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  • 2021-06-16 发布

广东省湛江市2020届高三下学期模拟考试数学(理)试题 Word版含解析

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www.ks5u.com ‎2020年湛江市高三模拟试题 理科数学 一、选择题 ‎1.已知集合,,则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出集合和,即可根据交集的运算求出.‎ ‎【详解】∵,而,‎ ‎∴.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的交集运算,以及一元二次不等式的解法,属于容易题.‎ ‎2.设(是虚数单位),则( )‎ A. B. 1 C. 2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用复数代数形式的四则运算法则求出,即可根据复数的模计算公式求出.‎ ‎【详解】∵,∴.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用,以及复数的模计算公式的应用,‎ 属于容易题.‎ ‎3.已知等差数列的前项和为,,,则( )‎ A. 25 B. 32 C. 35 D. 40‎ - 20 -‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出等差数列的首项和公差,即可根据题意列出两个方程,求出通项公式,从而求得.‎ ‎【详解】设等差数列的首项为,公差为,则 ‎,解得,∴,即有.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的求法和应用,涉及等差数列的前项和公式的应用,属于容易题.‎ ‎4.某歌手大赛进行电视直播,比赛现场有名特约嘉宾给每位参赛选手评分,场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后,现场嘉宾的评分情况如下表,场内外共有数万名观众参与了评分,组织方将观众评分按照,,分组,绘成频率分布直方图如下:‎ 嘉宾 评分 嘉宾评分平均数为,场内外的观众评分的平均数为,所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为,则下列选项正确的是( )‎ - 20 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出、,进而可得出结论 ‎【详解】由表格中的数据可知,,‎ 由频率分布直方图可知,,则,‎ 由于场外有数万名观众,所以,.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查平均数的大小比较,涉及平均数公式以及频率分布直方图中平均数的计算,考查计算能力,属于基础题.‎ ‎5.已知函数的图象如图所示,则可以为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图象可知,函数为奇函数,以及函数在上单调递增,且有一个零点,即可对选项逐个验证即可得出.‎ - 20 -‎ ‎【详解】首先对4个选项进行奇偶性判断,可知,为偶函数,不符合题意,排除B;‎ 其次,在剩下的3个选项,对其在上的零点个数进行判断, 在上无零点, 不符合题意,排除D;然后,对剩下的2个选项,进行单调性判断, 在上单调递减, 不符合题意,排除C.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题主要考查图象的识别和函数性质的判断,意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力,属于容易题.‎ ‎6.若两个非零向量、满足,且,则与夹角的余弦值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设平面向量与的夹角为,由已知条件得出,在等式两边平方,利用平面向量数量积的运算律可求得的值,即为所求.‎ ‎【详解】设平面向量与的夹角为,,可得,‎ 在等式两边平方得,化简得.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查利用平面向量的模求夹角的余弦值,考查平面向量数量积的运算性质的应用,考查计算能力,属于中等题.‎ ‎7.已知为等比数列,,,则( )‎ A. 9 B. -9 C. D. ‎ - 20 -‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列的下标和性质可求出,便可得出等比数列的公比,再根据等比数列的性质即可求出.‎ ‎【详解】∵,∴,又,可解得或 设等比数列的公比为,则 当时,, ∴;‎ 当时, ,∴.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的性质应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题.‎ ‎8.已知、分别是双曲线的左、右焦点,过作双曲线的一条渐近线的垂线,分别交两条渐近线于点、,过点作轴的垂线,垂足恰为,则双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设点位于第二象限,可求得点的坐标,再由直线与直线垂直,转化为两直线斜率之积为可得出的值,进而可求得双曲线的离心率.‎ ‎【详解】设点位于第二象限,由于轴,则点的横坐标为,纵坐标为 - 20 -‎ ‎,即点,‎ 由题意可知,直线与直线垂直,,,‎ 因此,双曲线的离心率为.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线离心率的计算,解答的关键就是得出、、的等量关系,考查计算能力,属于中等题.‎ ‎9.已知,,,则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据选项中出现的式子,由对数函数的单调性求出其大致范围, 再利用对数的运算性质和换底公式化简,即可得出三个式子的大小关系.‎ ‎【详解】∵,即,‎ ‎,即,‎ ‎,即,‎ ‎∴,即有.‎ ‎∵,即,‎ ‎∴.‎ 综上, .‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题主要考查对数的运算性质, 换底公式以及对数函数的单调性的应用,意在考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力,属于中档题.‎ - 20 -‎ ‎10.过抛物线的焦点的直线与抛物线交于、两点,且,抛物线的准线与轴交于,的面积为,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设点、,并设直线的方程为,由得,将直线的方程代入韦达定理,求得,结合的面积求得的值,结合焦点弦长公式可求得.‎ ‎【详解】设点、,并设直线的方程为,‎ 将直线的方程与抛物线方程联立,消去得,‎ 由韦达定理得,,‎ ‎,,,,,‎ ‎,可得,,‎ 抛物线的准线与轴交于,‎ 的面积为,解得,则抛物线的方程为,‎ 所以,.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线焦点弦长的计算,计算出抛物线的方程是解答的关键,考查计算能力,属于中等题.‎ - 20 -‎ ‎11.已知函数(,,),将函数的图象向左平移个单位长度,得到函数的部分图象如图所示,则是的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据图象求出函数的解析式,再由平移知识得到的解析式,然后分别找出 和的等价条件,即可根据充分条件,必要条件的定义求出.‎ ‎【详解】设,根据图象可知,‎ ‎,‎ 再由, 取,‎ ‎∴.‎ 将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,‎ ‎∴.‎ ‎,,‎ - 20 -‎ 令,则,显然,‎ ‎∴是的必要不充分条件.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用图象求正(余)弦型函数的解析式,三角函数的图形变换, 二倍角公式的应用,充分条件,必要条件的定义的应用,意在考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力,属于中档题.‎ 三、解答题 ‎12.如图,在中,,,点在线段上.‎ ‎(1)若,求的长;‎ ‎(2)若,,求的面积.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先根据平方关系求出,再根据正弦定理即可求出;‎ ‎(2)分别在和中,根据正弦定理列出两个等式,两式相除,利用题目条件即可求出,再根据余弦定理求出,即可根据求出的面积.‎ ‎【详解】(1)由,得,所以.‎ 由正弦定理得,,即,得.‎ ‎(2)由正弦定理,在中,,①‎ - 20 -‎ 在中,,②‎ 又,,,‎ 由得,‎ 由余弦定理得,‎ 即,解得,‎ 所以的面积.‎ ‎【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用,以及三角形面积公式的应用,意在考查学生的数学运算能力,属于基础题.‎ ‎13.如图,在四棱柱中,底面为菱形,.‎ ‎(1)证明:平面平面;‎ ‎(2)若,是等边三角形,求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据面面垂直的判定定理可知,只需证明平面即可.‎ 由为菱形可得,连接和与的交点,‎ 由等腰三角形性质可得,即能证得平面;‎ ‎(2)由题意知,平面,可建立空间直角坐标系,以为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,再分别求出平面 - 20 -‎ 的法向量,平面的法向量,即可根据向量法求出二面角的余弦值.‎ ‎【详解】(1)如图,设与相交于点,连接,‎ 又为菱形,故,为的中点.‎ 又,故.‎ 又平面,平面,且,‎ 故平面,又平面,‎ 所以平面平面.‎ ‎(2)由是等边三角形,可得,故平面,‎ 所以,,两两垂直.如图以为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系.‎ 不妨设,则,,‎ 则,,,,,,‎ 设为平面法向量,‎ 则即可取,‎ 设为平面的法向量,‎ - 20 -‎ 则即可取,‎ 所以.‎ 所以二面角的余弦值为0.‎ ‎【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理,面面垂直的判定定理的应用,以及利用向量法求二面角,意在考查学生的直观想象能力,逻辑推理能力和数学运算能力,属于基础题.‎ ‎14.某工厂生产一种产品的标准长度为,只要误差的绝对值不超过就认为合格,工厂质检部抽检了某批次产品1000件,检测其长度,绘制条形统计图如图:‎ ‎(1)估计该批次产品长度误差绝对值的数学期望;‎ ‎(2)如果视该批次产品样本的频率为总体的概率,要求从工厂生产的产品中随机抽取2件,假设其中至少有1件是标准长度产品的概率不小于0.8时,该设备符合生产要求.现有设备是否符合此要求?若不符合此要求,求出符合要求时,生产一件产品为标准长度的概率的最小值.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题意即可写出该批次产品长度误差的绝对值的频率分布列,再根据期望公式即可求出;‎ ‎(2)由(1)可知,任取一件产品是标准长度的概率为0.4,即可求出随机抽取2件产品,都不是标准长度产品的概率,由对立事件的概率公式即可得到随机抽取2件产品,至少有1件是标准长度产品的概率,判断其是否符合生产要求;当不符合要求时,设生产一件产品为标准长度的概率为,可根据上述方法求出,解 - 20 -‎ ‎,即可得出最小值.‎ ‎【详解】(1)由柱状图,该批次产品长度误差绝对值的频率分布列为下表:‎ ‎0‎ ‎0.01‎ ‎0.02‎ ‎0.03‎ ‎0.04‎ 频率 ‎0.4‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.075‎ ‎0.025‎ 所以的数学期望的估计为 ‎.‎ ‎(2)由(1)可知任取一件产品是标准长度的概率为0.4,设至少有1件是标准长度产品为事件,则,故不符合概率不小于0.8的要求.‎ 设生产一件产品为标准长度的概率为,‎ 由题意,又,解得,‎ 所以符合要求时,生产一件产品为标准长度的概率的最小值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查离散型随机变量的期望的求法,相互独立事件同时发生的概率公式的应用,对立事件的概率公式的应用,解题关键是对题意的理解,意在考查学生的数学建模能力和数学运算能力,属于基础题.‎ ‎15.已知椭圆经过点,离心率为.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)过点的直线交椭圆于、两点,若,在线段上取点,使,求证:点在定直线上.‎ ‎【答案】(1);(2)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题意得出关于、、的方程组,解出、的值,进而可得出椭圆 - 20 -‎ 的标准方程;‎ ‎(2)设点、、,设直线的方程为,将该直线的方程与椭圆的方程联立,并列出韦达定理,由向量的坐标运算可求得点的坐标表达式,并代入韦达定理,消去,可得出点的横坐标,进而可得出结论.‎ ‎【详解】(1)由题意得,解得,.‎ 所以椭圆的方程是;‎ ‎(2)设直线的方程为,、、,‎ 由,得.‎ ‎,则有,,‎ 由,得,由,可得,‎ ‎,‎ ‎,‎ 综上,点在定直线上.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求解,同时也考查了点在定直线上的证明,考查计算能力与推理能力,属于中等题.‎ - 20 -‎ ‎16.设函数,是函数的导数.‎ ‎(1)若,证明在区间上没有零点;‎ ‎(2)在上恒成立,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)证明见解析(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先利用导数的四则运算法则和导数公式求出,再由函数的导数可知,‎ 函数在上单调递增,在上单调递减,而,,可知在区间上恒成立,即在区间上没有零点;‎ ‎(2)由题意可将转化为,构造函数,‎ 利用导数讨论研究其在上的单调性,由,即可求出的取值范围.‎ ‎【详解】(1)若,则,,‎ 设,则,,‎ ‎,故函数是奇函数.‎ 当时,,,这时,‎ 又函数是奇函数,所以当时,.‎ 综上,当时,函数单调递增;当时,函数单调递减.‎ 又,,‎ 故在区间上恒成立,所以在区间上没有零点.‎ ‎(2),由,所以恒成立,‎ - 20 -‎ 若,则,设,‎ ‎.‎ 故当时,,又,所以当时,,满足题意;‎ 当时,有,与条件矛盾,舍去; ‎ 当时,令,则,‎ 又,故在区间上有无穷多个零点,‎ 设最小的零点为,‎ 则当时,,因此在上单调递增.‎ ‎,所以 于是,当时,,得,与条件矛盾.‎ 故的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的四则运算法则和导数公式的应用,以及利用导数研究函数的单调性和最值,涉及分类讨论思想和放缩法的应用,难度较大,意在考查学生的数学建模能力,数学运算能力和逻辑推理能力,属于较难题.‎ ‎17.在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求的普通方程和的直角坐标方程;‎ ‎(2)把曲线向下平移个单位,然后各点横坐标变为原来的倍得到曲线(纵坐标不变),设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值.‎ ‎【答案】(1),;(2).‎ ‎【解析】‎ - 20 -‎ ‎【分析】‎ ‎(1)在直线的参数方程中消去参数可得出直线的普通方程,在曲线的极坐标方程两边同时乘以得,进而可化简得出曲线的直角坐标方程;‎ ‎(2)根据变换得出的普通方程为,可设点的坐标为,利用点到直线的距离公式结合正弦函数的有界性可得出结果.‎ ‎【详解】(1)由(为参数),得,化简得,‎ 故直线的普通方程为.‎ 由,得,又,,.‎ 所以的直角坐标方程为;‎ ‎(2)由(1)得曲线的直角坐标方程为,向下平移个单位得到,‎ 纵坐标不变,横坐标变为原来的倍得到曲线的方程为,‎ 所以曲线的参数方程为(为参数).‎ 故点到直线的距离为,‎ 当时,最小为.‎ ‎【点睛】本题考查曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程的相互转化,同时也考查了利用椭圆的参数方程解决点到直线的距离最值的求解,考查计算能力,属于中等题.‎ ‎18.已知,,函数的最小值为.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若恒成立,求实数的最大值.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)最大值为.‎ - 20 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将函数表示为分段函数,利用函数的单调性求出该函数的最小值,进而可证得结论成立;‎ ‎(2)由可得出,并将代数式与相乘,展开后利用基本不等式可求得的最小值,进而可得出实数的最大值.‎ ‎【详解】(1).‎ 当时,函数单调递减,则;‎ 当时,函数单调递增,则;‎ 当时,函数单调递增,则.‎ 综上所述,,所以;‎ ‎(2)因为恒成立,且,,所以恒成立,即.‎ 因为,当且仅当时等号成立,‎ 所以,实数的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查含绝对值函数最值的求解,同时也考查了利用基本不等式恒成立求参数,考查推理能力与计算能力,属于中等题.‎ - 20 -‎ - 20 -‎ - 20 -‎