【数学】2021届一轮复习北师大版（理）7函数性质的综合问题作业 8页

函数性质的综合问题 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．设f(x)是定义在R上周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x2－x，则f＝(　　)‎ A．－　　 B．－　　 　‎ C．　　 D． C　[因为f(x)是定义在R上周期为2的奇函数，所以f＝－f＝－f.又当0≤x≤1时，f(x)＝x2－x，所以f＝2－＝－，则f＝.]‎ ‎2．下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是(　　)‎ A．y＝ex＋e－x B．y＝ln(|x|＋1)‎ C．y＝ D．y＝x－ D　[选项A、B显然是偶函数，排除；选项C是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调递增函数，不符合题意； 选项D中，y＝x－是奇函数，且y＝x和y＝－在(0，＋∞)上均为增函数，故y＝x－在(0，＋∞)上为增函数，所以选项D正确．]‎ ‎3．已知定义在R上的奇函数f(x)有f＋f(x)＝0，当－≤x≤0时，f(x)＝2x＋a，则f(16)的值为(　　)‎ A． B．－ ‎ C． D．－ A　[由f＋f(x)＝0，得f(x)＝－f＝f(x＋5)，‎ ‎∴f(x)是以5为周期的周期函数，‎ ‎∴f(16)＝f(1＋3×5)＝f(1)．‎ ‎∵f(x)是R上的奇函数，‎ ‎∴f(0)＝1＋a＝0，∴a＝－1.‎ ‎∴当－≤x≤0时，f(x)＝2x－1，‎ ‎∴f(－1)＝2－1－1＝－，‎ ‎∴f(1)＝，∴f(16)＝.]‎ ‎4．定义在R上的奇函数f(x)满足f＝f(x)，当x∈时，f(x)＝log(1－x)，则f(x)在区间内是(　　)‎ A．减函数且f(x)＞0 B．减函数且f(x)＜0‎ C．增函数且f(x)＞0 D．增函数且f(x)＜0‎ D　[当x∈时，由f(x)＝log(1－x)可知，f(x)单调递增且f(x)＞0，又函数f(x)为奇函数，所以f(x)在区间上也单调递增，且f(x)＜0.由f＝f(x)知，函数的周期为，所以在区间上，函数f(x)单调递增且f(x)＜0.]‎ ‎5．(2019·合肥调研)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,1]上是减函数，则有(　　)‎ A．f＜f＜f B．f＜f＜f C．f＜f＜f D．f＜f＜f C　[因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数的周期为4，作出f(x)的草图，如图，由图可知f＜f＜f.‎ ‎]‎ 二、填空题 ‎6．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.‎ ‎6　[∵f(x＋4)＝f(x－2)，‎ ‎∴f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)的周期为6，‎ ‎∵919＝153×6＋1，∴f(919)＝f(1)．‎ 又f(x)为偶函数，∴f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6.]‎ ‎7．定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)．现有以下三个命题：‎ ‎①8是函数f(x)的一个周期；②f(x)的图像关于直线x＝2对称；③f(x)是偶函数．‎ 其中正确命题的序号是________．‎ ‎①②③　[∵f(x)＋f(x＋2)＝0，∴f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为4，故①正确；又f(4－x)＝f(x)，所以f(2＋x)＝f(2－x)，即f(x)的图像关于直线x＝2对称，故②正确；由f(x)＝f(4－x)得f(－x)＝f(4＋x)＝f(x)，故③正确．]‎ ‎8．已知定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)内单调递增，且f ＝0，则f(x)＞0的解集为________．‎ 　[由奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)内单调递增，且f ＝0，可知函数y＝f(x ‎)在(－∞，0)内单调递增，且f ＝0.由f(x)＞0，可得x＞或－＜x＜0.]‎ 三、解答题 ‎9．设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x.‎ ‎(1)判断f(x)的奇偶性；‎ ‎(2)试求出函数f(x)在区间[－1,2]上的表达式．‎ ‎[解]　(1)∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(－x)＝f(2＋x)．‎ 又f(x＋2)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)．‎ 又f(x)的定义域为R，∴f(x)是偶函数．‎ ‎(2)当x∈[0,1]时，－x∈[－1,0]，‎ 则f(x)＝f(－x)＝x；‎ 从而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，‎ f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.‎ 故f(x)＝ ‎10．设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.‎ ‎(1)求f(π)的值；‎ ‎(2)当－4≤x≤4时，求函数f(x)的图像与x轴所围成图形的面积．‎ ‎[解]　(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，‎ f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，‎ 所以f(x)是以4为周期的周期函数，‎ 所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.‎ ‎(2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，‎ 得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，‎ 即f(1＋x)＝f(1－x)．‎ 故函数y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称．‎ 又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图像关于原点成中心对称，则f(x)的图像如图所示．‎ 当－4≤x≤4时，设f(x)的图像与x轴围成的图形面积为S，则S＝4S△OAB＝4×＝4.‎ ‎1．(2019·惠州调研)已知定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f(1)＝2，则不等式f(log2x)＞2的解集为(　　)‎ A．(2，＋∞) B．∪(2，＋∞)‎ C．∪(，＋∞) D．(，＋∞)‎ B　[f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，所以f(x)在[0，＋∞)上是增函数，因为f(1)＝2，所以f(－1)＝2，所以f(log2x)＞2⇔f(|log2x|)＞f(1)⇔|log2x|＞1⇔log2x＞1或log2x＜－1⇔x＞2或0＜x＜.故选B.]‎ ‎2．已知函数y＝f(x)的定义域为R，且满足下列三个条件：‎ ‎①对任意的x1，x2∈[4,8]，当x1＜x2时，都有＞0恒成立；‎ ‎②f(x＋4)＝－f(x)；‎ ‎③y＝f(x＋4)是偶函数．‎ 若a＝f(7)，b＝f(11)，c＝f(2 018)，则a，b，c的大小关系正确的是(　　)‎ A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a B　[由①知函数f(x)在区间[4,8]上为单调递增函数；由②知f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为8，所以c＝f(2 018)＝f(252×8＋2)＝f(2)，b＝f(11)＝f(3)；由③可知函数f(x)的图像关于直线x＝4对称，所以b＝f(3)＝f(5)，c＝f(2)＝f(6)．因为函数f(x)在区间[4,8]上为单调递增函数，所以f(5)＜f(6)＜f(7)，即b＜c＜a，故选B.]‎ ‎3．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，f(x＋2)＝－f(x)且f(x)在 ‎[－1,0]上是增函数，给出下列几个命题：‎ ‎①f(x)是周期函数；‎ ‎②f(x)的图像关于x＝1对称；‎ ‎③f(x)在[1,2]上是减函数；‎ ‎④f(2)＝f(0)，‎ 其中正确命题的序号是________(请把正确命题的序号全部写出来)．‎ ‎①②③④　[因为f(x＋y)＝f(x)＋f(y)对任意x，y∈R恒成立．‎ 令x＝y＝0，‎ 所以f(0)＝0.令x＋y＝0，所以y＝－x，‎ 所以f(0)＝f(x)＋f(－x)．‎ 所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．‎ 因为f(x)在x∈[－1,0]上为增函数，又f(x)为奇函数，‎ 所以f(x)在[0,1]上为增函数．‎ 由f(x＋2)＝－f(x)⇒f(x＋4)＝－f(x＋2)‎ ‎⇒f(x＋4)＝f(x)，‎ 所以周期T＝4，‎ 即f(x)为周期函数．‎ f(x＋2)＝－f(x)⇒f(－x＋2)＝－f(－x)．‎ 又因为f(x)为奇函数．‎ 所以f(2－x)＝f(x)，‎ 所以函数关于x＝1对称．‎ 由f(x)在[0,1]上为增函数，‎ 又关于x＝1对称，‎ 所以f(x)在[1,2]上为减函数．‎ 由f(x＋2)＝－f(x)，令x＝0得f(2)＝－f(0)＝f(0)．]‎ ‎4．已知函数y＝f(x)在定义域[－1,1]上既是奇函数又是减函数．‎ ‎(1)求证：对任意x1，x2∈[－1,1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0；‎ ‎(2)若f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求实数a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)证明：若x1＋x2＝0，显然不等式成立．‎ 若x1＋x2＜0，则－1≤x1＜－x2≤1，‎ 因为f(x)在[－1,1]上是减函数且为奇函数，‎ 所以f(x1)＞f(－x2)＝－f(x2)，所以f(x1)＋f(x2)＞0.‎ 所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立．‎ 若x1＋x2＞0，则1≥x1＞－x2≥－1，‎ 同理可证f(x1)＋f(x2)＜0.‎ 所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立．‎ 综上得证，对任意x1，x2∈[－1,1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0恒成立．‎ ‎(2)因为f(1－a)＋f(1－a2)＜0⇔f(1－a2)＜－f(1－a)＝f(a－1)，所以由f(x)在定义域[－1,1]上是减函数，得 即 解得0≤a＜1.‎ 故所求实数a的取值范围是[0,1)．‎ ‎1．定义在R上的函数f(x)满足：①对任意x∈R有f(x＋4)＝f(x)；②f(x)在[0,2]上是增函数；③f(x＋2)的图像关于y轴对称．则下列结论正确的是(　　)‎ A．f(7)＜f(6.5)＜f(4.5)‎ B．f(7)＜f(4.5)＜f(6.5)‎ C．f(4.5)＜f(6.5)＜f(7)‎ D．f(4.5)＜f(7)＜f(6.5)‎ D　[由①知函数f(x)的周期为4，由③知f(x＋2)是偶函数，则有f(－x＋2)＝f(x＋2)，即函数f(x)图像的一条对称轴是x＝2，由②知函数f(x)在[0,2]上单调递增，则在[2,4]上单调递减，且在[0,4]上越靠近x＝2，对应的函数值越大，又f(7)＝f(3)，f(6.5)＝f(2.5)，f(4.5)＝f(0.5)，由以上分析可得f(0.5)＜f(3)＜f(2.5)，即f(4.5)＜f(7)＜f(6.5)．故选D.]‎ ‎2．设f(x)是定义在R上的偶函数，其图像关于直线x＝1对称，对任意x1，x2∈，都有f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)．‎ ‎(1)设f(1)＝2，求f，f；‎ ‎(2)证明：f(x)是周期函数．‎ ‎[解]　(1)由f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)，x1，x2∈，知f(x)＝f· f≥0，x∈[0,1]．‎ ‎∵f(1)＝f＝f·f＝2，f(1)＝2，‎ ‎∴f＝2.‎ ‎∵f＝f＝f·f＝2，f＝2，∴f＝2.‎ ‎(2)证明：依题设，y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称，‎ ‎∴f(x)＝f(2－x)．‎ 又∵f(－x)＝f(x)，‎ ‎∴f(－x)＝f(2－x)，‎ ‎∴f(x)＝f(2＋x)，‎ ‎∴f(x)是定义在R上的周期函数，且2是它的一个周期．‎