【数学】2020届一轮复习北师大版等比数列作业 12页

‎1.(2018浙江嘉兴高三期末,11)各项均为实数的等比数列{an},若a1=1,a5=9,则a3=　　　　,公比q=　　　　. ‎ 答案　3;±‎ ‎2.(2018浙江嵊州高三期末质检,11)我国古代数学巨著《九章算术》中,有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”这个问题用今天的白话叙述为:有一位善于织布的女子,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这位女子每天分别织布多少?”根据上述问题的已知条件,可求得该女子第1天织布的尺数为　　　　　. ‎ 答案　‎ 考点二　等比数列的性质及应用 ‎1.(2018浙江温州适应性测试,5)已知数列{an}是公差不为0的等差数列,bn=,数列{bn}的前n项,前2n项,前3n项的和分别为A,B,C,则(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.A+B=C B.B2=AC C.(A+B)-C=B2 D.(B-A)2=A(C-B)‎ 答案　D　‎ ‎2.(2018浙江杭州二中期中,6)已知等比数列{an}的前n项积为Tn,log2a3+log2a7=2,则T9的值为(　　)‎ A.±512 B.512 C.±1 024 D.1 024‎ 答案　B　‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法1　等比数列中“基本量法”的解题方法 ‎1.(2018浙江金华十校期末,6)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,则下列结论一定成立的是(　　)‎ A.若a5>0,则a2 017<0‎ B.若a6>0,则a2 018<0‎ C.若a5>0,则S2 017>0‎ D.若a6>0,则S2 018>0‎ 答案　C　‎ ‎2.(2017浙江名校(诸暨中学)交流卷四,11)已知等比数列{an}的首项为1,前3项的和为13,且a2>a1,则数列{an}的公比为　　　　,数列{log3an}的前10项和为　　　　. ‎ 答案　3;45‎ 方法2　等比数列的判定方法 ‎1.在数列{an}中,a1=3,an+1=2an+2(n∈N*).‎ ‎(1)求证:{an+2}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=,Sn=b1+b2+b3+…+bn,证明:对任意n∈N*,都有≤Sn<.‎ 解析　(1)由an+1=2an+2(n∈N*),得an+1+2=2(an+2),‎ 又∵a1=3,∴a1+2=5,‎ ‎∴{an+2}是首项为5,公比为2的等比数列,‎ ‎∴an+2=5×2n-1,∴an=5×2n-1-2.‎ ‎(2)证明:由(1)可得bn=,‎ ‎∴Sn=,①‎ Sn=,②‎ ‎①-②可得Sn=‎ ‎==.‎ ‎∴Sn<,又∵Sn+1-Sn=bn+1=>0,‎ ‎∴数列{Sn}单调递增,Sn≥S1=,‎ ‎∴对任意n∈N*,都有≤Sn<.‎ ‎2.已知数列{an}满足:a1=1,an+1=(n∈N*),设bn=a2n-1.‎ ‎(1)求b2,b3,并证明bn+1=2bn+2;‎ ‎(2)①证明:数列{bn+2}为等比数列;‎ ‎②若a2k,a2k+1,9+a2k+2成等比数列,求正整数k的值.‎ 解析　(1)b2=a3=2a2=2(a1+1)=4,‎ b3=a5=2a4=2(a3+1)=10.‎ 同理,bn+1=a2n+1=2a2n=2(a2n-1+1)=2(bn+1)=2bn+2.‎ ‎(2)①证明:==2,则数列{bn+2}为等比数列.‎ ‎②由已知得,b1=a1=1,由①得bn+2=3×2n-1,所以bn=3×2n-1-2,即a2n-1=3×2n-1-2,‎ 则a2n=a2n-1+1=3×2n-1-1.‎ 因为a2k,a2k+1,9+a2k+2成等比数列,‎ 所以(3×2k-2)2=(3×2k-1-1)(3×2k+8),令2k=t,‎ 得(3t-2)2=(3t+8),整理得3t2-14t+8=0,‎ 解得t=或4.因为k∈N*,所以2k=4,得k=2.‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　自主命题·浙江卷题组 考点一　等比数列的有关概念及运算 ‎　(2015浙江文,10,6分)已知{an}是等差数列,公差d不为零.若a2,a3,a7成等比数列,且2a1+a2=1,则a1=　　　　,d=　　　　.　 ‎ 答案　;-1‎ 考点二　等比数列的性质及应用 ‎　(2018浙江,10,4分)已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a1>1,则(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.a1a3,a2a4 D.a1>a3,a2>a4‎ 答案　B　‎ B组　统一命题、省(区、市)卷题组 考点一　等比数列的有关概念及运算 ‎1.(2017课标全国Ⅱ理,3,5分)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏 答案　B　‎ ‎2.(2014重庆,2,5分)对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.a1,a3,a9成等比数列 B.a2,a3,a6成等比数列 C.a2,a4,a8成等比数列 D.a3,a6,a9成等比数列 答案　D　‎ ‎3.(2017课标全国Ⅲ理,14,5分)设等比数列{an}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4 =　　　　. ‎ 答案　-8‎ ‎4.(2016课标全国Ⅰ,15,5分)设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为　　　　. ‎ 答案　64‎ ‎5.(2018课标全国Ⅲ文,17,12分)等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm=63,求m.‎ 解析　本题考查等比数列的通项公式、前n项和公式.‎ ‎(1)设{an}的公比为q,由题设得an=qn-1.‎ 由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2.‎ 故an=(-2)n-1或an=2n-1.‎ ‎(2)若an=(-2)n-1,则Sn=.‎ 由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.‎ 若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.‎ 综上,m=6.‎ 解后反思　等比数列基本量运算问题的常见类型及解题策略:‎ ‎(1)求通项.求出等比数列的两个基本量a1和q后,通项便可求出.‎ ‎(2)求特定项.利用通项公式或者等比数列的性质求解.‎ ‎(3)求公比.利用等比数列的定义和性质建立方程(组)求解.‎ ‎(4)求前n项和.直接将基本量代入等比数列的前n项和公式求解或利用等比数列的性质求解.‎ ‎6.(2015四川,16,12分)设数列{an}(n=1,2,3,…)的前n项和Sn满足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设数列的前n项和为Tn,求Tn.‎ 解析　(1)由已知Sn=2an-a1,‎ 有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2),即an=2an-1(n≥2).‎ 从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.‎ 又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1).‎ 所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.‎ 所以,数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列.故an=2n.‎ ‎(2)由(1)得=.‎ 所以Tn=++…+==1-.‎ 评析　本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列的通项公式与前n项和等基础知识,考查运算求解能力.‎ 考点二　等比数列的性质及应用 ‎1.(2015课标Ⅱ,4,5分)已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=(　　)‎ A.21 B.42 C.63 D.84‎ 答案　B　‎ ‎2.(2014大纲全国,10,5分)等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lg an}的前8项和等于(　　)‎ A.6 B.5 C.4 D.3‎ 答案　C　‎ ‎3.(2017江苏,9,5分)等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=,S6=,则a8=　　　　. ‎ 答案　32‎ ‎4.(2015安徽,14,5分)已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列{an}的前n项和等于　　　　. ‎ 答案　2n-1‎ ‎5.(2015湖南,14,5分)设Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an=　　　　. ‎ 答案　3n-1‎ ‎6.(2014安徽,12,5分)数列{an}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=　　　　. ‎ 答案　1‎ C组　教师专用题组 考点一　等比数列的有关概念及运算 ‎1.(2018北京理,4,5分)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.f B.f C.f D.f 答案　D　‎ ‎2.(2014江苏,7,5分)在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是　　　　. ‎ 答案　4‎ ‎3.(2014天津,11,5分)设{an}是首项为a1,公差为-1的等差数列,Sn为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为　　　　. ‎ 答案　-‎ ‎4.(2018课标全国Ⅰ文,17,12分)已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn=.‎ ‎(1)求b1,b2,b3;‎ ‎(2)判断数列{bn}是不是等比数列,并说明理由;‎ ‎(3)求{an}的通项公式.‎ 解析　(1)由条件可得an+1=an.‎ 将n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4.‎ 将n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12.‎ 从而b1=1,b2=2,b3=4.‎ ‎(2){bn}是首项为1,公比为2的等比数列.‎ 由条件可得=,即bn+1=2bn,‎ 又b1=1,所以{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.‎ ‎(3)由(2)可得=2n-1,所以an=n·2n-1.‎ 方法规律　等比数列的判定方法:‎ 证明一个数列为等比数列常用定义法或等比中项法,通项公式法及前n项和公式法只用于选择题、填空题中的判定.若证明某数列不是等比数列,则只需证明存在连续三项不成等比数列即可.‎ ‎5.(2016课标全国Ⅲ,17,12分)已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.‎ ‎(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;‎ ‎(2)若S5=,求λ.‎ 解析　(1)由题意得a1=S1=1+λa1,‎ 故λ≠1,a1=,a1≠0.(2分)‎ 由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan,即an+1(λ-1)=λan.由a1≠0,λ≠0得an≠0,所以=.‎ 因此{an}是首项为,公比为的等比数列,于是an=·.(6分)‎ ‎(2)由(1)得Sn=1-.‎ 由S5=得1-=,即=.‎ 解得λ=-1.(12分)‎ 思路分析　(1)先由题设利用an+1=Sn+1-Sn得到an+1与an的关系式,要证数列是等比数列,关键是看an+1与an之比是不是一常数,其中说明an≠0是非常重要的.(2)利用第(1)问的结论解方程求出λ.‎ ‎6.(2016四川,19,12分)已知数列{an}的首项为1,Sn为数列{an}的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q>0,n∈N*.‎ ‎(1)若2a2,a3,a2+2成等差数列,求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设双曲线x2-=1的离心率为en,且e2=,证明:e1+e2+…+en>.‎ 解析　(1)由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1,‎ 两式相减得到an+2=qan+1,n≥1.‎ 又由S2=qS1+1得到a2=qa1,‎ 故an+1=qan对所有n≥1都成立.‎ 所以,数列{an}是首项为1,公比为q的等比数列.‎ 从而an=qn-1.由2a2,a3,a2+2成等差数列,可得 ‎2a3=3a2+2,即2q2=3q+2,则(2q+1)(q-2)=0,‎ 因为q>0,所以q=2.所以an=2n-1(n∈N*).‎ ‎(2)由(1)可知,an=qn-1.‎ 所以双曲线x2-=1的离心率en==.‎ 由e2==,解得q=.‎ 因为1+q2(k-1)>q2(k-1),所以>qk-1(k∈N*).‎ 于是e1+e2+…+en>1+q+…+qn-1=,‎ 故e1+e2+…+en>.‎ 疑难突破　由(1)可得en=,因为所证的不等式左边是e1+e2+…+en,直接求和不行,利用放缩法得en=>=qn-1,从而得e1+e2+…+en>q0+q1+…+qn-1,化简即可.‎ 评析　本题涉及的知识点比较多,由递推思想推出数列{an}是等比数列,由等差中项求出q,由放缩法证明不等式成立.综合性较强.‎ ‎7.(2014课标Ⅱ,17,12分)已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.‎ ‎(1)证明是等比数列,并求{an}的通项公式;‎ ‎(2)证明++…+<.‎ 解析　(1)由an+1=3an+1得an+1+=3.‎ 又a1+=,所以是首项为,公比为3的等比数列.‎ an+=,因此{an}的通项公式为an=.‎ ‎(2)证明:由(1)知=.‎ 因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以≤.‎ 于是++…+≤1++…+=<.‎ 所以++…+<.‎ 评析　本题考查了等比数列的定义、数列求和等问题,放缩求和是本题的难点.‎ 考点二　等比数列的性质及应用 ‎　(2014广东,13,5分)若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+…+ln a20=　　　　. ‎ 答案　50‎ ‎【三年模拟】‎ 一、选择题(每小题4分,共24分)‎ ‎1.(2019届衢州、湖州、丽水三地教学质量检测,4)已知等比数列{an}满足a1+a3=-2a2,则公比q=(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.-1 B.1 C.-2 D.2‎ 答案　A　‎ ‎2.(2019届金丽衢十二校高三第一次联考,3)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=3,S4=15,则S3=(　　)‎ A.7 B.-9 C.7或-9 D.‎ 答案　C　‎ ‎3.(2019届镇海中学期中考试,8)已知正项等比数列{an}满足a7=a6+2a5,若存在两项am,an,使得am·an=16,则+的最小值为(　　)‎ A. B. C. D.‎ 答案　C　‎ ‎4.(2018浙江镇海中学期中,2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=2,S6=18,则等于(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.-3 B.5 C.-31 D.33‎ 答案　D　‎ ‎5.(2018浙江稽阳联谊学校高三联考(4月),6)已知数列{an}是等比数列,前n项和为Sn,则“2a5>a3+a7”是“S2n-1<0”的(　　)‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A　‎ ‎6.(2018浙江新高考调研卷四(金华一中),7)如图,在半径r=1的圆内作内接正六边形,再作正六边形的内切圆,又在此内切圆内作内接正六边形,如此无限继续下去,设Sn为前n个圆的面积之和,取正数ξ=3π,若|Sn-4π|<ξ,则n的取值为(　　)‎ A.大于100的所有正整数 B.大于100的有限个正整数 C.不大于100的所有正整数 D.不大于100的有限个正整数 答案　A　‎ 二、填空题(单空题4分,多空题6分,共12分)‎ ‎7.(2019届金丽衢十二校高三第一次联考,14)在从100到999的所有三位数中,百位、十位、个位数字依次构成等差数列的有　　　　个;构成等比数列的有　　　　个. ‎ 答案　41;17‎ ‎8.(2018浙江杭州高考教学质量检测,12)设各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若S4=80,S2=8,则公比q=　　　　,a5=　　　　. ‎ 答案　3;162‎ 三、解答题(共20分)‎ ‎9.(2019届浙江“超级全能生”9月联考,20)已知数列{an}的前n项和Sn=nan-n(n-1)且a2=3.数列{bn}为非负的等比数列,且满足a1b3=4,b2b7=16b4.‎ ‎(1)求数列{an},{bn}的通项公式;‎ ‎(2)若数列{bn}的前n项和为Cn,求数列{nCn}的前n项和Tn.‎ 解析　(1)由题意得Sn=nan-n(n-1)①,‎ 则当n≥2时,Sn-1=(n-1)an-1-(n-1)(n-2)②,‎ ‎①-②得an-an-1=2,当n=2时,S2=2a2-2,又因为S2=a1+a2,a2=3,所以a1=1,‎ 所以数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列,‎ 所以an=2n-1.‎ 因为a1b3=4,所以b3=4,‎ 因为b2b7=b4b5,bn>0,b2b7=16b4,所以b5=16,‎ 所以q2==4,又q>0,所以q=2,所以bn=b3qn-3=2n-1.‎ ‎(2)由(1)得Cn==2n-1,‎ 所以nCn=n·2n-n,‎ 设A=1×2+2×22+…+n×2n,‎ 所以2A=1×22+2×23+…+n×2n+1,‎ 两式相减得A=(n-1)2n+1+2,‎ 设B=1+2+…+n=,‎ 所以Tn=A-B=(n-1)2n+1+2-.‎ ‎10.(2018浙江“七彩阳光”联盟期初联考,22)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=,数列{bn}的前n项和为Sn,试求数列{S2n-Sn}的最小值;‎ ‎(3)在(2)的条件下,求证:当n≥2时,≥.‎ 解析　(1)由条件an+1=2an得=2·,又a1=2,所以=2,因此数列是首项为2,公比为2的等比数列,从而=2·2n-1=2n,‎ 因此an=n·2n.‎ ‎(2)由(1)得bn=,设cn=S2n-Sn,‎ 则cn=++…+,‎ 所以cn+1=++…+++,‎ 从而cn+1-cn=+->+-=0,即cn+1>cn,‎ 因此数列{cn}是单调递增的,所以(cn)min=c1=.‎ ‎(3)证明:当n≥2时,=(-)+(-)+…+(S4-S2)+(S2-S1)+S1=++…+c2+c1+S1,由(2)知≥≥…≥c2,又c1=,S1=1,c2=,所以≥(n-1)c2+c1+S1=(n-1)+ +1=.‎