开卷教育联盟全国2020届高三模拟考试（三）数学（理）试题 Word版含解析 24页

www.ks5u.com 开卷教育联盟2020届全国高三模拟考试（三）‎ 数学（理科）‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题黑处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.是虚数单位，则复数的共轭复数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的除法运算化简，由此求得共轭复数.‎ ‎【详解】依题意，所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题.‎ ‎2.设为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是（ ）‎ A. 若，且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线线、线面、面面位置关系对选项逐一分析，由此确定正确选项.‎ ‎【详解】对于A选项，若，且，此时和可能平行，所以A选项错误.‎ 对于B选项，若，此时可能异面，所以B选项错误.‎ 对于C选项，若，此时和可能相交，所以C选项错误.‎ 对于D选项，若，则为真命题，所以D选项正确.‎ 故选：D - 24 -‎ ‎【点睛】本小题主要考查空间线线、线面和面面位置关系有关命题真假性的判断，属于基础题.‎ ‎3.为了调查某学校学生课外经典诵读情况，从高一年级中随机抽取学生50名，获得他们某一天各自课外诵读时间数据的条形统计图.则该校50名学生这一天平均每人的课外诵读时间（ ）‎ A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用平均数的计算方法，计算出平均数.‎ ‎【详解】依题意，平均时间为 小时.‎ 故选：B ‎【点睛】本小题主要考查根据条形图计算平均数，属于基础题.‎ ‎4.我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤,中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤？”（ ）‎ A. 6斤 B. 7斤 C. 8斤 D. 9斤 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 将原问题转化为等差数列的问题，然后利用等差数列的性质求解即可.‎ ‎【详解】原问题等价于等差数列中，已知，求的值.‎ - 24 -‎ 由等差数列的性质可知：，‎ 则，即中间三尺共重斤.‎ 本题选择D选项.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的实际应用，等差数列的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎5.函数的图象大致为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的奇偶性和特殊点选出正确选项.‎ ‎【详解】令，则的定义域为，且，所以为奇函数，图像关于原点对称，由此排除BC选项.‎ ‎，由此排除D选项.‎ 所以正确的选项为A.‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性，属于基础题.‎ - 24 -‎ ‎6.一艘向正南航行的渔船，看见正东方向相距7海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航.行15分钟后，看见一灯塔在船的北偏东方向，另一灯塔在船的北偏东75°方向,则该渔船的速度是每小时（ ）‎ A. 7海里 B. 海里 C. 14海里 D. 海里 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出图像，根据特殊角的三角函数值以及等腰三角形，求得渔船的速度.‎ ‎【详解】设渔船的速度为每小时海里.画出图像如下图所示，依题意可知，所以 ‎，所以.由于，即，所以.‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查解三角形的实际应用，属于基础题.‎ ‎7.已知直线，且满足条件，则直线与圆的位置关系为（ ）‎ A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 以上均不对 ‎【答案】A ‎【解析】‎ - 24 -‎ ‎【分析】‎ 利用圆心到直线的距离列式，结合已知条件判断出正确结论.‎ ‎【详解】圆的圆心为，半径为.圆心到直线的距离为，由于，所以，所以，所以直线和圆相交.‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系的判断，属于基础题.‎ ‎8.为了节省材料，某市下水道井盖的形状如图1所示，其外围是由以正三角形的顶点为圆心，正三角形的边长为半径的三段圆弧组成的曲边三角形，这个曲边三角形称作“菜洛三角形”.现有一颗质量均匀的弹珠落在如图2所示的莱洛三角形内，则弹珠恰好落在三角形内的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用扇形面积公式与三角形面积公式求出莱洛三角形的面积以及三角形的面积，由几何概型概率公式可得结果.‎ ‎【详解】弹珠落在莱洛三角形内的每一个位置是等可能的，由几何概型的概率计算公式可知所求概率 - 24 -‎ 为莱洛三角形的面积），故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.‎ ‎9.定义行列式运算：.要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）‎ A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据新定义运算求得的解析式并进行化简，然后根据三角函数图象变换的知识判断出正确选项.‎ ‎【详解】依题意，故只需将函数的图象向右平移个单位.‎ 故选：A ‎【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，考查辅助角公式，属于基础题.‎ ‎10.已知满足约束条件，若目标函数的最大值为1（其中），则的最小值为（ ）‎ A. 3 B. 1 C. 2 D. ‎ - 24 -‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出可行域，根据目标函数的最大值求得的关系式，再利用基本不等式求得的最小值.‎ ‎【详解】画出可行域如下图所示，由于，所以基准直线的斜率为负数，故目标函数在点处取得最大值，即，所以.‎ ‎，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.‎ 故选：D ‎【点睛】本小题主要考查根据目标函数的最值求参数，考查基本不等式求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎11.已知双曲线的左、右焦点分别为，过且垂直于轴的直线交双曲线于两点，若为以为直径的圆外一点，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ - 24 -‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件求得的坐标，利用列不等式，化简后求得离心率的取值范围.‎ ‎【详解】依题意：，则，由于为以为直径的圆外一点，所以，即，，，‎ ‎，两边除以得，即，令，则，解得，即，所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的取值范围的求法，考查点和圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎12.给出下列五个命题，其中正确命题的个数为（ ）‎ ‎①命题“，使得”的否定是“，均有”；‎ ‎②若正整数和满足，则；‎ ‎③在中 ，是的充要条件；‎ ‎④一条光线经过点，射在直线上，反射后穿过点，则入射光线所在直线的方程为；‎ ‎⑤已知的三个零点分别为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则为定值.‎ - 24 -‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①根据特称命题否定的知识来判断；②根据基本不等式的知识来判断；③根据充要条件的知识来判断；④求得入射光线来判断；⑤利用抛物线的离心率判断.‎ ‎【详解】①，命题“，使得”的否定是“，均有”，故①错误.‎ ‎②，由于正整数和满足，，由基本不等式得，当即时等号成立，故②正确.‎ ‎③，在中，由正弦定理得，即，所以是的充要条件，故③正确.‎ ‎④，设关于直线的对称点为，则线段中点为，则，解得，所以.所以入射光线为直线，即，化简得.故④正确.‎ ‎⑤，由于抛物线的离心率是，所以，即，所以为定值，所以⑤正确.‎ 故选：C ‎【点睛】本小题主要考查特称命题的否定，考查基本不等式，考查充要条件，考查直线方程，考查椭圆、双曲线、抛物线的离心率，属于中档题.‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.阅读如图所示的程序框图，输出的值为_________.‎ - 24 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据循环结构程序框图，计算出输出的的值.‎ ‎【详解】运行程序，，判断是，，判断是，，，判断是，，判断是，，判断是，，判断是，，判断是，，判断是，判断是，，判断是，，判断是，，判断否，输出.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据循环结构程序框图计算输出结果，属于基础题.‎ - 24 -‎ ‎14.若，则二项式的展开式中含项的系数是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据定积分计算出的值，然后根据二项式展开式的通项公式，计算出含项的系数.‎ ‎【详解】，所以二项式，其展开式的通项公式为，令，则，所以含项的系数是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查定积分的计算，考查二项式展开式中指定项系数的求法，属于基础题.‎ ‎15.某空间几何体的三视图如图所示（单位：），那么该几何体的表面积是_________.‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ - 24 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图判断出原图为四棱锥和四棱柱，由此计算出几何体的表面积.‎ ‎【详解】由三视图可知，几何体由四棱锥和四棱柱组合而成.四棱锥侧面的高为，所以几何体的表面积为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据三视图还原原图，考查几何体表面积的计算，属于基础题.‎ ‎16.定义在上的函数，如果满足对常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中成为函数的上界.若已知函数在上是以为上界的有界函数，则实数的取值范围为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用换元法，令，将表示为二次函数的形式，根据其对称轴和区间的位置关系进行分类讨论，结合函数的值域在区间内，求得的取值范围.‎ ‎【详解】令，则，对称轴为.‎ ‎①当或，即或时，，故或；‎ ‎②当时，.‎ 综上.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用二次函数的性质求最值，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ - 24 -‎ 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）‎ ‎17.的三个内角所对的边分别是，向量，且.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求的最小值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析 （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据向量垂直的坐标表示列方程，由此求得的值，进而求得的大小，利用余弦定理，结合基本不等式证得.‎ ‎（2）由（1）求得的大小，得到的关系式，利用同角三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、辅助角公式化简，根据三角函数的最值的求法，求得的最小值.‎ ‎【详解】（1）证明：，‎ 又，‎ 即解得或 又 由余弦定理的推论，即 又,当且仅当a=b,等号成立 ‎（2）‎ - 24 -‎ 由题意，则 当，即时，有最小值.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用余弦定理解三角形，考查三角函数最值的求法，考查三角恒等变换，考查向量垂直的坐标表示，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎18.在2019年女排世界杯中，中国女排与巴西女排对垒中采用“五局三胜”制，即哪个队先胜三场即获得胜利.根据以往比赛数据统计，中国女排每局获胜概率为，巴西女排每局获胜概率为.‎ ‎（1）中国女排战胜巴西女排的概率；‎ ‎（2）比赛中中国女排第一局获胜，在该条件下求比赛总局数的分布列及.‎ ‎【答案】（1）（2）分布列见解析；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据中国女排取胜的情况进行分类讨论，根据相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.‎ ‎（2）先判断出的所有可能取值，然后根据相互独立事件概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望.‎ ‎【详解】（1）中国女排取胜的情况有三种：‎ ‎①中国女排连胜3局；‎ ‎②中国女排前3局赢两局，且第4局贏；‎ ‎③中国女排前4局赢两局，且第5局贏.‎ 故中国女排取胜的概率为 ‎（2）依题意比赛总局数为3，4，5.‎ - 24 -‎ 则 的分布列为 ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查随机变量分布列和数学期望的求法，属于中档题.‎ ‎19.如图，三棱柱中，侧面底面，是边长为2的正三角形，已知点满足.‎ ‎（1）求二面角的大小；‎ ‎（2）求异面直线与的距离；‎ ‎（3）直线上是否存在点，使平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）存在点，其坐标为，即恰好为点 - 24 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）建立空间直角坐标系，利用平面的法向量和平面的法向量，计算出二面角的余弦值，由此求得其大小.‎ ‎（2）求得异面直线与的公垂线的方向向量，并由此计算出异面直线与的距离.‎ ‎（3）根据求得点的坐标，设出点的坐标，根据、与平面的法向量垂直列方程组，解方程组求得点的坐标，由此判断出存在点符合题意.‎ ‎【详解】（1）侧面底面，又均为正三角形，取得中点，连接，，‎ 则底面，‎ 故以为坐标原点，分别以为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系，‎ 则 设平面的法向量为 取，可得 又平面的一个法向量为 由图知二面角为锐角，故二面角的大小为.‎ - 24 -‎ ‎（2）异面直线与的公垂线的方向向量，则 易得，异面直线与的距离 ‎（3），而 又，点的坐标为 假设存在点符合题意，则点的坐标可设为 平面为平面的一个法向量，‎ 由，得.‎ 又平面，‎ 故存在点，使平面，其坐标为，即恰好为点.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用空间向量法计算二面角、异面直线公垂线段的长，考查利用空间向量法研究线面平行的条件，考查数形结合的数学思想方法，考查空间想象能力，属于中档题.‎ ‎20.已知为圆上的动点，点在圆的半径上运动，点在 - 24 -‎ 上，且满足，其中.‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）设不过原点的直线与点的轨迹交于两点，且点关于恒过定点的直线对称.求面积的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据椭圆的定义判断出点的轨迹是以点为焦点，求得的值，进而求得点的轨迹方程.‎ ‎（2）设出直线的方程为、直线的方程为，联立直线的方程和点的轨迹方程，消去化简并令其判别式大于零.将线段中点代入直线的方程，求得的关系式，并由此求得的取值范围.求得弦长的表达式，求得点到直线的距离，由此求得三角形面积的表达式，利用二次函数的性质求得三角形面积的取值范围.‎ ‎【详解】（1）由题意是线段的垂直平分线，‎ 点的轨迹是以点为焦点，焦距为2，长轴长为的椭圆，‎ ‎，故点的轨迹方程是 ‎（2）设直线的方程为，由题意知，则直线的方程为.‎ 联立消去，得 - 24 -‎ ‎①‎ 将线段的中点坐标代入，得②‎ 由①②得或，‎ 令，则.转化为，也即.转化为.则，且到直线的距离为.‎ 设的面积为，‎ 当且仅当时，等号成立，此时满足 故面积的取值范围为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用椭圆的定义求动点轨迹方程，考查椭圆中三角形面积的取值范围的计算，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）求函数的单调区间；‎ ‎（3）当时，证明：在上恒成立.‎ ‎【答案】（1） （2）见解析（3）证明见解析 ‎【解析】‎ - 24 -‎ 分析】‎ ‎（1）利用列方程，由此求得的值，进而根据切点和切线的斜率，求得曲线在点处的切线方程 ‎（2）求得的导函数和定义域，对分成和两种情况，讨论的单调区间.‎ ‎（3）当时，构造函数，利用导数证得，由此证得在上恒成立.‎ ‎【详解】（1），由，得 ‎，即切线方程为 ‎（2）‎ 当时，增区间为；‎ 当时，令得，得 增区间为，减区间为 ‎（3）令 则 令，则 函数在上单调递增，且存在唯一零点，使得 且时，；时，‎ 即时，；时 函数在上单调递减，在上单调递增 ‎，而，即 两边取对数得 - 24 -‎ ‎，故在上恒成立.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ ‎22.以平面直角坐标系的原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆的极坐标方程为.‎ ‎（1）求圆的直角坐标方程与参数方程；‎ ‎（2）若直线参数方程为（为参数），求圆上的点到直线的距离的取值范围.‎ ‎【答案】（1），（为参数）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据极坐标和直角坐标转换公式，求得圆的直角坐标方程，并求得其参数方程.‎ ‎（2）求得直线的普通方程，利用圆心到直线的距离，求得圆上的点到直线的距离的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 易得，圆的普通方程为，其中圆心为，半径 其参数方程为（为参数）‎ - 24 -‎ ‎（2）由直线的参数方程为（为参数）得 ‎，即 圆心到直线的距离为 圆上的点到直线的最大距离为，最小距离为0‎ 故圆上的点到直线距离的取值范围为 ‎【点睛】本小题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查圆的参数方程，考查直线和圆的位置关系，属于中档题.‎ ‎【选修4-5：不等式选讲】‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若对于，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集.‎ ‎（2）将不等式恒成立，转化为，利用绝对值不等式的解法，求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）当时，‎ 由，解得即不等式的解集为 ‎（2）‎ 恒成立，即或 - 24 -‎ 解得.‎ 故实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查根据不等式恒成立求参数的取值范围，属于中档题.‎ - 24 -‎ - 24 -‎