1 |+|F 1 P 2 |+ … +|F 1 P 99 |+|F 1 B| 的值是 ( 　　 ) A.98 a B.99 a C.100 a D.101 a 解析 : 由椭圆的定义及其对称性可知 |F 1 P 1 |+|F 1 P 99 |=|F 1 P 2 |+|F 1 P 98 |= … =|F 1 P 49 |+|F 1 P 51 |=|F 1 A|+|F 1 B|= 2 a , |F 1 P 50 |=a , 故结果应为 50×2 a+|F 1 P 50 |= 101 a. 答案 : D 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3 . 若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形 , 则该椭圆的离心率为 ( 　　 ) 解析 : 不妨设椭圆的左、右焦点分别为 F 1 , F 2 , B 为椭圆的上顶点 . 依题意可知 , △ BF 1 F 2 是正三角形 . ∵ 在 Rt △ OBF 2 中 , |OF 2 |=c , |BF 2 |=a , ∠ OF 2 B= 60 ° , 答案 : A 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5 . 万众瞩目的北京冬奥会将于 2022 年 2 月 4 日正式开幕 , 继 2008 年北京奥运会之后 , 国家体育场 ( 又名鸟巢 ) 将再次承办奥运会开幕式 . 在手工课上 , 王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型 , 其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆 . 已知大椭圆的长轴长为 40 cm, 短轴长为 20 cm, 小椭圆的短轴长为 10 cm, 则小椭圆的长轴长为 　　　　　 cm .   答案 : 20 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测