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- 2021-06-16 发布
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学业分层测评
(建议用时:45 分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数”,
事件 B=“取到的 2 个数均为偶数”,则 P(B|A)=( )
A.1
8 B.1
4
C.2
5 D.1
2
【解析】 ∵P(A)=C22+C23
C25
= 4
10
,P(AB)=C22
C25
= 1
10
,
∴P(B|A)=PAB
PA
=1
4.
【答案】 B
2.下列说法正确的是( )
A.P(B|A)<P(AB) B.P(B|A)=PB
PA
是可能的
C.0<P(B|A)<1 D.P(A|A)=0
【解析】 由条件概率公式 P(B|A)=PAB
PA
及 0≤P(A)≤1 知 P(B|A)≥P(AB),
故 A 选项错误;当事件 A 包含事件 B 时,有 P(AB)=P(B),此时 P(B|A)=PB
PA
,
故 B 选项正确,由于 0≤P(B|A)≤1,P(A|A)=1,故 C,D 选项错误.故选
B.
【答案】 B
3.(2014·全国卷Ⅱ)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良
的概率是 0.75,连续两天为优良的概率是 0.6,已知某天的空气质量为优良,则
随后一天的空气质量为优良的概率是( )
A.0.8 B.0.75
C.0.6 D.0.45
【解析】 已知连续两天为优良的概率是 0.6,那么在前一天空气质量为优
良的前提下,要求随后一天的空气质量为优良的概率,可根据条件概率公式,得
P= 0.6
0.75
=0.8.
【答案】 A
4.(2016·泉州期末)从 1,2,3,4,5 中任取两个不同的数,事件 A 为“取到的两
个数之和为偶数”,事件 B 为“取到的两个数均为偶数”,则 P(B|A)等于( )
A.1
8 B.1
4
C.2
5 D.1
2
【解析】 法一:P(A)=C23+C22
C25
=2
5
,
P(AB)=C22
C25
= 1
10
,P(B|A)=PAB
PA
=1
4.
法二:事件 A 包含的基本事件数为 C23+C22=4,在 A 发生的条件下事件 B
包含的基本事件为 C22=1,因此 P(B|A)=1
4.
【答案】 B
5.抛掷两枚骰子,则在已知它们点数不同的情况下,至少有一枚出现 6 点
的概率是( )
A.1
3 B. 1
18
C.1
6 D.1
9
【解析】 设“至少有一枚出现 6 点”为事件 A,“两枚骰子的点数不同”
为事件 B,则 n(B)=6×5=30,n(AB)=10,
所以 P(A|B)=nAB
nB
=10
30
=1
3.
【答案】 A
二、填空题
6.已知 P(A)=0.2,P(B)=0.18,P(AB)=0.12,则 P(A|B)=________,P(B|A)
=________.
【解析】 P(A|B)=PAB
PB
=0.12
0.18
=2
3
;P(B|A)=PAB
PA
=0.12
0.2
=3
5.
【答案】 2
3
3
5
7.设 A,B 为两个事件,若事件 A 和 B 同时发生的概率为 3
10
,在事件 A 发
生的条件下,事件 B 发生的概率为1
2
,则事件 A 发生的概率为________. 【导学
号:97270038】
【解析】 由题意知,P(AB)= 3
10
,P(B|A)=1
2.
由 P(B|A)=PAB
PA
,得 P(A)=PAB
PB|A
=3
5.
【答案】 3
5
8.有五瓶墨水,其中红色一瓶,蓝色、黑色各两瓶,某同学从中随机任取
出两瓶,若取出的两瓶中有一瓶是蓝色,则另一瓶是红色或黑色的概率是
________.
【解析】 设事件 A 为“其中一瓶是蓝色”,事件 B 为“另一瓶是红色”,
事件 C 为“另一瓶是黑色”,事件 D 为“另一瓶是红色或黑色”,
则 D=B∪C,且 B 与 C 互斥,
又 P(A)=C12C13+C22
C25
= 7
10
,
P(AB)=C12·C11
C25
=1
5
,
P(AC)=C12C12
C25
=2
5
,
故 P(D|A)=P(B∪C|A)
=P(B|A)+P(C|A)
=PAB
PA
+PAC
PA
=6
7.
【答案】 6
7
三、解答题
9.甲、乙两个袋子中,各放有大小、形状和个数相同的小球若干.每个袋
子中标号为 0 的小球为 1 个,标号为 1 的 2 个,标号为 2 的 n 个.从一个袋子中
任取两个球,取到的标号都是 2 的概率是 1
10.
(1)求 n 的值;
(2)从甲袋中任取两个球,已知其中一个的标号是 1 的条件下,求另一个标
号也是 1 的概率.
【解】 (1)由题意得: C2n
C2n+3
= nn-1
n+3n+2
= 1
10
,解得 n=2.
(2)记“其中一个标号是 1”为事件 A,“另一个标号是 1”为事件 B,所以
P(B|A)=nAB
nA
= C22
C25-C23
=1
7.
10.任意向 x 轴上(0,1)这一区间内掷一个点,问:
(1)该点落在区间 0,1
3 内的概率是多少?
(2)在(1)的条件下,求该点落在
1
5
,1 内的概率.
【解】 由题意知,任意向(0,1)这一区间内掷一点,该点落在(0,1)内哪个位
置是等可能的,令 A= x|0<x<1
3 ,由几何概率的计算公式可知.
(1)P(A)=
1
3
1
=1
3.
(2)令 B= x|1
5 <x<1 ,则 AB= x|1
5
<x<1
3 ,
P(AB)=
1
3
-1
5
1
= 2
15.
故在 A 的条件下 B 发生的概率为
P(B|A)=PAB
PA
=
2
15
1
3
=2
5.
[能力提升]
1.一个家庭有两个小孩,假设生男生女是等可能的,已知这个家庭有一个
是女孩的条件下,这时另一个也是女孩的概率是( )
A.1
4 B.2
3 C.1
2 D.1
3
【解析】 一个家庭中有两个小孩只有 4 种可能:(男,男),(男,女),(女,
男),(女,女).
记事件 A 为“其中一个是女孩”,事件 B 为“另一个是女孩”,则 A={(男,
女),(女,男),(女,女)},B={(男,女),(女,男),(女,女)},AB={(女,女)}.
于是可知 P(A)=3
4
,P(AB)=1
4.问题是求在事件 A 发生的情况下,事件 B 发生
的概率,即求 P(B|A),由条件概率公式,得 P(B|A)=
1
4
3
4
=1
3.
【答案】 D
2.(2016·开封高二检测)将 3 颗骰子各掷一次,记事件 A 表示“三个点数都
不相同”,事件 B 表示“至少出现一个 3 点”,则概率 P(A|B)等于( )
A. 91
216 B. 5
18 C.60
91 D.1
2
【解析】 事件 B 发生的基本事件个数是 n(B)=6×6×6-5×5×5=91,
事件 A,B 同时发生的基本事件个数为 n(AB)=3×5×4=60.
所以 P(A|B)=nAB
nB
=60
91.
【答案】 C
3.袋中有 6 个黄色的乒乓球,4 个白色的乒乓球,做不放回抽样,每次抽
取一球,取两次,则第二次才能取到黄球的概率为________.
【解析】 记“第一次取到白球”为事件 A,“第二次取到黄球”为事件 B,
“第二次才取到黄球”为事件 C,所以 P(C)=P(AB)=P(A)P(B|A)= 4
10
×6
9
= 4
15.
【答案】 4
15
4.如图 221,三行三列的方阵有 9 个数 aij(i=1,2,3,j=1,2,3),从中任取
三个数,已知取到 a22 的条件下,求至少有两个数位于同行或同列的概率.
(a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33)
图 221
【解】 事件 A={任取的三个数中有 a22},事件 B={三个数至少有两个数
位于同行或同列},
则 B ={三个数互不同行且不同列},依题意得 n(A)=C28=28,n(A B )=2,
故 P( B |A)=nA B
nA
= 2
28
= 1
14
,则
P(B|A)=1-P( B |A)=1- 1
14
=13
14.即已知取到 a22 的条件下,至少有两个数位
于同行或同列的概率为13
14
.
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