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- 2021-06-16 发布
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第
2
课时 诱导公式
(
二
)
必备知识
·
自主学习
诱导公式五、六
(1)
诱导公式五、六
(2)
本质:单位圆中,终边关于
y=x
对称,互相垂直的角的三角函数之间的关系
.
(3)
应用:与诱导公式一~四结合用于三角函数式求值、化简、证明
.
【
思考
】
从函数名称、符号两个方面观察诱导公式五、六,有什么变化规律?
提示:
函数名称改变,符号随象限变化而变化,即:函数名改变,符号看象限
.
【
基础小测
】
1.
辨析记忆
(
对的打“√”,错的打“
×”)
(1)
诱导公式五、六中的角
α
只能是锐角
. (
)
(2)
在△
ABC
中,
.
(
)
(3) . (
)
提示:
(1)×.
诱导公式五、六中的角
α
是任意角
.
(2)√.
因为 ,由公式五可知
(3)×.
当
k=2
时,
sin =sin(π-α)=sin α.
2.
下列与
sin θ
的值相等的是
(
)
A.sin(π+θ) B.sin
C.cos D.cos
【
解析
】
选
C.sin(π+θ)=-sin θ
,
sin =cos θ
;
cos =sin θ
,
cos =-sin θ.
3.(
教材二次开发:例题改编
)
已知
sin(π+A)=-
,则
cos
的值是
_______.
【
解析
】
sin(
π
+A)=-sin A=-
,
cos =
答案:
-
关键能力
·
合作学习
类型一 利用诱导公式求值
(
数学运算
)
【
题组训练
】
1.
已知
sin θ=
,则
cos(450°+θ)
的值是
(
)
A. B.- C.- D.
2.(2020·
扬州高一检测
)
若
sin =-
,则
cos =
(
)
A.- B.-
C. D.
3.
若
α∈
,
sin =
,则
cos = (
)
A.- B. C.- D.
【
解析
】
1.
选
B.cos(450°+θ)=cos(90°+θ)=-sin θ=- .
2.
选
B.
因为
sin =-
,所以
cos =
3.
选
D.
因为
sin =cos α=
,
α∈
,所以
sin α=
,
所以
cos =sin α= .
【
解题策略
】
解决化简求值问题的策略
(1)
能直接用诱导公式化简的直接化简后再设法求值
.
(2)
不能直接用诱导公式化简的要观察角的关系,观察时要将角看成整体,观察它们的和、差关系,是否具有互补、互余等特殊关系,再利用诱导公式转化求值
.
【
补偿训练
】
已知
cos 31°=m
,则
sin 239°tan 149°
的值是
(
)
A. B.
C.- D.-
【
解析
】
选
B.sin 239°tan 149°=sin(270°-31°)
·
tan(180°-31°)
=-cos 31°
·
(-tan 31°)=sin 31°
=
类型二 利用诱导公式证明恒等式
(
逻辑推理
)
【
典例
】
求证:
【
思路导引
】
等式右边比较复杂,含有
k· ±α
,
k∈Z
的形式的角,可以
利用诱导公式直接对等式右边进行化简,从而推得等式左边
.
【
证明
】
右边
=
左边,所以原等式成立
.
【
解题策略
】
三角恒等式的证明的策略
(1)
遵循的原则:在证明时一般从左边到右边,或从右边到左边,或左右归一,应遵循化繁为简的原则
.
(2)
常用的方法:定义法、化弦法、拆项拆角法、公式变形法、“
1”
的代换法
.
【
跟踪训练
】
求证:
=-tan θ.
【
证明
】
左边
=
=
右边,所以原等式成立
.
类型三 诱导公式的综合应用
(
数学运算、逻辑推理
)
角度
1
诱导公式在三角形中的应用
【
典例
】
在△
ABC
中,
sin =sin
,试判断△
ABC
的形状
.
【
思路导引
】
根据三角形的内角和
A+B+C=π
,利用诱导公式,推导△
ABC
的角
的关系,进而判断出三角形的形状
.
【
解析
】
因为
A+B+C=π
,
所以
A+B-C=π-2C
,
A-B+C=π-2B.
又因为
sin =sin
,
所以
sin =sin
,
所以
sin =sin
,所以
cos C=cos B.
又
B
,
C
为△
ABC
的内角,所以
C=B
,
所以△
ABC
为等腰三角形
.
【
变式探究
】
在涉及三角形问题时,一定要注意根据三角形的内角和
A+B+C=π
以及题目的
具体条件进行适当变形,再化简求解
.
典例中题目改为:在△
ABC
中,下列各
表达式为常数的是
(
)
A.sin(A+B)+sin C B.cos(B+C)-cos A
C.sin
2
+sin
2
D.sin sin
【
解析
】
选
C.A.sin(A+B)+sin C=sin(
π
-C)+sin C=2sin C
不是常数
.
B.cos(B+C)-cos A=cos(
π
-A)-cos A=-2cos A
不是常数
.
C.sin
2
+sin
2
=sin
2
+sin
2
=cos
2
+sin
2
=1
是常数
.
D.sin sin =sin sin =sin cos
不是常数
.
角度
2
利用诱导公式化简、求值
【
典例
】
(2020·
靖远高一检测
)
已知
f(
θ
)=
(1)
化简
f(θ)
;
(2)
若
sin θ=
,且
θ∈
,求
f(θ)
的值
.
【
思路导引
】
(1)
利用三角函数的诱导公式化简即可;
(2)
由已知条件可求出
cos θ
,则
f(θ)
的值可求
.
【
解析
】
(1)f(θ)=
(2)
由
sin θ=
,且
θ∈
,
得
cos θ=
,所以
f(θ)=-cos θ= .
【
解题策略
】
诱导公式综合应用要“三看”
一看角:①化大为小;②看角与角间的联系,可通过相加、相减分析两角的关系
.
二看函数名称:一般是弦切互化
.
三看式子结构:通过分析式子,选择合适的方法,如分式可对分子分母同乘一个式子变形
.
1.
计算:
sin
2
11°+sin
2
79°=_______.
2.
若
f(cos x)=cos 2x
,则
f(sin 15°)
的值为
_______.
3.
已知角
α
的顶点在原点,始边与
x
轴的非负半轴重合,终边经过点
P(-1
,
2)
,则
A. B.1 C. D.-
【
题组训练
】
【
解析
】
1.
因为
11°+79°=90°
,
所以
sin 79°=cos 11°
,
所以原式
=sin
2
11°+cos
2
11°=1.
答案:
1
2.
因为
sin 15°=cos 75°
,所以
f(sin 15°)=f(cos 75°)=cos 150°=
- .
答案:
-
3.
选
A.
因为角
α
的终边经过点
P(-1
,
2)
,
所以
r=|OP|= =
,
所以
sin
α
=
,
cos
α
=-
,
原式
=
【
补偿训练
】
已知
=2
,则
tan α= (
)
A. B.- C. D.-5
【
解析
】
选
D.
由
=2
,
得 解得:
tan α=-5.
课堂检测
·
素养达标
1.
下列与
sin
的值相等的式子为
(
)
A.sin B.cos
C.cos D.sin
【
解析
】
选
D.
因为
sin =-sin =-cos θ
,
对于
A
,
sin =cos θ
;
对于
B
,
cos =-sin θ
;
对于
C
,
cos =cos
=-cos =-sin θ
;
对于
D
,
sin =sin
=-sin =-cos θ.
2.
已知
sin 40°=a
,则
cos 130°= (
)
A.a B.-a
C. D.-
【
解析
】
选
B.cos 130°=cos(90°+40°)=-sin 40°=-a.
3.
若
sin <0
,且
cos >0
,则
θ
是
(
)
A.
第一象限角
B.
第二象限角
C.
第三角限角
D.
第四象限角
【
解析
】
选
B.
由于
sin =cos θ<0
,
cos =sin θ>0
,所以角
θ
的终边落在第二象限
.
4.(
教材二次开发:练习改编
)
已知
tan θ=2
,则
=(
)
A.2 B.0 C.-2 D.
【
解析
】
选
C.
5.
化简
A.-sin θ B.sin θ
C.cos θ D.-cos θ
【
解析
】
选
A.
原式
=
= =-sin θ.
诱导公式(二)
核心知识
方法总结
易错提醒
核心素养
求值
化简
证明
记忆口诀:奇变偶不变,符号看象限
化简原则:负化正,大化小,异角化同角,异名化同名,切化弦
诱导公式应用时特别要注意符号和函数名的改变
数学运算:通过诱导公式的求值,培养数学运算的核心素养
逻辑推理:通过诱导公式的化简与证明,培养逻辑推理的核心素养
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