高考卷 06 普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷 21页

2006 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数学（理工农医类） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 4 页，共 4 页。全卷共 150 分。考试用时 120 分钟。 第Ⅰ卷（选择题 共 50 分） 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题纸上，并将准考证号条 形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2. 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。 3. 考试结束后，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回。 一、选择题:本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分散。在每个小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量 ( 3,1)a  ，b  是不平行于 x 轴的单位向量，且 3a b    ，则b  ( B ) A．（ 3 1,2 2 ） B．（ 1 3,2 2 ） C．（ 1 3 3,4 4 ） D．（1,0 ） 2.若互不相等的实数 , ,a b c 成等差数列， , ,c a b 成等比数列，且 3 10a b c   ，则 a  ( D ) A．4 B．2 C．－2 D．－4 3.若 ABC 的内角 A 满足 2sin 2 3A  ，则sin cosA A  ( A ) A. 15 3 B． 15 3  C． 5 3 D． 5 3  4．设 2( ) lg 2 xf x x   ，则 2( ) ( )2 xf f x  的定义域为 ( B ) A． ( 4,0) (0,4)  B． ( 4, 1) (1,4)   C． ( 2, 1) (1,2)   D． ( 4, 2) (2,4)   5．在 24 3 1( )x x  的展开式中， x 的幂的指数是整数的项共有 ( C ) A．3 项 B．4 项 C．5 项 D．6 项 6．关于直线 ,m n 与平面 ,  ，有以下四个命题： ①若 // , //m n  且 //  ，则 //m n ； ②若 ,m n   且  ，则 m n ； ③若 , //m n  且 //  ，则 m n ； ④若 // ,m n  且  ，则 //m n ； 其中真命题的序号是 ( D ) A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 7．设过点 ( , )P x y 的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 ,A B 两点，点Q 与点 P 关于 y 轴对称，O 为坐标原点，若 2BP PA  且 1OQ AB    ，则点 P 的轨迹方程是 ( D ) A． 2 233 1( 0, 0)2x y x y    B． 2 233 1( 0, 0)2x y x y    C． 2 23 3 1( 0, 0)2 x y x y    D． 2 23 3 1( 0, 0)2 x y x y    8．有限集合 S 中元素的个数记做 ( )card S ，设 ,A B 都为有限集合，给出下列命题： ① A B   的充要条件是 ( ) ( ) ( )card A B card A card B  ； ② A B 的充要条件是 ( ) ( )card A card B ； ③ A BÚ 的充要条件是 ( ) ( )card A card B ； ④ A B 的充要条件是 ( ) ( )card A card B ； 其中真命题的序号是 ( B ) A．③④ B．①② C．①④ D．②③ 9．已知平面区域 D 由以 (1,3), (5,2), (3,1)A B C 为顶点的三角形内部＆边界组成。若在区域 D 上有无穷多个点 ( , )x y 可使目标函数 |z x my 取得最小值，则 m  (C ) A．－2 B．－1 C．1 D．4 10．关于 x 的方程 2 2 2( 1) 1 0x x k     ，给出下列四个命题： ( A ) ①存在实数 k ，使得方程恰有 2 个不同的实根； ②存在实数 k ，使得方程恰有 4 个不同的实根； ③存在实数 k ，使得方程恰有 5 个不同的实根； ④存在实数 k ，使得方程恰有 8 个不同的实根； 其中假．命题的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 第Ⅱ卷（非选择题 共 100 分） 注意事项： 第Ⅱ卷用 0.5 毫米黑色的签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卡上。答在试题卷上无效。 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，把答案填在答题卡相应 位置上。 11．设 ,x y 为实数，且 5 1 1 2 1 3 x y i i i     ，则 x y  4 。 12．接种某疫苗后，出现发热反应的概率为 0．80，现有 5 人接种了该疫苗，至少有 3 人出 现发热反应的概率为 0.94 。（精确到 0．01） 13．已知直线5 12 0x y a   与圆 2 22 0x x y   相切，则 a 的值为 －18 或 8 。 14．某工程队有 6 项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙 必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这 6 项工 程的不同排法种数是 20 。（用数字作答） 15．将杨辉三角中的每一个数 r nC 都换成 1 ( 1) r nn C ，就得到一个如右图所示的分数三角形， 成为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出 1 1 1 1 ( 1) ( 1)r x r n n nn C n C nC     ，其中 x  r＋1 。令 3 3 1 1 1 1 1 1 1 3 12 30 60 ( 1)n n n a nC n C         ，则 lim nn a  。 2 1 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程 或演算步骤。 16．（本小题满分 12 分） 设 函 数 ( ) ( )f x a b c     ， 其 中 向 量 (sin , cos )a x x  ， (sin , 3cos )b x x  ， ( cos ,sin )c x x  ， x R 。 （Ⅰ）、求函数 ( )f x 的最大值和最小正周期； （Ⅱ）、将函数 ( )f x 的图像按向量 d  平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对 称，求长度最小的 d  。 点评：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像 的基本知识，考查推理和运算能力。 解：(Ⅰ)由题意得，f(x)＝a·(b+c)=(sinx,－cosx)·(sinx－cosx,sinx－3cosx) ＝sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+ 2 sin(2x+ 4 3 ). 所以，f(x)的最大值为 2+ 2 ，最小正周期是 2 2 ＝ . （Ⅱ）由 sin(2x+ 4 3 )＝0 得 2x+ 4 3 ＝k. ，即 x＝ 8 3 2  k ,k∈Z， 于是 d＝（ 8 3 2  k ，－2）， ,4)8 3 2( 2  kd k∈Z. 因为 k 为整数，要使 d 最小，则只有 k＝1，此时 d＝（― 8  ，―2）即为所求. 17．（本小题满分 13 分） 已知二次函数 ( )y f x 的图像经过坐标原点，其导函数为 ' ( ) 6 2f x x  ，数列{ }na 的 前 n 项和为 nS ，点 ( , )( )nn S n N  均在函数 ( )y f x 的图像上。 （Ⅰ）、求数列{ }na 的通项公式； （Ⅱ）、设 1 3   nn n aab ， nT 是数列{ }nb 的前 n 项和，求使得 20n mT  对所有 n N  都 成立的最小正整数 m； 点评：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算 技能，考查分析问题的能力和推理能力。 解：（Ⅰ）设这二次函数 f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于 f`(x)=6x－2,得 a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x. 又因为点 ( , )( )nn S n N  均在函数 ( )y f x 的图像上，所以 nS ＝3n2－2n. 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－ )1(2)13 2  nn（ ＝6n－5. 当 n＝1 时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （ n N  ） （Ⅱ）由（Ⅰ）得知 1 3   nn n aab ＝  5)1(6)56( 3  nn ＝ )16 1 56 1(2 1  nn ， 故 Tn＝   n i ib 1 ＝ 2 1      )16 1 56 1(...)13 1 7 1()7 11( nn ＝ 2 1 （1－ 16 1 n ）. 因此，要使 2 1 （1－ 16 1 n ）< 20 m （ n N  ）成立的 m,必须且仅须满足 2 1 ≤ 20 m ，即 m≥10，所以满足要求的最小正整数 m 为 10. 18．（本小题满分 12 分） 如图，在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，P 是 侧棱 1CC 上的一点，CP m 。 （Ⅰ）、试确定 m ，使直线 AP 与平面 1 1BDD B 所成 角的正切值为3 2 ； （Ⅱ）、在线段 1 1AC 上是否存在一个定点 Q，使得对 任意的 m ，D1Q 在平面 1APD 上的射影垂直于 AP ，并 证明你的结论。 点评：本小题主要考查线面关系、直线于平面所成 的角的有关知识及空间想象能力和推理运算能力，考查 运用向量知识解决数学问题的能力。 解法 1：（Ⅰ）连 AC，设 AC 与 BD 相交于点 O,AP 与平面 1 1BDD B 相交于点，,连结 OG，因为 PC∥平面 1 1BDD B ，平面 1 1BDD B ∩平面 APC＝ OG, A B CD 1A 1B 1C1D O1 G O C D C1 B A D1 A1 B1 P 故 OG∥PC，所以，OG＝ 2 1 PC＝ 2 m . 又 AO⊥BD,AO⊥BB1，所以 AO⊥平面 1 1BDD B ， 故∠AGO 是 AP 与平面 1 1BDD B 所成的角. 在 Rt△AOG 中，tanAGO＝ 23 2 2 2  mGO OA ，即 m＝ 3 1 . 所以，当 m＝ 3 1 时，直线 AP 与平面 1 1BDD B 所成的角的正切值为3 2 . （Ⅱ）可以推测，点 Q 应当是 AICI 的中点 O1，因为 D1O1⊥A1C1, 且 D1O1⊥A1A ，所以 D1O1⊥平面 ACC1A1， 又 AP  平面 ACC1A1，故 D1O1⊥AP. 那么根据三垂线定理知，D1O1 在平面 APD1 的射影与 AP 垂直。 19．（本小题满分 10 分） 在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布 (70,100)N 。 已知成绩在 90 分以上（含 90 分）的学生有 12 名。 （Ⅰ）、试问此次参赛学生总数约为多少人？ （Ⅱ）、若该校计划奖励竞赛成绩排在前 50 名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？ 可共查阅的（部分）标准正态分布表 0 0( ) ( )x P x x   0x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.2 1.3 1.4 1.9 2.0 2.1 0.8849 0.9032 0.9192 0.9713 0.9772 0.9821 0.8869 0.9049 0.9207 0.9719 0.9778 0.9826 0.888 0.9066 0.9222 0.9726 0.9783 0.9830 0.8907 0.9082 0.9236 0.9732 0.9788 0.9834 0.8925 0.9099 0.9251 0.9738 0.9793 0.9838 0.8944 0.9115 0.9265 0.9744 0.9798 0.9842 0.8962 0.9131 0.9278 0.9750 0.9803 0.9846 0.8980 0.9147 0.9292 0.9756 0.9808 0.9850 0.8997 0.9162 0.9306 0.9762 0.9812 0.9854 0.9015 0.9177 0.9319 0.9767 0.9817 0.9857 点评：本小题主要考查正态分布，对独立事件的概念和标准正态分布的查阅，考查运用概率 统计知识解决实际问题的能力。 解：（Ⅰ）设参赛学生的分数为 ，因为 ～N(70，100)，由条件知， P( ≥90)＝1－P（ <90）＝1－F(90)＝1－  )10 7090(  ＝1－  (2)＝1－0.9772＝0.228. 这说明成绩在 90 分以上（含 90 分）的学生人数约占全体参赛人数的 2.28％，因此， 参赛总人数约为 0228.0 12 ≈526（人）。 （Ⅱ）假定设奖的分数线为 x 分，则 P( ≥x)＝1－P（ 0，∴ BM · BP >0，则∠MBP 为锐角，从而∠MBN 为钝角， 故点 B 在以 MN 为直径的圆内。 解法 2：由（Ⅰ）得 A（－2，0），B（2，0）.设 M（x1，y1），N（x2，y2）， 则－23＝x1，则 在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数； 在区间（3，―a―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数； 在区间（―a―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数。 当 a>－4 时，x2<3＝x1，则 在区间（－∞，―a―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数； 在区间（―a―1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数； 在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当 a>0 时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上 单调递减，那么 f (x)在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]， 而 f (0)＝－（2a＋3）e3<0，f (4)＝（2a＋13）e－1>0，f (3)＝a＋6， 那么 f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e3，a＋6]. 又 2 25( ) ( )4 xg x a e  在区间[0，4]上是增函数， 且它在区间[0，4]上的值域是[a2＋ 4 25 ，（a2＋ 4 25 ）e4]， 由于（a2＋ 4 25 ）－（a＋6）＝a2－a＋ 4 1 ＝（ 2 1a ）2≥0，所以只须仅须 （a2＋ 4 25 ）－（a＋6）<1 且 a>0，解得 00，∴ BM · BP >0，则∠MBP 为锐角，从而∠MBN 为钝角， 故点 B 在以 MN 为直径的圆内。 解法 2：由（Ⅰ）得 A（－2，0），B（2，0）.设 M（x1，y1），N（x2，y2）， 则－23＝x1，则 在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数； 在区间（3，―a―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数； 在区间（―a―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数。 当 a>－4 时，x2<3＝x1，则 在区间（－∞，―a―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数； 在区间（―a―1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数； 在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当 a>0 时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上 单调递减，那么 f (x)在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]， 而 f (0)＝－（2a＋3）e3<0，f (4)＝（2a＋13）e－1>0，f (3)＝a＋6， 那么 f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e3，a＋6]. 又 2 25( ) ( )4 xg x a e  在区间[0，4]上是增函数， 且它在区间[0，4]上的值域是[a2＋ 4 25 ，（a2＋ 4 25 ）e4]， 由于（a2＋ 4 25 ）－（a＋6）＝a2－a＋ 4 1 ＝（ 2 1a ）2≥0，所以只须仅须 （a2＋ 4 25 ）－（a＋6）<1 且 a>0，解得 0