高中数学人教a版选修4-1学业分层测评8圆的切线的性质及判定定理word版含解析 9页

学业分层测评(八) (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．AB 是⊙O 的切线，在下列给出的条件中，能判定 AB⊥CD 的是( ) A．AB 与⊙O 相切于直线 CD 上的点 C B．CD 经过圆心 O C．CD 是直径 D．AB 与⊙O 相切于 C，CD 过圆心 O 【解析】 圆的切线垂直于过切点的半径或直径． 【答案】 D 2．已知⊙O 的直径 AB 与弦 AC 的夹角为 30°，过 C 点的切线 PC 与 AB 的 延长线交于 P，PC＝5，则⊙O 的半径是( ) A.5 3 3 B.5 3 6 C．10 D．5 【解析】 如图，连接 OC， ∠PAC＝30°， 由圆周角定理知， ∠POC＝2∠PAC＝60°， 由切线性质知∠OCP＝90°. ∴在 Rt△OCP 中，tan∠POC＝PC OC. ∴OC＝ PC tan∠POC ＝ 5 tan 60° ＝5 3 3 . 【答案】 A 3．如图 2313，CD 切⊙O 于 B，CO 的延长线交⊙O 于 A，若∠C＝36°， 则∠ABD 的度数是( ) 图 2313 A．72° B．63° C．54° D．36° 【解析】 连接 O B. ∵CD 为⊙O 的切线，∴∠OBC＝90°. ∵∠C＝36°，∴∠BOC＝54°. 又∵∠BOC＝2∠A，∴∠A＝27°， ∴∠ABD＝∠A＋∠C＝27°＋36°＝63°. 【答案】 B 4.如图 2314 所示，⊙O 是正△ABC 的内切圆，切点分别为 E，F，G，点 P 是弧 EG 上的任意一点，则∠EPF＝( ) 图 2314 A．120° B．90° C．60° D．30° 【解析】 如图所示，连接 OE，OF. ∵OE⊥AB，OF⊥BC，∴∠BEO＝∠BFO＝90°， ∴∠EOF＋∠ABC＝180°， ∴∠EOF＝120°，∴∠EPF＝1 2 ∠EOF＝60°. 【答案】 C 5．如图 2315 所示，AC 切⊙O 于 D，AO 的延长线交⊙O 于 B，且 AB⊥ BC，若 AD∶AC＝1∶2，则 AO∶OB＝( ) 图 2315 A．2∶1 B．1∶1 C．1∶2 D．1∶1.5 【解析】 如图所示，连接 OD，OC，则 OD⊥AC. ∵AB⊥BC，∴∠ODC＝∠OBC＝90°. ∵OB＝OD，OC＝OC， ∴△CDO≌△CBO，∴BC＝DC. ∵AD AC ＝1 2 ，∴AD＝DC， ∴BC＝1 2AC. 又 OB⊥BC，∴∠A＝30°， ∴OB＝OD＝1 2AO，∴AO OB ＝2 1. 【答案】 A 二、填空题 6.如图 2316，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，⊙O 分别 与边 AB，AC 相切，切点分别为 E，C.则⊙O 的半径是________． 图 2316 【解析】 连接 OE，设 OE＝r， ∵OC＝OE＝r，BC＝12， 则 BO＝12－r，AB＝ 122＋52＝13， 由△BEO∽△BCA，得BO AB ＝OE AC ， 即12－r 13 ＝r 5 ，解得 r＝10 3 . 【答案】 10 3 7．如图 2317，在半径分别为 5 cm 和 3 cm 的两个同心圆中，大圆的弦 AB 与小圆相切于点 C，则弦 AB 的长为______cm. 图 2317 【解析】 连接 OA，OC， ∵AB 是小圆的切线， ∴OC⊥AB，∴AC＝1 2A B. ∵在 Rt△AOC 中， AC＝ 52－32＝4(cm)， ∴AB＝8 cm. 【答案】 8 8．如图 2318 所示，圆 O 的半径为 1，A，B，C 是圆周上的三点，满足∠ ABC＝30°，过点 A 作圆 O 的切线与 OC 的延长线交于点 P，则 PA＝________. 图 2318 【解析】 连接 OA.∵AP 为⊙O 的切线， ∴OA⊥AP. 又∠ABC＝30°，∴∠AOC＝60°. ∴在 Rt△AOP 中，OA＝1，PA＝OA·tan 60°＝ 3. 【答案】 3 三、解答题 9.如图 2319，已知 D 是△ABC 的边 AC 上的一点，AD∶DC＝2∶1，∠C ＝45°，∠ADB＝60°，求证：AB 是△BCD 的外接圆的切线. 【导学号：07370040】 图 2319 【证明】 如图，连接 OB，OC，OD，设 OD 交 BC 于 E. 因为∠DCB 是 所对的圆周角， ∠BOD 是 所对的圆心角， ∠BCD＝45°， 所以∠BOD＝90°. 因为∠ADB 是△BCD 的一个外角， 所以∠DBC＝∠ADB－∠ACB＝60°－45°＝15°， 所以∠DOC＝2∠DBC＝30°， 从而∠BOC＝120°. 因为 OB＝OC，所以∠OBC＝∠OCB＝30°. 在△OEC 中， 因为∠EOC＝∠ECO＝30°， 所以 OE＝EC. 在△BOE 中，因为∠BOE＝90°，∠EBO＝30°，所以 BE＝2OE＝2EC， 所以CE BE ＝CD DA ＝1 2 ， 所以 AB∥OD，所以∠ABO＝90°， 故 AB 是△BCD 的外接圆的切线． 10．如图 2320，AB 是⊙O 的直径，点 P 在 BA 的延长线上，弦 CD⊥AB 于 E，∠POC＝∠PCE. 图 2320 (1)求证：PC 是⊙O 的切线； (2)若 OE∶EA＝1∶2，PA＝6，求⊙O 半径． 【解】 (1)证明：在△OCP 与△CEP 中， ∵∠POC＝∠PCE，∠OPC＝∠CPE， ∴∠OCP＝∠CEP. ∵CD⊥AB，∴∠CEP＝90°， ∴∠OCP＝90°. 又∵C 点在圆上，∴PC 是⊙O 的切线． (2)法一：设 OE＝x，则 EA＝2x，OC＝OA＝3x. ∵∠COE＝∠AOC，∠OEC＝∠OCP＝90°， ∴△OCE∽△OPC， ∴OC OE ＝OP OC ， 即(3x)2＝x(3x＋6)，∴x＝1， ∴OA＝3x＝3，即圆的半径为 3. 法二：由(1)知 PC 是⊙O 的切线， ∴∠OCP＝90°. 又∵CD⊥OP，由射影定理知 OC2＝OE·OP，以下同法一． [能力提升] 1．如图 2321，在⊙O 中，AB 为直径，AD 为弦，过 B 点的切线与 AD 的 延长线交于 C，若 AD＝DC，则 sin∠ACO 等于( ) 图 2321 A. 10 10 B. 2 10 C. 5 5 D. 2 4 【解析】 连接 BD，则 BD⊥AC. ∵AD＝DC，∴BA＝BC， ∴∠BCA＝45°. ∵BC 是⊙O 的切线，切点为 B， ∴∠OBC＝90°. ∴sin∠BCO＝OB OC ＝ OB 5OB ＝ 5 5 ， cos ∠BCO＝BC OC ＝ 2OB 5OB ＝2 5 5 . ∴sin∠ACO＝sin(45°－∠BCO) ＝sin45°cos ∠BCO－cos 45°sin ∠BCO ＝ 2 2 ×2 5 5 － 2 2 × 5 5 ＝ 10 10 . 【答案】 A 2．如图 2322 所示，已知 PA 是圆 O 的切线，切点为 A，PA＝2，AC 是圆 O 的直径，PC 与圆 O 交于 B 点，PB＝1，则圆 O 的半径 R＝__________. 图 2322 【解析】 AB＝ AP2－PB2＝ 3. 由 AB2＝PB·BC， ∴BC＝3，Rt△ABC 中， AC＝ AB2＋BC2＝2 3， ∴R＝ 3. 【答案】 3 3．圆 O 的直径 AB＝6，C 为圆周上一点，BC＝3，过 C 作圆的切线 l，过 A 作 l 的垂线 AD，AD 分别与直线 l，圆交于点 D，E，则∠DAC＝__________， DC＝__________. 【解析】 连接 OC， ∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC. 又∠DCA＋∠ACO＝90°， ∠ACO＋∠OCB＝90°， ∴∠DCA＝∠OCB. ∵OC＝3，BC＝3， ∴△OCB 是正三角形， ∴∠OBC＝60°，即∠DCA＝60°， ∴∠DAC＝30°. 在 Rt△ACB 中，AC＝ AB2－BC2＝3 3， DC＝ACsin 30°＝3 2 3. 【答案】 30° 3 3 2 4．如图 2323，AD 是⊙O 的直径，BC 切⊙O 于点 D，AB，AC 与圆分别 相交于点 E，F. 【导学号：07370041】 图 2323 (1)AE·AB 与 AF·AC 有何关系？请给予证明； (2)在图中，如果把直线 BC 向上或向下平移，得到图 2324(1)或图(2)，在 此条件下，(1)题的结论是否仍成立？为什么？ 图 2324 【解】 (1)AE·AB＝AF·AC. 证明：连接 DE. ∵AD 为⊙O 的直径，∴∠DEA＝90°. 又∵BC 与⊙O 相切于点 D， ∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°，∴∠ADB＝∠DEA. 又∵∠BAD＝∠DAE，∴△BAD∽△DAE， ∴AB AD ＝AD AE ，即 AD2＝AB·AE. 同理 AD2＝AF·AC，∴AE·AB＝AF·AC. (2)(1)中的结论仍成立． 因为 BC 在平移时始终与 AD 垂直，设垂足为 D′， 则∠AD′B＝90°. ∵AD 为圆的直径， ∴∠AED＝∠AD′B＝90°. 又∵∠DAE＝∠BAD′，∴△ABD′∽△ADE， ∴AB AD ＝AD′ AE ，∴AB·AE＝AD·AD′. 同理 AF·AC＝AD·AD′，故 AE·AB＝AF·AC.