2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（天津卷） 8页

‎2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)‎ 文 科 数 学 ‎ ‎ ‎ 第Ⅰ卷 一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. ‎ ‎1．已知集合A = {x∈R| |x|≤2}, B= {x∈R| x≤1}, 则 ‎ ‎ (A) (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1]‎ ‎2．设变量x, y满足约束条件则目标函数的最小值为 ‎ (A) －7 (B) －4‎ ‎ (C) 1 (D) 2‎ ‎3．阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 则输出n的值为 ‎ (A) 7 (B) 6 (C) 5 (D) 4‎ ‎4．设, 则 “”是“”的 ‎ (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 ‎ (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 ‎5．已知过点P(2,2) 的直线与圆相切, 且与直线垂直, 则 ‎ (A) (B) 1 (C) 2 (D) ‎ - 7 -‎ ‎6．函数在区间上的最小值是 ‎ (A) (B) (C) (D) 0‎ ‎7．已知函数是定义在R上的偶函数, 且在区间单调递增. 若实数a满足, 则a的取值范围是 ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎8．设函数. 若实数a, b满足, 则 ‎ (A) (B) ‎ ‎ (C) (D) ‎ 二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. ‎ ‎9．i是虚数单位. 复数(3 + i)(1－2i) = .‎ ‎10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为, 则正方体的棱长为 .‎ ‎11．已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为 .‎ ‎12．在平行四边形ABCD中, AD = 1, , E为CD的中点. 若, 则AB的长为 .‎ ‎13．如图, 在圆内接梯形ABCD中, AB//DC, 过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E. 若AB = AD = 5, BE = 4, 则弦BD的长为 . ‎ ‎14．设a + b = 2, b>0, 则的最小值为 . ‎ 三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. ‎ ‎15．(本小题满分13分)‎ 某产品的三个质量指标分别为x, y, z, 用综合指标S = x + y + z评价该产品的等级. 若S≤4, 则该产品为一等品. 先从一批该产品中, 随机抽取10件产品作为样本, 其质量指标列表如下: ‎ 产品编号 A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A5‎ 质量指标(x, y, z)‎ ‎(1,1,2)‎ ‎(2,1,1)‎ ‎(2,2,2)‎ ‎(1,1,1)‎ ‎(1,2,1)‎ 产品编号 A6‎ A7‎ A8‎ A9‎ A10‎ 质量指标(x, y, z)‎ ‎(1,2,2)‎ ‎(2,1,1)‎ ‎(2,2,1)‎ ‎(1,1,1)‎ ‎(2,1,2)‎ ‎(Ⅰ) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率; ‎ - 7 -‎ ‎(Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品, ‎ ‎(⒈) 用产品编号列出所有可能的结果; ‎ ‎(⒉) 设事件B为 “在取出的2件产品中, 每件产品的综合指标S都等于4”, 求事件B发生的概率. ‎ ‎16．(本小题满分13分)‎ 在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别是a, b, c. 已知, a = 3, . ‎ ‎(Ⅰ) 求b的值; ‎ ‎(Ⅱ) 求的值. ‎ ‎17． (本小题满分13分) ‎ 如图, 三棱柱ABC－A1B1C1中, 侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等. D, E, F分别为棱AB, BC, A1C1的中点. ‎ ‎(Ⅰ) 证明EF//平面A1CD; ‎ ‎(Ⅱ) 证明平面A1CD⊥平面A1ABB1; ‎ ‎(Ⅲ) 求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值. ‎ ‎18．(本小题满分13分)‎ 设椭圆的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. ‎ ‎(Ⅰ) 求椭圆的方程; ‎ ‎(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若, 求k的值. ‎ ‎19． (本小题满分14分)‎ 已知首项为的等比数列的前n项和为, 且成等差数列. ‎ ‎(Ⅰ) 求数列的通项公式; ‎ ‎(Ⅱ) 证明. ‎ ‎20．(本小题满分14分)‎ - 7 -‎ 设, 已知函数 ‎ ‎(Ⅰ) 证明在区间(－1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增; ‎ ‎(Ⅱ) 设曲线在点处的切线相互平行, 且 证明. ‎ 参考答案 一、选择题 ‎1．D ‎ ‎2．A ‎ ‎3．D ‎ ‎4．A ‎ ‎5．C ‎ ‎6．B ‎ ‎7．C ‎ ‎8．A ‎ ‎9． ‎ ‎10． ‎ ‎11． ‎ ‎12． ‎ ‎13． ‎ ‎14． ‎ ‎15．‎ - 7 -‎ ‎16．‎ ‎17．‎ - 7 -‎ ‎18．‎ - 7 -‎ ‎19．‎ ‎20．‎ - 7 -‎ ‎ ‎ ‎ ‎ - 7 -‎