湖南省常德市2020届高三下学期4月模拟考试数学（理）试题 Word版含解析 27页

www.ks5u.com ‎2020年高考（理科）数学（4月份）模拟试卷 一、选择题（共12小题）．‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出集合A，然后进行交集的运算即可．‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∴．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】此题考查集合的交集运算，关键在于根据题意准确求解二次不等式，根据交集运算法则求解.‎ ‎2.已知复数满足，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 第一种做法，赋值法验算结果，可选出答案；第二种做法，设，根据复数模的定义，列出方程组，求出，，可选出答案 ‎【详解】解法一：赋值法，将A，B，C，D四个选项中的值代入题目条件验算，可知C选项为正确答案；‎ 解法二：设，∵， ，∴，∴ ， ∴ ，‎ 故选：C - 27 -‎ ‎【点睛】本题考查复数的模的相关知识，要求学生会计算有关复数的模的题型，会用待定系数法根据复数的模求解复数，为容易题，小记：，则.‎ ‎3.已知等差数列的前项和为，且，则（ ）‎ A. 6 B. 7 C. 8 D. 9‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．‎ ‎【详解】设等差数列的公差为，∵，‎ ‎∴．‎ 解得：，．‎ 则．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】此题考查根据等差数列求解基本量，根据通项公式求解指定项，关键在于熟练掌握数列相关公式，准确化简求解.‎ ‎4.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的三个全等的等腰直角三角形是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图知该几何体是三棱锥，放入棱长为2的正方体中，容易求出三棱锥的体积．‎ - 27 -‎ ‎【详解】根据三视图知，该几何体是三棱锥，放入棱长为2的正方体中，‎ 如图所示；‎ 计算该三棱锥的体积为．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 此题考查根据三视图还原几何体，利用锥体的体积公式求解，关键在于熟练掌握根据三视图还原几何体的方法.‎ ‎5.如图所示，折线图和条形图分别为某位职员2018年与2019年的家庭总收入各种用途所占比例的统计图，已知2018年的家庭总收入为10万元，2019年的储蓄总量比2018年的储蓄总量减少了10%，则下列说法：‎ ‎①2019年家庭总收入比2018年增长了8%；‎ ‎②年衣食住的总费用与2018年衣食住的总费相同；‎ ‎③2019年的旅行总费用比2018年增加了2800元；‎ ‎④2019年的就医总费用比2018年增长了5%‎ 其中正确个数为（ ）‎ - 27 -‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设该教师家庭2019年收入为元，则，解得．进而判断出正误．‎ ‎【详解】设该教师家庭2019年收入为元，则，解得．‎ 可得：①2019年家庭总收入比2018年增长了，正确；‎ ‎②虽然年衣食住的总费用占用家庭总收入的比例25%，但是家庭总收入不一样，因此年衣食住的总费用与2018年衣食住的总费不相同，不正确；‎ ‎③2019年的旅行总费用比2018年增加了元，正确；‎ ‎④2019年的就医总费用比2018年增长了，因此不正确．‎ 其中正确的个数为2．‎ 故选：B．‎ - 27 -‎ ‎【点睛】此题考查统计图表的识别，并进行判断，关键在于准确读图，提取有用信息，计算相关结果.‎ ‎6.函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 函数在区间上单调递增 B. 函数的最小正周期为 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数的图象可以由 的图象向右平移个单位得到 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出最小正周期，求出，图象平移遵循左加右减，结合图象分析对称中心和单调区间，以及平移方式.‎ ‎【详解】如图所示，可得，∴‎ ‎∵图象过两点 ‎∴，，‎ 当时，‎ ‎∴函数 A：，解得子，当时，为递增区间，中超出了范围，所以A错 B：最小正周期（已求），所以B错 - 27 -‎ C：对称中心为，当时，，所以对称中心为，所以C错 D：，所以函数图象可以由向右平移个单位得到．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】此题考查三角函数图象与性质的综合应用，关键在于熟练掌握三角函数的性质，根据图象求解解析式，根据解析式或图像关系求解单调区间，对称中心.‎ ‎7.设函数的定义域为，满足，且当时，，则（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 6 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分析可得，结合函数的解析式求出的值，计算可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，满足，则，‎ 又由当时，，‎ 则，‎ 则；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】此题考查求函数值，关键在于准确弄清函数关系，结合对数求解，易错点在于漏掉考虑函数定义域.‎ ‎8.双曲线E：的一条渐近线与圆相交于若的面积为2，则双曲线的离心率为（ ）‎ - 27 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出双曲线的渐近线方程，由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由点到直线的距离公式求圆心到直线的距离，进一步求得弦长，利用三角形面积公式列式求解．‎ ‎【详解】双曲线的一条渐近线：，‎ 与圆相交于两点，圆的圆心，半径为2，‎ 圆心到直线的距离为：，弦长|‎ 可得：，‎ 整理得：，即，‎ 解得双曲线的离心率为．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】此题考查求双曲线离心率，关键在于熟练掌握双曲线与圆的几何性质，构造齐次式求解离心率.‎ ‎9.在中，角的对边分别为，面积为，若，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知利用正弦定理，两角和的正弦函数公式可得，解得 - 27 -‎ ‎，进而根据三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式即可求得，结合范围，可求的值．‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∴由正弦定理可得，‎ ‎∵，‎ ‎∴，即，‎ ‎∵，‎ ‎∴，即，‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】此题考查正弦定理和面积公式的综合应用，关键在于熟练掌握定理公式，根据两角和的正弦公式化简求解.‎ ‎10.河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”．把一到十分成五组，如图，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中．“河图”将一到十分成五行属性分别为金，木，水，火，土的五组，在五行的五种属性中，五行相克的规律为：金克木，木克土，土克水，水克火，火克金；五行相生的规律为：木生火，火生土，土生金，金生水，水生木．现从这十个数中随机抽取3个数，则这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C - 27 -‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 从这十个数中随机抽取3个数，这3个数字的属性互不相克，包含的基本事件个数，这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字包含的基本事件个数为：，由此能求出这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率．‎ ‎【详解】由题意得数字4，9属性金，3，8属性为木，1，6属性为水，‎ ‎2，7属性为火，5，10属性为土，‎ 从这十个数中随机抽取3个数，这3个数字的属性互不相克，‎ 包含的基本事件个数，‎ 这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字包含的基本事件个数为：‎ ‎，‎ ‎∴这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】此题考查古典概型，关键在于根据计数原理准确求解基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数.‎ ‎11.抛物线过点，直线过点且与抛物线交于两点与轴交于点，则下列命题：‎ ‎①抛物线E的焦点为 ‎②抛物线E的准线为；‎ ‎③；‎ ‎④；‎ 其中正确命题有（ ）‎ A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ②④‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ - 27 -‎ ‎【分析】‎ 抛物线过点，可得：，可得抛物线方程为：．进而判断出①②是否正确．设直线的方程为：，为参数，为直线的倾斜角，为钝角，．代入抛物线方程可得：，利用利用参数方程即可判断出③④是否正确．‎ ‎【详解】抛物线过点，可得：，解得．‎ ‎∴抛物线方程为：．∴．‎ ‎∴抛物线的焦点为；抛物线的准线为；‎ 设直线的方程为：，为参数，为直线的倾斜角，为钝角，．‎ 代入抛物线方程可得：，‎ ‎∴‎ ‎．‎ ‎．‎ 综上只有②④正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】此题考查根据抛物线上的点的坐标求抛物线方程得焦点坐标和准线方程，根据直线与抛物线的位置关系求解线段相关关系.‎ ‎12.已知函数是定义域为的偶函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ - 27 -‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用导数判断在的单调性，可得在递增，由偶函数的性质可得，可将原不等式的“f”去掉，解不等式可得所求解集．‎ ‎【详解】当时，‎ 由时，的导数为，可得在递增；‎ 又时，的导数为，可得在递增，‎ 且，可在递增．‎ 又是定义域为R的偶函数，可得，‎ 由，不等式，‎ 即为，‎ 由在递增，可得，‎ 化为解得或 则原不等式的解集为 故选：D．‎ ‎【点睛】此题考查函数单调性与奇偶性的综合应用，根据分段函数单调性，结合函数奇偶性解决不等式问题，涉及等价转化思想.‎ 二、填空题 - 27 -‎ ‎13.设向量，，且，则________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可求出），从而根据即可得出，解出即可．‎ ‎【详解】，且，‎ ‎∴，‎ ‎∴，解得．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点睛】此题考查平面向量基本运算的坐标表示，根据平面向量线性运算和模长关系的坐标表示求解参数的取值.‎ ‎14.已知，则_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据两角和的正切展开求得，再结合同角三角函数的基本关系式求得，即可求得结论．‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∴‎ ‎∴为锐角；‎ 且；①‎ ‎∵②；‎ ‎∴联立①②可得：,‎ - 27 -‎ ‎∴‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】此题考查同角三角函数关系解决三角恒等变换解决给值求值的问题，关键在于熟练掌握和差公式和同角三角函数基本关系，根据公式准确计算.‎ ‎15.已知函数为偶函数，当时，，则函数在处的切线方程为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 依题意，可求得时的解析式为，求导，可得曲线在处的切线的斜率，继而可得答案．‎ ‎【详解】因为函数是偶函数，当时，，所以当时，，‎ 所以，‎ 所以，‎ 又，‎ 所以，‎ 所以曲线在处的切线方程为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】此题考查导数的几何意义，根据导函数求得切线斜率，利用直线经过的点和斜率写出切线方程.‎ ‎16.如图，在直角梯形中，∥，，，将直角梯形沿对角线折起，使点到点位置，则四面体的体积的最大值为________，此时，其外接球的表面积为________．‎ - 27 -‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 四面体的体积的最大值时，面面，点到面的距离为斜边上的高．求得即可求得四面体的体积的最大值，的外心为斜边的中点，的外心为，过作面的垂线，过作面的垂线，两垂线的交点即为球心，由面面，即可得即为球心，利用正弦定理即可得的外接圆半径即为球半径．‎ ‎【详解】如图，四面体的体积的最大值时，面面，‎ 点到面的距离为斜边上的高．‎ ‎∵，‎ 故最大体积为 的外心为斜边的中点，的外心为，‎ 过作面的垂线，过作面的垂线，两垂线的交点即为球心．‎ ‎∵面面，‎ ‎∴即为球心，的外接圆半径即为球半径．‎ ‎∴‎ ‎∴外接球的表面积为．‎ 故答案为：．‎ - 27 -‎ ‎【点睛】此题考查平面图形的折叠问题，求体积的最值和几何体外接球表面积，关键在于熟练掌握几何体的特征，根据线面位置关系求解.‎ 三、解答题 ‎17.已知数列的前项和为，且．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足：设数列的前项和为，证明：‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用公式进行计算并转化可发现数列是以5为首项，5为公比的等比数列，即可计算出数列的通项公式：‎ ‎（2）根据第（1）的结果计算出数列的通项公式，然后运用裂项相消法．计算出前项和，最后应用放缩法证明结论成立．‎ ‎【详解】（1）由题意，当时，，解得．‎ 当时，由，可得：‎ ‎，‎ 两式相减，可得，‎ ‎∴，即．‎ ‎∴数列是以5为首项，5为公比的等比数列，‎ - 27 -‎ ‎∴．‎ ‎（2）由（1）知，‎ ‎，‎ 故得证．‎ ‎【点睛】此题考查求数列通项公式和利用裂项相消求前n项和，证明不等式，关键在于熟练掌握数列的常见处理办法.‎ ‎18.如图，已知平面平面，直线平面，且．‎ ‎（1）求证：DA∥平面；‎ ‎（2）若，平面，求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）过点作于点，由已知利用面面垂直的性质可得平面，结合平面，得，再由线面平行的判定可得平面；‎ ‎（2）由已知证明四边形是矩形，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，分别求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．‎ ‎【详解】（1）证明：过点E作于点，‎ - 27 -‎ ‎∵平面平面，又平面平面平面，‎ ‎∴平面，‎ 又∵平面，∴，‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面；‎ ‎（2）∵平面，∴，‎ 又∵，则，‎ ‎∴点是的中点，连接，则，‎ ‎∴平面，则．‎ ‎∴四边形是矩形．‎ 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，‎ 设，则，‎ 设平面的一个法向量为，‎ ‎∵，‎ 由取，得；‎ 又平面的一个法向量为，‎ 设二面角的平面角为，‎ ‎，，‎ 二面角是钝角，则二面的余弦值为．‎ - 27 -‎ ‎【点睛】此题考查线面平行的证明和求二面角的大小，关键在于熟练掌握线面平行的证明方法，建立空间直角坐标系利用向量求解二面角的大小.‎ ‎19.已知椭圆，右顶点为，右焦点为，为坐标原点，，椭圆过点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若过点的直线与椭圆交于不同的两点（在之间），求与面积之比的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由椭圆过点，及之间的关系，可得的值，进而求出椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线的方程，与椭圆联立由，可得斜率的范围，求出两根之和及两根之积，求出面积之比可得的横坐标之比，代入两根之和及两根之积，可得的表达式，进而求出面积之比的范围．‎ ‎【详解】（1）由，可得，，且过点，则，，故解得：，，‎ 所以椭圆的方程为：；‎ - 27 -‎ ‎（2）由题意可知直线的斜率存在，设的方程为：，设，‎ 将的方程代入，整理可得：，‎ ‎，可得： * ，‎ 令，且 将代入*可得可得：‎ 所以解得：‎ 所以与面积之比的取值范围：‎ ‎【点睛】此题考查求椭圆的标准方程，根据直线与椭圆的位置关系，求解三角形面积关系，结合韦达定理处理根的关系利于解题.‎ ‎20.2020年全球爆发新冠肺炎，人感染了新冠肺炎病毒后常见呼吸道症状有：发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，严重时会危及生命．随着疫情的发展，自2020年2月5日起，武汉大面积的爆发新冠肺炎，政府为了及时收治轻症感染的群众，逐步建立起了14家方舱医院，其中武汉体育中心方舱医院从2月12日开舱至3月8日闭仓，累计收治轻症患者1056人．据部分统计该方舱医院从2月26日至3月2日轻症患者治愈出仓人数的频数表与散点图如下：‎ 日期 ‎2.26‎ ‎2.27‎ ‎2.28‎ ‎2.29‎ ‎3.1‎ ‎3.2‎ 序号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 出仓人数 ‎3‎ ‎8‎ ‎17‎ ‎31‎ ‎68‎ ‎168‎ - 27 -‎ 根据散点图和表中数据，某研究人员对出仓人数与日期序号进行了拟合分析．从散点图观察可得，研究人员分别用两种函数①②分析其拟合效果．其相关指数可以判断拟合效果，R2越大拟合效果越好．已知的相关指数为．‎ ‎（1）试根据相关指数判断．上述两类函数，哪一类函数的拟合效果更好？（注：相关系数与相关指数R2满足，参考数据表中）‎ ‎（2）①根据（1）中结论，求拟合效果更好的函数解析式；（结果保留小数点后三位）‎ ‎②3月3日实际总出仓人数为216人，按①中的回归模型计算，差距有多少人？‎ ‎（附：对于一组数据，其回归直线为 相关系数 参考数据：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎3.5‎ ‎49.17‎ ‎15.17‎ ‎3.13‎ ‎894.83‎ ‎19666.83‎ ‎10.55‎ ‎13.56‎ ‎3957083‎ ‎，，，．‎ ‎【答案】（1）回归方程的拟合效果更好；（2）①．②相差129人．‎ ‎【解析】‎ - 27 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由相关数据和参考公式求出相关系数即可得解；‎ ‎（2）①根据参考公式求出这两个系数，从而得到，于是可知回归方程；‎ ‎②把代入①中求出的回归方程即可得解．‎ ‎【详解】（1）由得，，令，‎ 由上表得：，‎ 又由已知计算 ‎∴‎ 故由，因此回归方程的拟合效果更好．‎ ‎（2）①‎ ‎∴，‎ 故，‎ 即回归方程为．‎ ‎②当序号时，，‎ 而3月3日实际出仓人数为216人，相差129人．‎ ‎【点睛】此题考查根据相关指数判断拟合函数的效果，通过换元法求解回归方程，关键在于熟练掌握相关公式的应用，根据给定数据计算求解.‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ - 27 -‎ ‎（2）当时，对任意，证明：．‎ ‎【答案】（1）单调递增区间；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解；‎ ‎（2）结合（1）可知，结合已知不等式的特点，合理的构造函数，结合函数的性质及导数可证．‎ ‎【详解】（1）函数的定义域，‎ 设，则，‎ 所以在上单调递增，‎ 所以，‎ 所以，，‎ 所以的单调递增区间，‎ ‎（2）由（1）可知，‎ 即，即 因为，‎ 所以，‎ ‎∴①，‎ ‎（1）知，，‎ ‎∴②，‎ 由①②知，要证原不等式，知即 ‎，则，‎ 设，则，‎ ‎∵，则，‎ - 27 -‎ 则在上单调递增，，‎ 即，‎ 故在上单调递增，故，‎ 所以，‎ 故．‎ ‎【点睛】此题考查导数的应用，根据导函数讨论函数的单调性，通过等价转化，构造函数，结合函数单调性证明不等式.‎ 请考生在第22，23题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按做的第一个题目计分.‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22.在平面直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的参数方程为（为参数，），曲线的极坐标方程为：．且两曲线与交于两点．‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设，若成等比数列，求的值．‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由曲线的参数方程，消参能求出曲线的直角坐标方程；曲线的极坐标方程转化为，由此能求出曲线的直角坐标方程．‎ ‎（2）设直线的参数方程为（为参数），将参数方程代入曲线，得 - 27 -‎ ‎，由此能求出实数的值．‎ ‎【详解】（1）由曲线的参数方程为（为参数，），‎ 消参得曲线的直角坐标方程为．‎ ‎∵曲线的极坐标方程为：．‎ ‎∴，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为．‎ ‎（2）由直线过点，且倾斜角为，‎ 设直线的参数方程为（为参数），‎ 将参数方程代入曲线，得：‎ ‎，‎ ‎，解得，‎ 且，，‎ 由成等比数列，得，‎ 由直线参数方程的几何意义知 ‎，即 ‎∵，，‎ 化简为，‎ 解得或（舍），‎ ‎∴实数的值为 - 27 -‎ ‎【点睛】此题考查极坐标与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，根据直线参数方程与曲线普通方程关系结合韦达定理求解含参问题.‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23.已知实数满足，；‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）当（1）中不等式取等号时，且关于的不等式的解集非空，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先判断，再将原不等式的左边变形，运用基本不等式和不等式的性质，即可得证；‎ ‎（2）由（1）将原不等式化为，即的解集非空，构造函数，则，由绝对值的意义，去绝对值，运用二次函数的最值求法，可得所求．‎ ‎【详解】（1）证明：由，且，‎ 可得，‎ 则 当且仅当取得等号；‎ ‎（2）由（1）可得，则原不等式，‎ 即的解集非空，‎ 设，则，‎ 当时，递减，可得；‎ 当时，的最大值为；‎ - 27 -‎ 当时，递增，可得；‎ 即有的最大值为，‎ 所以 ‎【点睛】此题考查不等式的证明，利用基本不等式证明不等式，利用分段讨论求解绝对值函数的最值，解决不等式恒成立求参数范围问题.‎ - 27 -‎ ‎ ‎ - 27 -‎