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  • 2021-06-16 发布

2020_2021学年新教材高中数学第五章三角函数5

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第 2 课时 诱导公式 ( 二 ) 必备知识 · 自主学习 诱导公式五、六 (1) 诱导公式五、六 (2) 本质:单位圆中,终边关于 y=x 对称,互相垂直的角的三角函数之间的关系 . (3) 应用:与诱导公式一~四结合用于三角函数式求值、化简、证明 . 【 思考 】 从函数名称、符号两个方面观察诱导公式五、六,有什么变化规律? 提示: 函数名称改变,符号随象限变化而变化,即:函数名改变,符号看象限 . 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√”,错的打“ ×”) (1) 诱导公式五、六中的角 α 只能是锐角 . (    ) (2) 在△ ABC 中, . (    ) (3) . (    ) 提示: (1)×. 诱导公式五、六中的角 α 是任意角 . (2)√. 因为 ,由公式五可知 (3)×. 当 k=2 时, sin =sin(π-α)=sin α. 2. 下列与 sin θ 的值相等的是 (    )                  A.sin(π+θ) B.sin C.cos D.cos 【 解析 】 选 C.sin(π+θ)=-sin θ , sin =cos θ ; cos =sin θ , cos =-sin θ. 3.( 教材二次开发:例题改编 ) 已知 sin(π+A)=- ,则 cos 的值是 _______.  【 解析 】 sin( π +A)=-sin A=- , cos = 答案: - 关键能力 · 合作学习 类型一 利用诱导公式求值 ( 数学运算 ) 【 题组训练 】 1. 已知 sin θ= ,则 cos(450°+θ) 的值是 (    )                    A. B.- C.- D. 2.(2020· 扬州高一检测 ) 若 sin =- ,则 cos = (    ) A.- B.- C. D. 3. 若 α∈ , sin = ,则 cos = (    ) A.- B. C.- D. 【 解析 】 1. 选 B.cos(450°+θ)=cos(90°+θ)=-sin θ=- . 2. 选 B. 因为 sin =- ,所以 cos = 3. 选 D. 因为 sin =cos α= , α∈ ,所以 sin α= , 所以 cos =sin α= . 【 解题策略 】 解决化简求值问题的策略 (1) 能直接用诱导公式化简的直接化简后再设法求值 . (2) 不能直接用诱导公式化简的要观察角的关系,观察时要将角看成整体,观察它们的和、差关系,是否具有互补、互余等特殊关系,再利用诱导公式转化求值 . 【 补偿训练 】 已知 cos 31°=m ,则 sin 239°tan 149° 的值是 (    )                   A. B. C.- D.- 【 解析 】 选 B.sin 239°tan 149°=sin(270°-31°) · tan(180°-31°) =-cos 31° · (-tan 31°)=sin 31° = 类型二 利用诱导公式证明恒等式 ( 逻辑推理 ) 【 典例 】 求证: 【 思路导引 】 等式右边比较复杂,含有 k· ±α , k∈Z 的形式的角,可以 利用诱导公式直接对等式右边进行化简,从而推得等式左边 . 【 证明 】 右边 = 左边,所以原等式成立 . 【 解题策略 】 三角恒等式的证明的策略 (1) 遵循的原则:在证明时一般从左边到右边,或从右边到左边,或左右归一,应遵循化繁为简的原则 . (2) 常用的方法:定义法、化弦法、拆项拆角法、公式变形法、“ 1” 的代换法 . 【 跟踪训练 】 求证: =-tan θ. 【 证明 】 左边 = = 右边,所以原等式成立 . 类型三 诱导公式的综合应用 ( 数学运算、逻辑推理 )  角度 1  诱导公式在三角形中的应用  【 典例 】 在△ ABC 中, sin =sin ,试判断△ ABC 的形状 . 【 思路导引 】 根据三角形的内角和 A+B+C=π ,利用诱导公式,推导△ ABC 的角 的关系,进而判断出三角形的形状 . 【 解析 】 因为 A+B+C=π , 所以 A+B-C=π-2C , A-B+C=π-2B. 又因为 sin =sin , 所以 sin =sin , 所以 sin =sin ,所以 cos C=cos B. 又 B , C 为△ ABC 的内角,所以 C=B , 所以△ ABC 为等腰三角形 . 【 变式探究 】 在涉及三角形问题时,一定要注意根据三角形的内角和 A+B+C=π 以及题目的 具体条件进行适当变形,再化简求解 . 典例中题目改为:在△ ABC 中,下列各 表达式为常数的是 (    )                   A.sin(A+B)+sin C B.cos(B+C)-cos A C.sin 2 +sin 2 D.sin sin 【 解析 】 选 C.A.sin(A+B)+sin C=sin( π -C)+sin C=2sin C 不是常数 . B.cos(B+C)-cos A=cos( π -A)-cos A=-2cos A 不是常数 . C.sin 2 +sin 2 =sin 2 +sin 2 =cos 2 +sin 2 =1 是常数 . D.sin sin =sin sin =sin cos 不是常数 . 角度 2  利用诱导公式化简、求值  【 典例 】 (2020· 靖远高一检测 ) 已知 f( θ )= (1) 化简 f(θ) ; (2) 若 sin θ= ,且 θ∈ ,求 f(θ) 的值 . 【 思路导引 】 (1) 利用三角函数的诱导公式化简即可; (2) 由已知条件可求出 cos θ ,则 f(θ) 的值可求 . 【 解析 】 (1)f(θ)= (2) 由 sin θ= ,且 θ∈ , 得 cos θ= ,所以 f(θ)=-cos θ= . 【 解题策略 】 诱导公式综合应用要“三看” 一看角:①化大为小;②看角与角间的联系,可通过相加、相减分析两角的关系 . 二看函数名称:一般是弦切互化 . 三看式子结构:通过分析式子,选择合适的方法,如分式可对分子分母同乘一个式子变形 . 1. 计算: sin 2 11°+sin 2 79°=_______.  2. 若 f(cos x)=cos 2x ,则 f(sin 15°) 的值为 _______.  3. 已知角 α 的顶点在原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边经过点 P(-1 , 2) ,则 A. B.1 C. D.- 【 题组训练 】 【 解析 】 1. 因为 11°+79°=90° , 所以 sin 79°=cos 11° , 所以原式 =sin 2 11°+cos 2 11°=1. 答案: 1 2. 因为 sin 15°=cos 75° ,所以 f(sin 15°)=f(cos 75°)=cos 150°= - . 答案: - 3. 选 A. 因为角 α 的终边经过点 P(-1 , 2) , 所以 r=|OP|= = , 所以 sin α = , cos α =- , 原式 = 【 补偿训练 】 已知 =2 ,则 tan α= (    )          A. B.- C. D.-5 【 解析 】 选 D. 由 =2 , 得 解得: tan α=-5. 课堂检测 · 素养达标 1. 下列与 sin 的值相等的式子为 (    ) A.sin B.cos C.cos D.sin 【 解析 】 选 D. 因为 sin =-sin =-cos θ , 对于 A , sin =cos θ ; 对于 B , cos =-sin θ ; 对于 C , cos =cos =-cos =-sin θ ; 对于 D , sin =sin =-sin =-cos θ. 2. 已知 sin 40°=a ,则 cos 130°= (    ) A.a B.-a C. D.- 【 解析 】 选 B.cos 130°=cos(90°+40°)=-sin 40°=-a. 3. 若 sin <0 ,且 cos >0 ,则 θ 是 (    ) A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三角限角 D. 第四象限角 【 解析 】 选 B. 由于 sin =cos θ<0 , cos =sin θ>0 ,所以角 θ 的终边落在第二象限 . 4.( 教材二次开发:练习改编 ) 已知 tan θ=2 ,则 =(    ) A.2 B.0 C.-2 D. 【 解析 】 选 C. 5. 化简 A.-sin θ B.sin θ C.cos θ D.-cos θ 【 解析 】 选 A. 原式 = = =-sin θ. 诱导公式(二) 核心知识 方法总结 易错提醒 核心素养 求值 化简 证明 记忆口诀:奇变偶不变,符号看象限 化简原则:负化正,大化小,异角化同角,异名化同名,切化弦 诱导公式应用时特别要注意符号和函数名的改变 数学运算:通过诱导公式的求值,培养数学运算的核心素养 逻辑推理:通过诱导公式的化简与证明,培养逻辑推理的核心素养