高中数学人教B版必修三第二章统计2-2-2用样本的数字特征估计总体的数字特征 6页

2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 课时目标 1.会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差.2.理解用样本的数字 特征来估计总体数字特征的方法.3.会应用相关知识解决简单的统计实际问题． 1．众数、中位数、平均数 (1)众数的定义： 一组数据中重复出现次数________的数称为这组数的众数． (2)中位数的定义及求法 把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于最______位置的那个数称为这组数据的中位 数． ①当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大顺序排列的____________那个数． ②当数据个数为偶数时，中位数为排列的最中间的两个数的________． (3)平均数 设样本数据为 x1，x2，…，xn，则样本数据的平均数为 x ＝x1＋x2＋…＋xn n ，它描述了 数据的数值________，定量地反映数据的集中趋势所处的水平．在频率分布直方图中， 平均数是直方图的________． 2．标准差、方差 数据的离散程度可以用________、________或__________来描述，样本方差描述了一组 数据围绕________波动的大小．一般地设样本元素为 x1，x2，…，xn，样本平均数为 x ， 则方差 s2＝__________________________________，标准差 s＝__________. 一、选择题 1．下列说法正确的是( ) A．在两组数据中，平均值较大的一组方差较大 B．平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均值的波动大小 C．方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和 D．在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高 2．已知 10 名工人生产同一零件，生产的件数分别是 16,18,15,11,16,18,18,17,15,13，设 其平均数为 a，中位数为 b，众数为 c，则有( ) A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．c>b>a 3．甲、乙两位同学都参加了由学校举办的篮球比赛，他们都参加了全部的 7 场比赛， 平均得分均为 16 分，标准差分别为 5.09 和 3.72，则甲、乙两同学在这次篮球比赛活动 中，发挥得更稳定的是( ) A．甲 B．乙 C．甲、乙相同 D．不能确定 4．一组数据的方差为 s2，将这组数据中的每个数据都扩大 3 倍，所得到的一组数据的 方差是( ) A.1 3s2 B．s2 C．3s2 D．9s2 5．如图是 2010 年某校举行的元旦诗歌朗诵比赛中，七位评委为某位选手打出分数的茎 叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别为( ) A．84,4.84 B．84,1.6 C．85,1.6 D．85,0.4 6．如图，样本 A 和 B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为 x A 和 x B， 样本标准差分别为 sA 和 sB，则( ) A. x A> x B，sA>sB B. x A< x B，sA>sB C. x A> x B，sAb>a.] 3．B [方差或标准差越小，数据的离散程度越小，表明发挥得越稳定．∵5.09>3.72， 故选 B.] 4．D [s20＝1 n[9x21＋9x22＋…＋9x2n－n(3 x )2]＝9·1 n·(x21＋x22＋…＋x2n－n x 2)＝9s2(s 20为新 数据的方差)．] 5．C [由题意 x ＝1 5(84＋84＋86＋84＋87)＝85.s2＝1 5[(84－85)2＋(84－85)2＋(86－85)2 ＋(84－85)2＋(87－85)2]＝1 5(1＋1＋1＋1＋4)＝8 5 ＝1.6.] 6．B [样本 A 数据均小于或等于 10，样本 B 数据均大于或等于 10，故 x A< x B，又 样本 B 波动范围较小，故 sA>sB.] 7．91 解析 由题意得 9＋10＋11＋x＋y＝5×10， 1 5[9－102＋10－102＋11－102＋x－102 ＋y－102]＝4， 即 x＋y＝20， x－102＋y－102＝18. 解得 x＝7 y＝13 ，或 x＝13 y＝7 .所以 xy＝91. 8．甲 解析 x 甲＝9，s2 甲＝0.4， x 乙＝9，s2 乙＝1.2，故甲的成绩较稳定，选甲． 9．0.19 解析 这 21 个数的平均数仍为 20，从而方差为 1 21 ×[20×0.2＋(20－20)2]≈0.19. 10．解 (1)平均工资即为该组数据的平均数 x ＝1 7 ×(3 000＋450＋350＋400＋320＋320＋410)＝1 7 ×5 250＝750(元)． (2)由于总经理的工资明显偏高，所以该值为极端值，因此由(1)所得的平均工资不能反 映一般工作人员一周的收入水平． (3)除去总经理的工资后，其他工作人员的平均工资为： x ′＝1 6 ×(450＋350＋400＋320＋320＋410)＝1 6 ×2 250＝375(元)． 这个平均工资能代表一般工作人员一周的收入水平． 11．解 设第一组 20 名学生的成绩为 xi(i＝1,2，…，20)， 第二组 20 名学生的成绩为 yi(i＝1,2，…，20)， 依题意有： x ＝ 1 20(x1＋x2＋…＋x20)＝90， y ＝ 1 20(y1＋y2＋…＋y20)＝80，故全班平均成绩为： 1 40(x1＋x2＋…＋x20＋y1＋y2＋…＋y20)＝ 1 40(90×20＋80×20)＝85； 又设第一组学生成绩的标准差为 s1，第二组学生成绩的标准差为 s2，则 s21＝ 1 20(x21＋x22＋…＋x220－20 x 2)， s22＝ 1 20(y21＋y22＋…＋y220－20 y 2) (此处， x ＝90， y ＝80)，又设全班 40 名学生的标准差为 s，平均成绩为 z ( z ＝85)， 故有 s2＝ 1 40(x21＋x22＋…x220＋y21＋y22＋…＋y220－40 z 2) ＝ 1 40(20s21＋20 x 2＋20s22＋20 y 2－40 z 2) ＝1 2(62＋42＋902＋802－2×852)＝51. s＝ 51. 所以全班同学的平均成绩为 85 分，标准差为 51. 12．解 由折线图，知 甲射击 10 次中靶环数分别为： 9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. 将它们由小到大重排为：5,6,6,7,7,7,7,8,8,9. 乙射击 10 次中靶环数分别为： 2,4,6,8,7,7,8,9,9,10. 也将它们由小到大重排为：2,4,6,7,7,8,8,9,9,10. (1) x 甲＝ 1 10 ×(5＋6×2＋7×4＋8×2＋9)＝70 10 ＝7(环)， x 乙＝ 1 10 ×(2＋4＋6＋7×2＋8×2＋9×2＋10)＝70 10 ＝7(环)， s2甲＝ 1 10 ×[(5－7)2＋(6－7)2×2＋(7－7)2×4＋(8－7)2×2＋(9－7)2] ＝ 1 10 ×(4＋2＋0＋2＋4) ＝1.2， s2乙＝ 1 10 ×[(2－7)2＋(4－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2×2＋(8－7)2×2＋(9－7)2×2＋(10－7)2] ＝ 1 10 ×(25＋9＋1＋0＋2＋8＋9) ＝5.4. 根据以上的分析与计算填表如下： 平均数 方差 中位数 命中 9 环及 9 环以上的次数 甲 7 1.2 7 1 乙 7 5.4 7.5 3 (2)①∵平均数相同，s 2甲