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- 2021-06-16 发布
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课时达标检测(十四) 三角函数模型的简单应用
一、选择题
1.电流 I(A)随时间 t(s)变化的关系式为 I=3sin 100πt,t∈[0,+∞),则电流 I变化的周
期是( )
A. 1
50
B.50
C. 1
100
D.100
答案:A
2.如图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置 O的距离 s(cm)和
时间 t(s)的函数关系式为 s=6sin
2πt+π
6 ,那么单摆来回摆动一次所需的
时间为( )
A.2π s B.π s
C.0.5π s D.1 s
答案:D
3.如图为一半径为 3米的水轮,水轮圆心 O距离水面 2米,已知水轮每分钟旋转 4 圈,
水轮上的点 P到水面的距离 y(米)与时间 x(秒)满足函数关系 y=Asin(ωx+φ)+2,则有( )
A.ω=2π
15
,A=3 B.ω=15
2π
,A=3
C.ω=2π
15
,A=5 D.ω=15
2π
,A=5
答案:A
4.动点 A(x,y)在圆 x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12 s旋转一周.已
知时间 t=0时,点 A的坐标是
1
2
,
3
2 ,则当 0≤t≤12时,动点 A的纵坐标 y关于 t(单位:s)
的函数的单调递增区间是( )
A.[0,1] B.[1,7]
C.[7,12] D.[0,1]和[7,12]
答案:D
5.如图,设点 A是单位圆上的一定点,动点 P 从点 A 出发在圆上按
逆时针方向旋转一周,点 P所旋转过的 A P 的长为 l,弦 AP的长为 d,
则函数 d=f(l)的图象大致是( )
答案:C
二、填空题
6.直线 y=a与曲线 y=sin
x+π
3 在(0,2π)内有两个不同的交点,则实数 a 的取值范围是
________.
答案:
-1, 3
2 ∪
3
2
,1
7.一根长 a cm的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时,离开平衡位置的
位移 s(cm)和时间 t(s)的函数关系式是 s=3cos
g
a
t+π
3 ,t∈[0,+∞),则小球摆动的周期
为________s.
答案:
2π· a
g
8.据市场调查,某种商品一年内每件的出厂价在 7千元的基础上,按月呈 f(x)=Asin(ωx
+φ)+B
A>0,ω>0,|φ|<π
2 的模型波动(x为月份),已知 3月份达到最高价 9千元,9月份
价格最低为 5千元.根据以上条件可确定 f(x)的解析式为________.
答案:f(x)=2sinπ
6
x+7
三、解答题
9.如图所示,某市拟在长为 8 km 的道路 OP的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部
分为曲线段 OSM,该曲线段为函数 y=Asin ωx(A>0,ω>0),x∈[0,4]的图象,且图象的最高
点为 S(3,2 3);赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全,限定∠MNP=120°.
求 A,ω的值和M,P两点间的距离.
解:依题意,有 A=2 3,T
4
=3,即 T=12.
又 T=2π
ω
,∴ω=π
6
.
∴y=2 3sinπ
6
x,x∈[0,4].
∴当 x=4时,y=2 3sin2π
3
=3.
∴M(4,3).
又 P(8,0),
∴MP= 8-42+0-32
= 42+32=5(km).
即M,P两点间的距离为 5 km.
10.在一个港口,相邻两次高潮发生时间相距 12 h,低潮时水的深度为 8.4 m,高潮时为
16 m,一次高潮发生在 10 月 10 日 4:00.每天涨潮落潮时,水的深度 d(m)与时间 t(h)近似满
足关系式 d=Asin(ωt+φ)+h.
(1)若从 10月 10日 0:00开始计算时间,选用一个三角函数来近似描述该港口的水深 d(m)
和时间 t(h)之间的函数关系.
(2)10月 10日 17:00该港口水深约为多少?(精确到 0.1 m)
(3)10月 10日这一天该港口共有多长时间水深低于 10.3 m?
解:(1)依题意知 T=2π
ω
=12,
故ω=π
6
,h=8.4+16
2
=12.2,
A=16-12.2=3.8,
所以 d=3.8sin
π
6
t+φ
+12.2.
又因为 t=4时,d=16,所以 sin
4π
6
+φ
=1,
所以φ=-
π
6
,所以 d=3.8sin
π
6
t-π
6 +12.2.
(2)t=17时,d=3.8sin
17π
6
-
π
6 +12.2
=3.8sin2π
3
+12.2≈15.5(m).
(3)令 3.8sin
π
6
t-π
6 +12.2<10.3,
有 sin
π
6
t-π
6 <-
1
2
,
因此 2kπ+7π
6
<
π
6
t-π
6
<2kπ+11π
6
(k∈Z),
所以 2kπ+4π
3
<
π
6
t<2kπ+2π,k∈Z,
所以 12k+8<t<12k+12.
令 k=0,得 t∈(8,12);
令 k=1,得 t∈(20,24).
故这一天共有 8 h水深低于 10.3 m.