高考卷 2006年普通高等学校招生全国统一考试 数学（江西卷 16页

‎2006年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）‎ 理科数学 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。‎ 考生注意事项：‎ ‎1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。‎ ‎2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。‎ ‎3．答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。‎ ‎4．考试结束，监考人员将试题卷和答题卡一并收回。‎ 参考公式：‎ 如果时间A、B互斥，那么 如果时间A、B相互独立，那么 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 球的表面积公式，其中R表示球的半径 球的体积公式，其中R表示球的半径 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1、已知集合M＝｛x|｝，N＝｛y|y＝3x2＋1，xÎR｝，则MÇN＝（ ）‎ A．Æ B. {x|x³1} C.｛x|x>1｝ D. {x| x³1或x<0}‎ ‎2、已知复数z满足（＋3i）z＝3i，则z＝（ ）‎ A． B. C. D.‎ ‎3、若a>0，b>0，则不等式－b< D.x<或x> ‎4、设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若＝－4‎ 则点A的坐标是（ ）‎ A．（2，±2） B. (1，±2) C.（1，2）D.(2，2)‎ ‎5、对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）³0，则必有（ ）‎ A． f（0）＋f（2）<2f（1） B. f（0）＋f（2）£2f（1）‎ B． f（0）＋f（2）³2f（1） C. f（0）＋f（2）>2f（1）‎ ‎6、若不等式x2＋ax＋1³0对于一切xÎ（0，〕成立，则a的取值范围是（ ）‎ A．0 B. –2 C.- D.-3‎ ‎7、已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200＝（ ）‎ A．100 B. 101 C.200 D.201‎ ‎8、在（x－）2006 的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝时，S等于（ ）‎ A.23008 B.-23008 C.23009 D.-23009‎ ‎9、P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5）2＋y2＝4和（x－5）2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ ）‎ A. 6 B.7 C.8 D.9‎ ‎10、将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2 人，不同的分组数为a，甲、乙分到同一组的概率为p，则a、p的值分别为（ ）‎ A． a=105 p= B.a=105 p= C.a=210 p= D.a=210 p=‎ ‎11、如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（ ）‎ A. S1S2‎ C. S1=S2‎ D. S1，S2的大小关系不能确定 ‎12、某地一年的气温Q（t）（单位：ºc）与时间t（月份）之间的关系如图（1）所示，已知该年的平均气温为10ºc，令G（t）表示时间段〔0,t〕的平均气温，G（t）与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是（ ）‎ ‎10ºc G(t)‎ ‎10ºc G(t)‎ G(t)‎ ‎10ºc t t t ‎12‎ ‎6‎ ‎6‎ O ‎12‎ ‎6‎ ‎12‎ O O 图（1）‎ ‎ ‎ B A D ‎10ºc G(t)‎ O ‎6‎ ‎12‎ t C G(t)‎ ‎10ºc ‎6‎ ‎12‎ t O ‎ ‎ 理科数学 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 注意事项：‎ 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡的相应位置。‎ ‎13、数列｛｝的前n项和为Sn，则Sn＝______________‎ ‎14、设f（x）＝log3（x＋6）的反函数为f－1（x），若〔f－1（m）＋6〕〔f－1（n）＋6〕＝27‎ 则f（m＋n）＝___________________‎ ‎15、如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，ÐACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是___________‎ ‎16、已知圆M：（x＋cosq）2＋（y－sinq）2＝1，‎ 直线l：y＝kx，下面四个命题：‎ （A） 对任意实数k与q，直线l和圆M相切；‎ （B） 对任意实数k与q，直线l和圆M有公共点；‎ （C） 对任意实数q，必存在实数k，使得直线l与 和圆M相切 ‎（D）对任意实数k，必存在实数q，使得直线l与 和圆M相切 其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17、（本小题满分12分）‎ 已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值 （1） 求a、b的值与函数f（x）的单调区间 （2） 若对xÎ〔－1，2〕，不等式f（x）b>0）的右焦点F（c，0），过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点 （1） 求点P的轨迹H的方程 （2） 在Q的方程中，令a2＝1＋cosq＋sinq，b2＝sinq（01｝ D. {x| x³1或x<0}‎ 解：M＝｛x|x>1或x£0｝，N＝｛y|y³1｝故选C ‎2、已知复数z满足（＋3i）z＝3i，则z＝（ D ）‎ A． B. C. D.‎ 解：故选D ‎3、若a>0，b>0，则不等式－b< D.x<或x> 解：‎ 故选D ‎4、设O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若＝－4‎ 则点A的坐标是（B ）‎ A．（2，±2） B. (1，±2) C.（1，2）D.(2，2)‎ 解：F（1，0）设A（，y0）则＝（ ，y0），＝（1－，－y0），由 · ＝－4Þy0＝±2，故选B ‎5、对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）³0，则必有（ C ）‎ A． f（0）＋f（2）<2f（1） B. f（0）＋f（2）£2f（1）‎ C. f（0）＋f（2）³2f（1） D. f（0）＋f（2）>2f（1）‎ 解：依题意，当x³1时，f¢（x）³0，函数f（x）在（1，＋¥）上是增函数；当x<1时，f¢（x）£0，f（x）在（－¥，1）上是减函数，故f（x）当x＝1时取得最小值，即有 f（0）³f（1），f（2）³f（1），故选C ‎6、若不等式x2＋ax＋1³0对于一切xÎ（0，）成立，则a的取值范围是（ C ）‎ A．0 B. –2 C.- D.-3‎ 解：设f（x）＝x2＋ax＋1，则对称轴为x＝‎ 若³，即a£－1时，则f（x）在〔0，〕上是减函数，应有f（）³0Þ ‎－£x£－1‎ 若£0，即a³0时，则f（x）在〔0，〕上是增函数，应有f（0）＝1>0恒成立，故a³0‎ 若0££，即－1£a£0，则应有f（）＝恒成立，故－1£a£0‎ 综上，有－£a故选C ‎7、已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200＝（ A ）‎ A．100 B. 101 C.200 D.201‎ 解：依题意，a1＋a200＝1，故选A ‎8、在（x－）2006 的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝‎ 时，S等于（B ）‎ A.23008 B.-23008 C.23009 D.-23009‎ 解：设（x－）2006＝a0x2006＋a1x2005＋…＋a2005x＋a2006‎ 则当x＝时，有a0（）2006＋a1（）2005＋…＋a2005（）＋a2006＝0 （1）‎ 当x＝－时，有a0（）2006－a1（）2005＋…－a2005（）＋a2006＝23009 （2）‎ ‎（1）－（2）有a1（）2005＋…＋a2005（）＝－23009¸2＝－23008‎ 故选B ‎9、P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆（x＋5）2＋y2＝4和（x－5）2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为（ D ）‎ A. 6 B.7 C.8 D.9‎ 解：设双曲线的两个焦点分别是F1（－5，0）与F2（5，0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时 ‎|PM|－|PN|＝（|PF1|－2）－（|PF2|－1）＝10－1＝9故选B ‎10、将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2 人，不同的分组数为a，甲、乙分到同一组的概率为p，则a、p的值分别为（ A ）‎ A． a=105 p= B.a=105 p= C.a=210 p= D.a=210 p=‎ 解：a＝＝105‎ 甲、乙分在同一组的方法种数有 （1） 若甲、乙分在3人组，有＝15种 （2） 若甲、乙分在2人组，有＝10种，故共有25种，所以P＝‎ 故选A ‎11、如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（ ）‎ A. S1S2‎ C. S1=S2‎ D. S1，S2的大小关系不能确定 解：连OA、OB、OC、OD 则VA－BEFD＝VO－ABD＋VO－ABE＋V O－BEFD VA－EFC＝VO－ADC＋VO－AEC＋VO－EFC又VA－BEFD＝VA－EFC而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故SABD＋SABE＋SBEFD＝SADC＋SAEC＋SEFC又面AEF公共，故选C ‎12、某地一年的气温Q（t）（单位：ºc）与时间t（月份）之间的关系如图（1）所示，已知该年的平均气温为10ºc，令G（t）表示时间段〔0,t〕的平均气温，G（t）与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是（ A ）‎ ‎10ºc G(t)‎ ‎10ºc G(t)‎ G(t)‎ ‎10ºc t t t ‎12‎ ‎6‎ ‎6‎ O ‎12‎ ‎6‎ ‎12‎ O O 图（1）‎ ‎ ‎ B A D ‎10ºc G(t)‎ O ‎6‎ ‎12‎ t C G(t)‎ ‎10ºc ‎6‎ ‎12‎ t O ‎ ‎ 解：结合平均数的定义用排除法求解 理科数学 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 注意事项：‎ 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡的相应位置。‎ ‎13、数列｛｝的前n项和为Sn，则Sn＝‎ ‎13、解： ‎ 故 ‎14、设f（x）＝log3（x＋6）的反函数为f－1（x），若〔f－1（m）＋6〕〔f－1（n）＋6〕＝27‎ 则f（m＋n）＝___________________‎ 解：f－1（x）＝3x－6故〔f－1（m）＋6〕·〔f－1（x）＋6〕＝3m·3n＝3m ＋n＝27‎ m＋n＝3f（m＋n）＝log3（3＋6）＝2‎ ‎15、如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，ÐACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是___________‎ 解：连A1B，沿BC1将△CBC1展开与△A1BC1在同一个平面内，如图所示，‎ A1‎ C1‎ B C 连A1C，则A1C的长度就是所求的最小值。‎ 通过计算可得ÐA1C1C＝90°又ÐBC1C＝45° ÐA1C1C＝135° 由余弦定理可求得A1C＝‎ ‎16、已知圆M：（x＋cosq）2＋（y－sinq）2＝1，‎ 直线l：y＝kx，下面四个命题：‎ （A） 对任意实数k与q，直线l和圆M相切；‎ （B） 对任意实数k与q，直线l和圆M有公共点；‎ （C） 对任意实数q，必存在实数k，使得直线l与 和圆M相切 ‎（D）对任意实数k，必存在实数q，使得直线l与 和圆M相切 其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）‎ 解：圆心坐标为（－cosq，sinq）d＝‎ 故选（B）（D）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17、（本小题满分12分）‎ 已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值 （1） 求a、b的值与函数f（x）的单调区间 （2） 若对xÎ〔－1，2〕，不等式f（x）f（2）＝2＋c 解得c<－1或c>2‎ ‎18、（本小题满分12分）‎ 某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球，1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出2个红球可获得奖金50元，现有甲，乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令x表示甲，乙摸球后获得的奖金总额。求：‎ ‎（1）x的分布列 （2）x的的数学期望 ‎18、解：（1）x的所有可能的取值为0，10，20，50，60‎ 分布列为 x ‎0‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎60‎ P ‎(2)Ex＝3.3‎ ‎19、（本小题满分12分）‎ 如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是 边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，‎ 设ÐMGA＝a（）‎ （1） 试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）‎ 表示为a的函数 （1） 求y＝的最大值与最小值 ‎19、解：‎ （1） 因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，‎ 所以 AG＝，ÐMAG＝，‎ 由正弦定理 得 则S1＝GM·GA·sina＝‎ 同理可求得S2＝‎ （2） y＝＝‎ ‎＝72（3＋cot2a）因为，所以当a＝或a＝时，y取得最大值ymax＝240‎ 当a＝时，y取得最小值ymin＝216‎ ‎20、（本小题满分12分）‎ 如图，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD、ACD 是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，‎ 且AD＝，BD＝CD＝1，另一个侧面是正三角形 （1） 求证：AD^BC （2） 求二面角B－AC－D的大小 （3） 在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD 成30°角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由。‎ ‎20、解法一：‎ （1） 方法一：作AH^面BCD于H，连DH。‎ AB^BDÞHB^BD，又AD＝，BD＝1‎ AB＝＝BC＝AC BD^DC 又BD＝CD，则BHCD是正方形，则DH^BCAD^BC 方法二：取BC的中点O，连AO、DO 则有AO^BC，DO^BC，BC^面AOD BC^AD （1） 作BM^AC于M，作MN^AC交AD于N，则ÐBMN就是二面角B－AC－D的平面角，因为AB＝AC＝BC＝M是AC的中点，且MN¤¤CD，则BM＝，MN＝CD＝，BN＝AD＝，由余弦定理可求得cosÐBMN＝‎ ÐBMN＝arccos （2） 设E是所求的点，作EF^CH于F，连FD。则EF¤¤AH，EF^面BCD，ÐEDF就是ED与面BCD所成的角，则ÐEDF＝30°。设EF＝x，易得AH＝HC＝1，则CF＝x，FD＝， anÐEDF＝＝＝解得x＝，则CE＝x＝1‎ 故线段AC上存在E点，且CE＝1时，ED与面BCD成30°角。‎ 解法二：此题也可用空间向量求解，解答略 ‎21、（本大题满分12分）‎ 如图，椭圆Q：（a>b>0）的右焦点F（c，0），过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中点 （1） 求点P的轨迹H的方程 （2） 在Q的方程中，令a2＝1＋cosq＋sinq，b2＝sinq（0b>0）‎ 上的点A（x1，y1）、B（x2，y2），又设P点坐标为P（x，y），则 ‎1°当AB不垂直x轴时，x1¹x2，‎ 由（1）－（2）得 b2（x1－x2）2x＋a2（y1－y2）2y＝0‎ ‎ ‎ 2x2＋a2y2－b2cx＝0…………（3）‎ ‎2°当AB垂直于x轴时，点P即为点F，满足方程（3）‎ 故所求点P的轨迹方程为：b2x2＋a2y2－b2cx＝0‎ ‎（2）因为，椭圆 Q右准线l方程是x＝，原点距l 的距离为，由于c2＝a2－b2，a2＝1＋cosq＋sinq，b2＝sinq（0…………2° 显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个nÎN*，有 ³1－（）…………3° 用数学归纳法证明3°式：‎ （i） n＝1时，3°式显然成立，‎ （ii） 设n＝k时，3°式成立，‎ 即³1－（）‎ 则当n＝k＋1时，‎ ³〔1－（）〕·（）‎ ‎＝1－（）－＋（）‎ ³1－（＋）即当n＝k＋1时，3°式也成立。‎ 故对一切nÎN*，3°式都成立。‎ 利用3°得，³1－（）＝1－‎ ‎＝1－> 故2°式成立，从而结论成立。‎