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- 2021-06-16 发布
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模块综合测评(一)
(时间 120分钟,满分 150分)
一、选择题(本大题共 12小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个
选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若 a<1,b>1,那么下列命题中正确的是( )
A.1
a
>1
b
B.b
a
>1
C.a20,dS4>0 B.a1d<0,dS4<0
C.a1d>0,dS4<0 D.a1d<0,dS4>0
【解析】 ∵a3,a4,a8成等比数列,∴a24=a3a8,∴(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+
7d),展开整理,得-3a1d=5d2,即 a1d=-
5
3
d2.∵d≠0,∴a1d<0.∵Sn=na1+
nn-1
2
d,∴S4=4a1+6d,dS4=4a1d+6d2=-
2
3
d2<0.
【答案】 B
9.在数列{an}中,a1=2,an+1-2an=0(n∈N*),bn是 an和 an+1的等差中项,
设 Sn为数列{bn}的前 n项和,则 S6=( )
A.189 B.186 C.180 D.192
【解析】 由 an+1=2an,知{an}为等比数列,
∴an=2n.
∴2bn=2n+2n+1,
即 bn=3·2n-1,
∴S6=3·1+3·2+…+3·25=189.
【答案】 A
10.已知 a,b,c∈R,a+b+c=0,abc>0,T=1
a
+
1
b
+
1
c
,则( )
A.T>0 B.T<0 C.T=0 D.T≥0
【解析】 法一 取特殊值,a=2,b=c=-1,
则 T=-
3
2
<0,排除 A,C,D,可知选 B.
法二 由 a+b+c=0,abc>0,知三数中一正两负,
不妨设 a>0,b<0,c<0,
则 T=1
a
+
1
b
+
1
c
=
ab+bc+ca
abc
=
ab+cb+a
abc
=
ab-c2
abc
.
∵ab<0,-c2<0,abc>0,故 T<0,应选 B.
【答案】 B
11.△ABC的内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,若 B=2A,a=1,b=
3,则 c=( )
A.2 3 B.2 C. 2 D.1
【解析】 由正弦定理得:
a
sin A
=
b
sin B
,
∵B=2A,a=1,b= 3,
∴
1
sin A
=
3
2sin Acos A
.
∵A为三角形的内角,∴sin A≠0.
∴cos A= 3
2
.
又 0<A<π,∴A=π
6
,∴B=2A=π
3
.
∴C=π-A-B=π
2
,∴△ABC为直角三角形.
由勾股定理得 c= 12+ 32=2.
【答案】 B
12.一个等比数列前三项的积为 2,最后三项的积为 4,且所有项的积为 64,
则该数列有( )
A.13项 B.12项 C.11项 D.10项
【解析】 设该数列的前三项分别为 a1,a1q,a1q2,后三项分别为 a1qn-3,a1qn
-2,a1qn-1.所以前三项之积 a31q3=2,后三项之积 a31q3n-6=4,两式相乘,得 a61q3(n-
1)=8,即 a21qn-1=2.又 a1·a1q·a1q2·…·a1qn-1=64,所以 an1·q
nn-1
2 =64,即(a21qn-1)n
=642,即 2n=642,所以 n=12.
【答案】 B
二、填空题(本大题共 4小题,每小题 5分,共 20分,将答案填在题中的横线
上)
13.在△ABC中,BC=2,B=π
3
,当△ABC的面积等于
3
2
时,sin C=________.
【导学号:05920086】
【解析】 由三角形的面积公式,得 S=1
2
AB·BCsin π
3
=
3
2
,易求得 AB=1,
由余弦定理,得 AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos π
3
,得 AC= 3,再由三角形的面积
公式,得 S=1
2
AC·BCsin C= 3
2
,即可得出 sin C=1
2
.
【答案】
1
2
14.(2015·湖北高考)若变量 x,y满足约束条件
x+y≤4,
x-y≤2,
3x-y≥0,
则 3x+y的最
大值是________.
【解析】 画出可行域,如图阴影部分所示,设 z=3x+y,则 y=-3x+z,
平移直线 y=-3x知当直线 y=-3x+z过点 A时,z取得最大值.
由
x+y=4,
x-y=2,
可得 A(3,1).故 zmax=3×3+1=10.
【答案】 10
15.国家为了加强对烟酒生产的宏观管理,实行征收附加税政策.现知某种
酒每瓶 70元,不加附加税时,每年大约产销 100万瓶,若政府征收附加税,每销
售 100元要征税 k元(叫做税率 k%),则每年的产销量将减少 10k万瓶.要使每年
在此项经营中所收取附加税金不少于 112万元,则 k的取值范围为________.
【解析】 设产销量为每年 x万瓶,则销售收入每年 70x万元,从中征收的税
金为 70x·k%万元,其中 x=100-10k.由题意,得 70(100-10k)k%≥112,整理得
k2-10k+16≤0,解得 2≤k≤8.
【答案】 [2,8]
16.观察下列等式:
12=1,
12-22=-3,
12-22+32=6,
12-22+32-42=-10,
…
照此规律,第 n个等式可为 12-22+32-…+(-1)n-1n2=________.
【解析】 分 n为奇数、偶数两种情况.
第 n个等式为 12-22+32-…+(-1)n-1n2.
当 n为偶数时,分组求和:(12-22)+(32-42)+…+[(n-1)2-n2]=-(3+7+
11+15+…+2n-1)=-
n
2
×3+2n-1
2
=-
nn+1
2
.
当 n为奇数时,第 n个等式为(12-22)+(32-42)+…+[(n-2)2-(n-1)2]+n2
=-
nn-1
2
+n2=nn+1
2
.
综上,第 n个等式为
12-22+32-…+(-1)n-1n2
=(-1)n+1nn+1
2
.
【答案】 (-1)n+1nn+1
2
三、解答题(本大题共 6小题,共 70分.解答应写出文字说明,证明过程或演
算步骤)
17.(本小题满分 10分)在△ABC中,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若
m=(a2+c2-b2,- 3a),n=(tan B,c),且 m⊥n,求∠B的值.
【解】 由 m⊥n 得
(a2+c2-b2)·tan B- 3a·c=0,
即(a2+c2-b2)tan B= 3ac,得 a2+c2-b2= 3ac
tan B
,
所以 cos B=a2+c2-b2
2ac
=
3
2tan B
,
即 tan Bcos B= 3
2
,即 sin B= 3
2
,
所以∠B=π
3
或∠B=2π
3
.
18.(本小题满分 12分)在等差数列{an}中,S9=-36,S13=-104,在等比数
列{bn}中,b5=a5,b7=a7, 求 b6. 【导学号:05920087】
【解】 ∵S9=-36=9a5,∴a5=-4,
∵S13=-104=13a7,∴a7=-8.
∴b26=b5·b7=a5 ·a7=32.
∴b6=±4 2.
19.(本小题满分 12分)解关于 x的不等式 ax2-2≥2x-ax(a∈R). 【导学号:
05920088】
【解】 原不等式可化为
ax2+(a-2)x-2≥0⇒(ax-2)(x+1)≥0.
(1)当 a=0时,原不等式化为 x+1≤0⇒x≤-1;
(2)当 a>0时,原不等式化为
x-2
a (x+1)≥0⇒x≥2
a
或 x≤-1;
(3)当 a<0时,原不等式化为
x-2
a (x+1)≤0.
①当
2
a
>-1,即 a<-2时,原不等式等价于-1≤x≤2
a
;
②当
2
a
=-1,即 a=-2时,原不等式等价于 x=-1;
③当
2
a
<-1,即-20时,原不等式的解集为(-∞,-1]∪
2
a
,+∞
.
20.(本小题满分 12分)设△ABC的内角 A,B,C所对应的边分别为 a,b,c,
已知 a=1,b=2,cos C=1
4
.
(1)求△ABC的周长;
(2)求 cos A的值.
【解】 (1)∵c2=a2+b2-2abcos C=1+4-4×1
4
=4.
∴c=2.∴△ABC的周长为 a+b+c=1+2+2=5.
(2)∵cos C=1
4
,∴sin C= 1-cos2C= 1-
1
4 2=
15
4
.
∴sin A=asin C
c
=
15
4
2
=
15
8
.
∵a
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