安徽省江淮十校2021届高三数学（文）上学期第一次联考试题（Word版附答案） 11页

江淮十校2021届高三第一次联考 数学（文科）‎ ‎2020．8‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知复数，则z的共轭复数的虚部为（ ）‎ A． B． C．3 D．‎ ‎3．已知等比数列的公比为q，则“”是“”的（ ）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名．画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷．现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角A，B间的圆弧长为l，嘴角间的距离为d，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则l、d和所满足的恒等关系为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则抛物线的准线方程为 ‎（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．某校阳光心理辅导室为了解高三同学们的心理状况，将高三年级20个班依次编号为1到20，现用系统抽样的方法等距抽取5个班进行调查，若抽到的编号之和为50，则抽到的最大编号为（ ）‎ A．14 B．16 C．18 D．20‎ ‎7．函数的图象大致为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图，是源于其思想的一个程序框图．若输入的分别为8，2，则输出的n等于（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎9．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）‎ A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 ‎10．17世纪法国数学家费马曾提出这样一个问题：怎样在一个三角形中求一点，使它到每个顶点的距离之和最小？现已证明：在中，若三个内角均小于，当点P满足时，则点P到三角形三个顶点的距离之和最小，点P被人们称为费马点根据以上性质，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的单位向量，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．在中，内角的对边分别为．，，的面积为，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．在三棱锥中，是边长为1的等边三角形，，则三棱锥外接到的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．已知函数则_____．‎ ‎14．已知是函数的一个极值点，则实数_____．‎ ‎15．设数列满足，则数列的前2020项和为______．‎ ‎16．已知点P是双曲线上任意一个点，若点P到双曲线两条渐近线的距离乘积等于，则双曲线的离心率为______．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（10分）‎ 已知数列满足，设．‎ ‎（1）证明：数列是等比数列；‎ ‎（2）求数列的前n项和．‎ ‎18．（12分）‎ ‎2019年12月份至今，新冠肺炎的爆发引起全球关注．新冠肺炎的感染病原体为新型冠状病毒，其传染性强，可通过呼吸道飞沫进行传播，传染后容易引起发热、干咳、乏力、呼吸困难等表现新冠肺炎具有一定的潜伏期，为研究潜伏期与患者年龄的关系，一研究团队统计了某地区200名患者的相关信息，得到如下列联表：‎ 潜伏期不超过6天 潜伏期超过6天 总计 ‎50岁以上（含50岁）‎ ‎65‎ ‎35‎ ‎100‎ ‎50岁以下 ‎55‎ ‎45‎ ‎100‎ 总计 ‎120‎ ‎80‎ ‎200‎ ‎（1）根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者的年龄有关？‎ ‎（2）佩戴口罩可以有效预防新冠肺炎，N95、R95、P95是三种不同材质的口罩，已知某药店现有N95、R05、P95口罩的个数分别为54个，36个，18个，某质检部门按分层抽样的方法随机抽取6个进行质量检查，再从这6个口罩中随机抽取2个进行检验结果对比，求这2个口罩中至少一个是N95口罩的概率．‎ 附：，其中．‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎19．（12分）‎ 在中，分别为内角所对的边，已知，其中S为的面积．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求周长的最大值．‎ ‎20．（12分）‎ 如图，正四棱柱中，，侧棱上有且仅有一点E使得．‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）若平面与交于点F，求几何体的体积．‎ ‎21．（12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）证明：在区间上单调递减；‎ ‎（2）试比较的大小关系，并按从大到小的顺序进行排列．‎ ‎22．（12分）‎ 已知动点到的距离比它到x轴的距离大1，记P得轨迹为曲线．‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）直线l与曲线相交于A、B两点，与y轴交于点M，过A、B分别作曲线的切线相交于点N，直线、分别与x轴相交于C、D．是否存在实数，使得对于任意的直线l，都有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ 江淮十校2021届高三第一次联考 文数试题参考答案 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ A D D B C C A D B D C B ‎1．答案：A 解析：，或，故答案选A．‎ ‎2．答案：D 解析：，则，故答案选D．‎ ‎3．答案：D 解析：由等比数列的通项公式，可知的单调性由首项和公比决定，故选D．‎ ‎4．答案：B 解析：设该圆弧所对应的圆的半径为r，则，，两式相除得，故答案选B．‎ ‎5．答案：C 解析：，椭圆右焦点坐标为，故抛物线的准线方程为 ‎6．答案：C 解析：由题意组距为4，设第一组抽到的编号为x，则抽到的编号之和为 ‎，解得，故最大编号为18．‎ ‎7．答案：A 解析：令，定义域为且，故函数为偶函数，其图象关于y轴对称，排除B，D：当时，，则，当时，单调递增，排除C选A．‎ ‎8．答案：D 解析：输入的分别为8，2，，‎ 第一次执行循环体后，不满足退出循环的条件，‎ 第二次执行循环体后，不满足退出循环的条件，‎ 第三次执行循环体后，不满足退出循环的条件，‎ 第四次执行循环体后，不满足退出循环的条件，‎ 第五次执行循环体后，满足退出循环的条件，‎ 故输出的．‎ ‎9．答案：B 解析：，故只需向左平移个单位就可得到，故答案选B．‎ ‎10．答案：D 解析：设，‎ 则，‎ 即为点到和三个点的距离之和，则为等腰直角三角形，由费马点的性质不难得到，当点P的坐标为时，距离之和最小为，故选D．‎ ‎11．答案：C 解析：，，，‎ 又，，‎ 由余弦定理可得，‎ ‎，当且仅等号成立．‎ ‎12．答案：B 解析：由勾股定理可得和是两个全等的直角三角形，且有公共的斜边，所以的中点 即为三棱锥外接球的球心，外接球的半径，故三棱锥外接球的表面积为 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．答案：‎ ‎14．答案：‎ 解析：，，则，经检验当时，是函数的一个极值点．‎ ‎15．答案：‎ 解析：，‎ ‎，，‎ 的前2020项和为 ‎16．答案：‎ 解析：设，则即 双曲线两条渐近线的方程为，则点P到两条渐近线的距离乘积为 ‎，故．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．解析：（1）由条件得，，即 3分 又因为，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列． 5分 ‎（2）由（1）可知，所以， 7分 故 10分 ‎18．解析：（1） 3分 故没有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关． 5分 ‎（2）由题意，N95、R95、P95口罩分别抽取的个数分别为3个、2个、1个，‎ 记3个N95口罩为，2个R95口罩为，1个P95口罩为，抽取的全部结果为：，，，，，，，，，，，，，共15种 8分 至少一个是N95口罩的有，，，，，，，，，，，，共12种 10分 所以至少一个是N95口罩的概率为 12分 ‎19．解析：（1）‎ ‎① 3分 又②‎ 由①②解得或（舍） 6分 ‎（2）设的外接圆半径为R，‎ 则由正弦定理得 ‎ 9分 由余弦定理得即 ‎，当且仅当时等号成立 ‎，周长的最大值为 12分 ‎20．解析：（1）平面，，‎ 又，且，平面， 3分 在平面内，E的轨迹是以为直径的圆，‎ 又在棱存在唯一的点E，以为直径的圆与棱相切 5分 ‎， 6分 ‎（2）由（1）可知E为的中点，过B作的平行线交于点F，则平面即为平面，故F即为平面与的交点，且由对称性可知F为的中点 8分 平行四边形的面积是三角形的面积的2倍，‎ ‎ 10分 ‎ 12分 ‎21．解析：（1），， 2分 令，则，当时，，‎ 故在上单调递减， 4分 所以，即在上恒成立，‎ 故在区间上单调递减． 6分 ‎（2）由（1）可知在区间上单调递减，则 即，所以 8分 又因为即，所以， 11分 综上：这三个数的大小关系为： 12分 ‎22．解析：（1）由题意：则，两边平方得 故曲线的方程为 5分 ‎（2）当时，曲线为．设直线l的方程为，，，‎ 由得，则 6分 又由得，故 直线的方程为①‎ 直线的方程为②‎ 由①②解得，，所以 9分 ‎①中令得，所以，同理可得 又因为，所以， 10分 又因为，所以，故 因此存在实数，使得对任意的直线l，都有成立． 12分