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- 2021-06-16 发布
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浙江2021届高三三校第一次联考
数学试题卷
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.
2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.
4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间120分钟. 试卷总分为150分.请考生按规定用笔将所用试题的答案涂、写在答题纸上.
参考公式:
如果事件A、B互斥,那么 柱体的体积公式
P(A+B)= P(A)+ P(B) V=Sh
如果事件A、B相互独立,那么 其中S表示柱体的底面积,h表示柱体的高
P(A•B)= P(A)•P(B) 锥体的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率为p,那么n V=Sh
次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中S表示锥体的底面积,h表示锥体的高.
Pn(k)= 球的表面积公式
台体的体积公式 S=4πR2
V=(S1++S2) h 球的体积公式
其中S1、S2表示台体的上、下底面积,h表示棱 V=πR3
台的高. 其中R表示球的半径
选择题部分(共40分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合则= ( )
A. B. C. D.
2. 已知,若(为虚数单位)是实数,则实数等于 ( )
A.1 B.2 C. D.
3.若,则的最小值是 ( )
A.0 B.1 C. 5 D.9
4. 设m,n是空间两条直线,α,β是空间两个平面,则下列选项中不正确的是 ( )
A.当n⊥α时,“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件
B.当m⊂α时,“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件
C.当m⊂α时,“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件
D.当m⊂α时,“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件
5.已知函数y=sin ax+b(a>0)的图像如图所示,则函数y=loga(x+b)的图像可能是 ( )
A B C D
6.已知是双曲线的左右两个焦点,若双曲线左支上存在一点P与点关于直线对称,则该双曲线C的离心率为 ( )
7. 设函数,设是公差为的等差数列, f(a1)+f(a2)+…+f(a5)=,则 ( )
8. 已知平面向量,,满足:,,夹角为,且.则
的最小值为 ( )
A. B. C. D.
9.袋子中装有若干个均匀的红球和白球,从中有放回地摸球,每次摸出一个,摸出一个红球的概率是,有3次摸到红球即停止.记5次之内(含5次)摸到红球的次数为,则的数学期望 ( )
10.定义全集U的子集A的特征函数.这里表示集合A在全集U中的补集.已知,,以下结论不正确的是 ( )
A.若,则对于任意x∈U,都有;
B.对于任意x∈U,都有;
C.对于任意x∈U,都有;
D.对于任意x∈U,都有.
非选择题部分(共110分)
二.填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分
11.在2000多年前,古希腊数学家阿波罗尼斯
采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线:用垂直于锥轴的平面去截圆锥,得到的是圆;把平面渐渐倾斜,得到椭圆;当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时,得到抛物线;当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。已知一个圆锥的高和底面半径都为2,则用与底面呈45的平面截这个圆锥,得到的曲线是 ▲ .
12. 某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是,则正视图中的的值是 ▲ ,该几何体的表面积是 ▲ .
13. 已知多项式,
则 ▲ , ▲ .
14.已知,则 ▲ , ▲ ..
15. 过上一点作直线与相切于,两点.当时,切线长为________________;当最小时,的值为__________.
16.在平面直角坐标系中,给定两点M(1,2),N(3,4),点P在轴的正半轴上移动,当取最大值时,点P的横坐标为__________.
17.若对任意,不等式恒成立,则实数的最小值为_________.
三.解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18. (本小题满分14分)
在①②这两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并求解.
问题:已知内角的对边分别为,若,_____,试求的范围.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
19. (本小题满分15分)
如图,在四棱锥E-ABCD中,底面ABCD为正方形,,F为DE的中点.
(Ⅰ)求证:BE//平面ACF;
(Ⅱ)求BE与平面BCF所成角的正弦值.
20.(本小题满分15分)
已知数列的首项,前项之和,满足.数列的前项之和,满足, .
(Ⅰ)若对任意正整数都有成立,求正数的取值范围;
(Ⅱ)当,数列满足:,求证:.
21. (本小题满分15分)
已知椭圆左顶点为,离心率为,且过点.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)过抛物线上一点P的切线交于两点,线段,的中点分别为.求证:对任意,都存在这样的点P,使得所在直线平行于轴.
22. (本小题满分15分)
已知函数,其中是自然对数的底数.
(I)若有三个极值点,
(i)求实数的范围;
(ii)求证:;
(II)若有三个零点,且,求证:.
2021届高三三校第一次联考
数学参考答案
一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
C
C
C
B
D
A
A
D
二.填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分
11.抛物线 12. 1 ,.
13. 63;-180 14. ,
15.3; 16. 3 17.
三.解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18. 解答:当选①:易知,,……………………3分
,…………………………………………………6分
………………14分
当选②:可知,,从而,,而当且仅当时取等号,从而.
19. 证明:(1)连接交于,连,,为中点,为中点,,. ……………6分
(2)
,
,如图建立坐标系,
则
由得,
设面BCF法向量,由可取,因此设线面角为则有. ………………………………………………15分
20.解答:(Ⅰ)易知,.
由可知,即,令,易知在上递增,上递减,且,
即,即………………………………………………………………………7分
(Ⅱ)易知,
因此.
又因为,且,故,得证. ……………………………15分
21. 答案:(Ⅰ)……………3分
(Ⅱ)设,,,则切线,
由,可得:,
即,…………①
要证所在直线平行于轴即证:,即…………②
令,则,由
可知必有两解,,且,故对任意必存在,从而存在.
由②可知,从而
当时,,从而①式成立;
当时,,,从而①式成立;
当时,,,从而①式成立;
因此满足②的解也满足①式,从而对任意,都存在这样的点P,使得所在直线平行于轴. ………………………………………………………………………………………15分
22. 解:(I)(i)利用的极值点个数即为的变号零点个数
设,
由已知,方程有两个不为0,-1的实根,
当时,在上递增,至多一个实根,故
在上递减,在上递增,
且………………………………5分
(ii)由(I)不妨设
要证,即证而,
由在上递减,在上递增,且
故只要证,又,故只要证
即证,又
即证
设
递增,
即
………………………………………10分
(II)显然和均不为该函数零点,令,则的三个交点的横坐标即为三个零点,由,可知在上增,在上减,在上增,即,所以,此时显然有在上增,且 ,,故为唯一负零点,且.
令,则,即递增,,而,所以,可得.…………………………15分