黑龙江省大庆中学2021届高三数学（理）10月月考试题（Word版附答案） 8页

大庆中学2020-2021上半学年高三年级第一次月考数学试题（理科）‎ 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知命题：，，命题：正数的对数都是正数，则下列命题中为真命题的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知平面向量，，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）‎ A．20 B．24 ‎ C． 18 D．16‎ ‎6．已知是的奇函数，满足，若，则（ ）‎ A．—50 B．2 C．0 D．50‎ ‎7．甲、乙、丙、丁四个人去旅游，可供选择的景点有3个，每人只能选择一个景点且甲、乙不能同去一个景点，则不同的选择方案的种数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．在等比数列中， 是方程的根，则 A． B． C． D．‎ ‎9．已知A、B是圆上的两个动点，且，．若点M是线段的中点，则（ ）‎ A． B．2 C． D．3‎ ‎10．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，有下列四个结论：①；②；③；④.其中所有正确结论的编号是（ ）‎ A．①②③ B．②④ C．①② D．①③‎ ‎11．设双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，且是的一个四等分点，则双曲线的离心率是（ ）‎ A． B． C． D．5‎ ‎12．已知函数f（x）满足f（x）＝f（3x），当x∈[1，3），f（x）＝lnx，若在区间[1，9）内，函数g（x）＝f（x）﹣ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题 ‎13．函数，则____________．‎ ‎14．的展开式中的系数为________.（用数字作答）‎ ‎15．已知实数满足约束条件，则的最大值为______．‎ ‎16．, ‎ 所成角 的余弦值 .‎ 三、解答题 ‎17．已知数列的前n项和为，且满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，记数列的前n项和为，求证：.‎ ‎18．已知的内角所对的边为，,.‎ ‎（1）求；（2）若角的平分线交于,且的面积为，求的长.‎ ‎19．设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.A ‎（1）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；‎ ‎（2）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.‎ ‎20．已知椭圆左，右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，过的直线与椭圆交于，两点.‎ ‎（1）当时，求的最大值；‎ ‎（2）点在线段上，且，点关于原点对称的点为点，求 面积的取值范围.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）当时，求的最值；‎ ‎（2）若函数存在两个极值点，求的取值范围.‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知点，直线l与曲线C相交于AB两点，求的值.‎ ‎____________________________________________________________________________________________‎ 则，‎ 所以数列的前n项和：‎ ‎ ‎ ‎，‎ 因为，所以，所以，‎ 即.‎ 18． ‎19．‎ ‎(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为，‎ 故，从面.‎ 所以，随机变量的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 随机变量的数学期望.‎ ‎____________________________________________________________________________________________‎ ‎(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为，则.‎ 且.‎ 由题意知事件与互斥，‎ 且事件与，事件与均相互独立，‎ 从而由(Ⅰ)知：‎ ‎.‎ ‎20．‎ ‎（1）当时，为线段的中点，根据椭圆的对称性，可知轴，‎ 所以，‎ 所以，当点在椭圆的左顶点时，等号成立，故的最大值为.‎ ‎（2）由题可知，设，，，则，‎ 由题意可知，，‎ 联立，整理得，‎ 由根与系数的关系得，，‎ 所 ‎____________________________________________________________________________________________‎ ‎，‎ 令，‎ 则，‎ 因为在上是增函数，所以，‎ 所以面积的取值范围为.‎ ‎21．‎ ‎____________________________________________________________________________________________‎ ‎22．(1)由,两式相加可得,即.‎ 又,即 即. ‎ ‎(2)将化简成关于点的参数方程有：,（为参数）,‎ 代入有,‎ 则.‎