浙江省丽水市五校2019-2020学年高二下学期3月联考数学试题 Word版含解析 21页

www.ks5u.com ‎2019—2020学年高二第二学期3月段考数学试卷 一、选择题 ‎1.在空间直角坐标系中，点与点（ ）‎ A. 关于平面对称 B. 关于平面对称 C. 关于平面对称 D. 关于轴对称 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用“关于哪个对称，哪个坐标就相同”，得出正确选项.‎ ‎【详解】两个点和，两个坐标相同，坐标相反，故关于平面对称，故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查空间点对称关系，考查理解和记忆能力，属于基础题.‎ ‎2.复数等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为,故选C.‎ ‎3.圆与圆的位置关系是（ ）‎ A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 相离 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算两个圆的圆心距以及，比较大小后得出正确选项.‎ ‎【详解】两个圆的圆心分别为，圆心距，两个圆半径均为，故，所以两个圆相交.故选A.‎ - 21 -‎ ‎【点睛】本小题主要考查圆与圆的位置关系，考查圆的圆心和半径以及圆心距的计算，属于基础题.‎ ‎4.“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将两个条件相互推导，根据能否推导的情况选出正确选项.‎ ‎【详解】当“”时，如，，故不能推出“” .当“”时，必然有“”.故“”是“”的必要不充分条件.‎ ‎【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查含有绝对值的不等式，属于基础题.‎ ‎5.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）‎ A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在A中，由线面垂直的性质定理得m∥n；在B中，α与β相交或平行；在C中，α⊥β；在D中，α与β相交或平行．‎ ‎【详解】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：‎ 在A中，若m⊥α，n⊥β，α∥β，则由线面垂直的性质定理得m∥n，故A正确；‎ 在B中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故B错误；‎ 在C中，若m⊥α，m∥β，则α⊥β，故C错误；‎ 在D中，若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β相交或平行，故D - 21 -‎ 错误．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．‎ ‎6.设，则（ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导得到函数的导函数，代入求值即可.‎ ‎【详解】因为，所以.‎ 故答案为:B.‎ ‎【点睛】考查了常见函数的导函数的求法，较为基础.‎ ‎7.如图，在空间四边形中，，，，，则异面直线与所成角的大小是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过计算出的数量积，然后利用夹角公式计算出与所成角的余弦值，进而得出所成角的大小.‎ ‎【详解】依题意可知,‎ - 21 -‎ ‎ .设直线与所成角为，则，故.所以本小题选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用空间向量的数量积，计算空间两条异面直线所成角的大小，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.要求两条异面直线所成的角，可以通过向量的方法，通过向量的夹角公式先计算出夹角的余弦值，再由此得出所成角的大小.‎ ‎8.经过坐标原点的直线与曲线相切于点.若，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得函数在上的表达式，利用导数求得切线的斜率，写出切线方程，利用切线方程过原点求出切点的坐标满足的等式，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】当时，故，.所以切点为，切线的斜率为，由点斜式得，将原点坐标代入得，即，故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查经过某点的曲线切线方程的求解方法，考查含有绝对值的函数的解析式，考查利用导数求曲线的切线方程，考查同角三角函数的基本关系式，属于中档题.本题的关键点有两个：一个是函数在上的表达式，另一个是设出切点，求出切线方程后，将原点坐标代入化简.‎ ‎9.已知椭圆的右焦点是，为坐标原点，若椭圆上存在一点，使是等腰直角三角形，则椭圆的离心率不可能为（ ）‎ - 21 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别根据为直角时，椭圆的离心率，由此得出正确的选项.‎ ‎【详解】当时，代入椭圆方程并化简得，解得.当时，，，故.当时，，即，，，解得.综上所述，C选项不可能，故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查等腰直角三角形的性质，考查椭圆离心率的求解方法，属于中档题.‎ ‎10.在正方体中，分别为线段、上的动点，设直线与平面、平面所成角分别是，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在图中分别作出直线与平面、平面所成的角，根据边长判断出，求出的表达式，并根据表达式求得的最小值，也即是的最大值.‎ ‎【详解】设正方体边长为.过作，而，故平面，故.同理过作，得到.由于，故 - 21 -‎ ‎，所以，即.而，当取得最小值时，取得最小值为，即取得最大值为.故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查直线和平面所成的角，考查三角函数最值的判断与求解，属于中档题.‎ 二、填空题（前四题每题6分，后三题每题4分满分36分）‎ ‎11.已知直线：，若的倾斜角为，则实数_______；若直线与直线垂直，则实数_______．‎ ‎【答案】 (1). (2). 2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据倾斜角求得斜率，由此列方程求得的值.根据两直线垂直的条件列方程，由此解出的值.‎ ‎【详解】当倾斜角为时，斜率为，故.由于直线和直线垂直，所以，解得（时不是直线方程，舍去）.‎ - 21 -‎ ‎【点睛】本小题主要考查直线倾斜角与斜率的关系，考查两直线垂直的条件，属于基础题.‎ ‎12.已知函数，则在处的切线方程为_________；单调递减区间是_______．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得的导数，由此求得切线的斜率，并求得切线方程，根据导数求得函数的单调区间.‎ ‎【详解】依题意.，故切线方程为.由，解得，即函数的单调递减区间为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数求曲线的切线方程，考查利用导数求函数的单调区间，属于中档题.‎ ‎13.某空间几何体的三视图如图所示，已知俯视图是一个边长为2的正方形，侧视图是等腰直角三角形，则该几何体的最长的棱的长度为_______；该几何体的体积为______．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 21 -‎ 画出三视图对应的原图的直观图，根据直观图判断出最长的棱，利用椎体体积公式求得几何体的体积.‎ ‎【详解】由三视图可知，原图为四棱锥，画出图像如下图所示.由图可知，为最长的棱长.由三视图可知，故，且四棱锥的体积为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，考查几何体边长的计算，考查几何体体积的计算，考查空间想象能力，属于中档题.解题的关键在于根据俯视图为正方形，计算出侧视图的宽，并求得几何体的高.根据的要点是：长对正、高平齐，宽相等.也即俯视图的宽和侧视图的宽是相等的.‎ ‎14.如图，已知抛物线：，则其准线方程为_______；过抛物线焦点的直线与抛物线相交于两点，若，则_______.‎ - 21 -‎ ‎【答案】 (1). (2). 6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线的方程求得的值，由此求得准线方程.利用抛物线的定义求得点坐标，进而求得直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程求得点的坐标，进而求得.‎ ‎【详解】依题意抛物线的方程为，故，所以准线方程为.由于，根据抛物线的定义，，，代入抛物线方程，求得.所以直线的斜率为，方程为.代入抛物线方程并化简得，解得，根据抛物线的定义可知.‎ ‎【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查抛物线的几何性质，考查过抛物线焦点的直线所得弦长问题，属于中档题.抛物线的焦点坐标和准线方程，与的值有关，过抛物线焦点的直线，常用的是利用抛物线的定义来解题.直线和抛物线联立，解方程组可求得交点的坐标.‎ ‎15.函数存在极值点，则的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ - 21 -‎ 求导，根据题意知方程有两个不等的实根，可得出，进而可求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】求导函数，可得，‎ 函数存在极值点，‎ 有两不等实根，其判别式，或，‎ 的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数极值点的存在性求参数的取值范围，一般转化为导函数的零点，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎16.过双曲线：的左焦点作圆的切线，设切点为，延长交抛物线：于点，其中有一个共同的焦点，若，则双曲线的离心率为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆心到切线的距离等于半径求得，根据中位线求得且，利用等面积法求得点的纵坐标，代入切线方程求得横坐标.求出抛物线的方程，将点的坐标代入抛物线方程，化简后求得的值，进而求得双曲线的离心率.‎ ‎【详解】由于直线和圆相切，故圆心到直线距离等于半径，而，故.所以直线的斜率为，故直线的方程为.由于是的中点，故是三角形的中位线，故且，由等面积法得，解得，代入直线的方程，求得 - 21 -‎ ‎，故.由于抛物线和双曲线焦点相同，故，所以抛物线方程为，将点坐标代入抛物线方程并化简得，即，解得，故双曲线的离心率为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线和抛物线的位置关系，考查双曲线的离心率，属于中档题.‎ ‎17.已知矩形，，，现将沿对角线向上翻折，若翻折过程中的长度在范围内变化，则点的运动轨迹的长度是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 过点D，作交AC于点F，交AB于点G，过点B作交DF于点E，得到点的运动轨迹是以F为圆心，以DF为半径的圆弧，为二面角D-AC-B的平面角.然后计算出运动所对应的圆心角，再用弧长公式求解.‎ 详解】如图所示：‎ ‎ ‎ 矩形中，过点D作交AC于点F，交AB于点G，‎ 过点B作交DF于点E，‎ 所以点的运动轨迹是以F为圆心，以DF为半径的圆弧，‎ 为二面角D-AC-B的平面角.‎ - 21 -‎ 因为，，‎ 所以，‎ ‎，‎ 翻折后 ，，‎ 所以平面DFE， ‎ 所以.‎ 当时，，时等边三角形，所以 当时，，‎ 所以，‎ 所以点的运动圆弧所对应的圆心角为.‎ 所以点的运动轨迹的长度是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查立体几何中的翻折问题，还考查了数形结合的思想和空间想象、运算求解的能力，属于中档题.‎ 三、解答题（本答题共5小题，共74分）‎ ‎18.（1）求直线y＝x被圆x2＋(y－2)2＝4截得的弦长；‎ ‎（2）已知圆：，求过点的圆的切线方程．‎ ‎【答案】（1）2 ；（2）x=3或3x-4y-1=0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 21 -‎ ‎（1）确定圆的圆心坐标与半径，求得圆心到直线y=x的距离，利用垂径定理构造直角三角形，即可求得弦长．（2）化圆C的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径．当切线的斜率不存在时，切线方程为x=3符合题意．当切线的斜率存在时，设切线斜率为k，则切线方程为 y-2=k（x-3），由圆心到切线的距离等于半径列式求得k，则切线方程可求；‎ ‎【详解】（1）圆x2+（y-2）2=4的圆心坐标为（0，2），半径为2，圆心到直线y=x的距离为，∴直线y=x被圆x2+（y-2）2=4截得的弦长为.‎ ‎(2) 圆C：x2+y2-4x+3=0，即 （x-2）2+y2=1，表示以（2，0）为圆心，半径等于1的圆． 当切线的斜率不存在时，切线方程为x=3符合题意． 当切线的斜率存在时，设切线斜率为k，则切线方程为 y-2=k（x-3）， 即kx-y-3k+2=0，∴圆心到切线的距离等于半径，即，解得k=此时，切线为3x-4y-1=0． 综上可得，圆的切线方程为x=3或3x-4y-1=0；‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆相交，考查圆的弦长，圆的切线方程，注意切线斜率不存在的情况的考虑.‎ ‎19.已知函数在与处有极值.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）求在上的最值.‎ ‎【答案】（1）；（2）最大值，最小值.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得，由题意可得，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数的解析式；‎ ‎（2）求出函数在区间上的极大值和极小值，并与和比较大小后可得出结论.‎ ‎【详解】（1），则，‎ 函数在与处有极值，‎ - 21 -‎ ‎、是的两个实数根，，解得.‎ ‎；‎ ‎（2）由（1）可得.‎ 令，解得或，列表如下：‎ 极大值 极小值 由表格可知：当时，函数取得极大值；‎ 当时，函数取得极小值.‎ 又，，‎ 可得：当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值.‎ ‎【点睛】本题考查利用极值点求参数，同时也考查了利用导数求函数的最值，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎20.在长方体中，，，为的中点，连接、、和.‎ - 21 -‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求二面角的正切值；‎ ‎（3）求到面的距离.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）推导出平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论；‎ ‎（2）过在平面中作于，过在平面中作于，连接，证明出平面，可得出为二面角的平面角，然后通过解可求得，即为所求；‎ ‎（3）设点到面的距离为，由可关于的等式，即可解得的值.‎ ‎【详解】（1）在长方体中，，，为的中点，‎ 为等腰直角三角形，，同理，，即.‎ 在长方体中，平面，又平面，.‎ 又，平面，平面，平面平面；‎ ‎（2）如图，过在平面中作于，过在平面中作于，连接.‎ 在长方体中，平面平面，平面，，平面，平面.‎ 平面，，‎ ‎，，平面.‎ 为二面角的平面角，，‎ - 21 -‎ ‎，又，.‎ 所以二面角的正切值为；‎ ‎（3）设点到面的距离为，‎ ‎，，.‎ 故到面的距离为.‎ ‎【点睛】本题考查面面垂直的证明，同时也考查了二面角和点到平面距离的计算，涉及等体积法的应用，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎21.已知函数f（x）＝lnx+a（x2﹣1）．‎ ‎（1）讨论函数f（x）的单调性；‎ ‎（2）当a，x∈[1，+∞）时，证明：f（x）≤（x﹣1）ex．‎ ‎【答案】（1）函数f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对f(x)求导，分a≥0, a＜0讨论，分析导函数正负，得到函数f（x）单调性；‎ ‎（2）构造函数，对g(x)求导，得到，通过二次求导分析正负，进而得到g(x - 21 -‎ ‎)的单调性，及g(x)的最小值，故得解.‎ ‎【详解】（1）函数的定义域为（0，+∞），，‎ 当a≥0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，‎ 当a＜0时，由f′（x）＞0解得，由f′（x）＜0解得，‎ ‎∴函数f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减；‎ ‎（2）证明：令，则，g′（1）＝e﹣（e﹣1）﹣1＝0，‎ 再令，则，‎ 当x≥1时，，‎ ‎∴，即m′（x）＞0，‎ ‎∴y＝m（x）在[1，+∞）上单调递增，‎ ‎∵m（1）＝g′（1）＝0，‎ ‎∴m（x）≥m（1）＝0，‎ ‎∴y＝g（x）在[1，+∞）上单调递增，‎ ‎∴g（x）≥g（1）＝0，‎ 综上可知，f（x）≤（x﹣1）ex．‎ ‎【点睛】本题考查了函数与导数综合，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论，数学运算的能力，属于较难题.‎ ‎22.如图，点在抛物线外，过点作抛物线的两切线，设两切点分别为，，记线段的中点为.‎ - 21 -‎ ‎（Ⅰ）求切线，的方程；‎ ‎（Ⅱ）证明：线段的中点在抛物线上；‎ ‎（Ⅲ）设点为圆上的点，当取最大值时，求点的纵坐标.‎ ‎【答案】（Ⅰ）切线的方程为,切线的方程为.‎ ‎（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）结合导数的几何意义可得切线，的方程；（Ⅱ）由（1）可得，，故，.再结合M点的坐标即可明确在抛物线上；（Ⅲ）由题意可得. 设，则.结合均值不等式即可得到结果.‎ ‎【详解】（Ⅰ）切线的方程为，即，‎ 同理可得，切线的方程为.‎ ‎（另解：设切线的方程为：‎ - 21 -‎ 由消去后可得：‎ ‎∴‎ ‎∴切线的方程为，即，‎ 同理可得，切线的方程为.‎ ‎（Ⅱ）因为点既在切线上，也在切线上，‎ 由（1）可得，，故，.‎ 又点的坐标为.‎ 所以点的纵坐标为，‎ 即点的坐标为.故在抛物线上.‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）知： ，‎ ‎，所以 .‎ 设，则.‎ 当时，即当时，取最大值.‎ - 21 -‎ ‎【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．‎ - 21 -‎ - 21 -‎