2020-2021学年新高一新生入学分班考数学试卷（三） 9页

2020-2021 学年新高一新生入学分班考数学试卷（三） 一、单选题（共 8 小题，满分 40 分，每小题 5 分） 1、已知集合 { | 0}A x x a  ，若 2 A ，则 a 的取值范围为（ ） A． ( , 2]  B． ( ,2] C．[2, ) D．[ 2, )  【答案】C 【解析】因为集合 { | 0}A x x a  ，所以  |A x x a ， 又因为 2 A ，则 2a ，即 [2, )a  ，故选： C ． 2、函数   12 1 2f x x x     的定义域为（ ） A． 0,2 B． 2, C．  1 ,2 2,2      D．   ,2 2,  【答案】C 【解析】由 2 1 0 2 0 x x      ，解得 x≥ 1 2 且 x≠2． ∴函数   12 1 2f x x x     的定义域为  1 ,2 2,2      ．故选：C． 3、下列命题正确的是（ ） A．若 >a b ，则 1 1 a b  B．若 >a b ，则 2 2a b C．若 >a b ， c d ，则 >a c b d  D．若 >a b ， >c d ，则 >ac bd 【答案】C 【解析】A.若 >a b ，则 1 1 a b  ，取 1, 1a b   不成立 B.若 >a b ，则 2 2a b ，取 0, 1a b   不成立 C. 若 >a b ， c d ，则 >a c b d  ，正确 D. 若 >a b ， >c d ，则 >ac bd ，取 1, 1, 1, 2a b c d      不成立，故答案选 C 4、已知函数 2 ,0 1, ( ) 2,1 2, 1 , 2,2 x x f x x x           ，则 3[ ( )]2f f f    的值为（ ） A．1 B．2 C． 3 D． 1 2 【答案】A 【解析】由题意得, 3( )=22f , 1(2)= 2f , 1( )=2 =11 2 2f  , 所以 3[ ( )] = [ (2)]= ( )=12 1 2f f f f f f    ,故选：A. 5、已知 2x  ，函数 4 2y xx   的最小值是（ ） A．5 B．4 C．8 D．6 【答案】D 【解析】因为该函数的单调性较难求，所以可以考虑用不等式来求最小值， ，因为 ，由重要不等式可知 ，所以 ，本题正确选项为 D. 6、下列函数既是偶函数，又在  ,0 上单调递减的是（ ） A． 2 xy  B． 2 3y x   C． 1y xx   D．  2ln 1y x  【答案】A 【解析】对于 A 选项， 2 xy  为偶函数，且当 0x  时， 12 2 x xy   为减函数，符合题意. 对于 B 选项， 2 3y x   为偶函数，根据幂函数单调性可知 2 3y x   在 ,0 上递增，不符合题意. 对于 C 选项， 1y xx   为奇函数，不符合题意. 对于 D 选项，  2ln 1y x  为偶函数，根据复合函数单调性同增异减可知，  2ln 1y x  在区间 ,0 上单调递减，符合题意.故选：A 7、若正数 ,x y 满足 2 2 0x xy   ，则3x y 的最小值是（ ） A． 4 B． 2 2 C． 2 D． 4 2 【答案】A 【解析】因为正数 ,x y 满足 2 2 0x xy   ，所以 2 y xx ， 所以 2 23 2 2 2 4     x y x xx x ，当且仅当 22x x  ，即 1x  时，等号成立. 故选：A 8、函数 ( )f x 在 ( , )  单调递减，且为奇函数.若 (1) 1f   ，则满足 1 ( 2) 1f x    的 x 取值范围是 （ ） A．[ 2,2] B．[ 1,1] C．[0,4] D．[1,3] 【答案】D 【解析】 ( )f x 为奇函数， ( ) ( )f x f x    . (1) 1f   ， ( 1) (1) 1f f     . 故由 1 ( 2) 1f x    ，得 (1) ( 2) ( 1)f f x f    . 又 ( )f x 在 ( , )  单调递减， 1 2 1x    ， 1 3x   .故选：D 二、多选题（共 4 小题，满分 200 分，每小题 5 分） 9、下列各式既符合分数指数幂的定义,值又相等的是( ) A． 1 3( 1) 和 2 6( 1) B． 20 和 1 20 C． 1 22 和 4 1 4 D． 3 24  和 31 2      E. 3 4 3 和 4 3 1 3  【答案】CE 【解析】A 不符合题意， 1 3( 1) 和 2 6( 1) 均符合分数指数幂的定义，但 1 3 3( 1) 1 1     ， 2 66 2( 1) ( 1) 1    ； B 不符合题意，0 的负分数指数幂没有意义； C 符合题意， 1 1 4 24 24 2 2  ； D 不符合题意， 3 24  和 31 2      均符合分数指数幂的定义，但 2 3 3 2 1 14 84    ， 3 31 2 82       ； E 符合题意， 4 3 4 3 1 3 3   .故选：CE. 10、对任意实数 a ，b ， c ，给出下列命题，其中真命题是（ ） A．“ a b ”是“ ac bc ”的充要条件 B．“ a b ”是“ 2 2a b ”的充分条件 C．“ 5a  ”是“ 3a  ”的必要条件 D．“ 5a  是无理数”是“ a 是无理数”的充要条件 【答案】CD 【解析】对于 A，因为“ a b ”时 ac bc 成立， ac bc ， 0c = 时， a b 不一定成立，所以“ a b ”是 “ ac bc ”的充分不必要条件，故 A 错，对于 B， 1a   ， 2b   ， a b 时， 2 2a b ； 2a   ， 1b  ， 2 2a b 时， a b ，所以“ a b ”是“ 2 2a b ”的既不充分也不必要条件，故 B 错，对于 C，因为“ 3a  ”时 一定有“ 5a  ”成立，所以“ 5a  ”是“ 3a  ”的必要条件，C 正确；对于 D“ 5a  是无理数”是“ a 是无理数” 的充要条件，D 正确.故选：CD 11、下面命题正确的是（ ） A．“ 1a  ”是“ 1 1a  ”的充分不必要条件 B．命题“若 1x  ,则 2 1x  ”的否定是“ 存在 1x  ,则 2 1x  ”. C．设 ,x y R ,则“ 2x  且 2y  ”是“ 2 2 4x y  ”的必要而不充分条件 D．设 ,a bR ,则“ 0a  ”是“ 0ab  ”的必要不充分条件 【答案】ABD 【解析】选项 A:根据反比例函数的性质可知：由 1a  ,能推出 1 1a  ,但是由 1 1a  ,不能推出 1a  ,例如当 0a  时,符合 1 1a  ,但是不符合 1a  ,所以本选项是正确的； 选项 B: 根据命题的否定的定义可知：命题“若 1x  ,则 2 1x  ”的 否 定 是“ 存 在 1x  ,则 2 1x  ”.所以本 选项是正确的； 选项 C:根据不等式的性质可知：由 2x  且 2y  能推出 2 2 4x y  ,本选项是不正确的； 选项 D: 因为b 可以等于零,所以由 0a  不能推出 0ab  ,再判断由 0ab  能不能推出 0a  ,最后判断本选 项是否正确.故选：ABD 12、已知函数    2lg 1f x x ax a    ，给出下述论述，其中正确的是（ ） A．当 0a  时，  f x 的定义域为   , 1 1,  U B．  f x 一定有最小值； C．当 0a  时，  f x 的值域为 R ； D．若  f x 在区间 2, 上单调递增，则实数 a 的取值范围是 4|a a   【答案】AC 【解析】对 A,当 0a  时,解 2 1 0x   有    , 1 1,x    ,故 A 正确 对 B,当 0a  时,    2lg 1f x x  ,此时    , 1 1,x    ,  2 1 0,x    , 此时    2lg 1f x x  值域为 R ,故 B 错误. 对 C,同 B,故 C 正确. 对 D, 若  f x 在区间 2, 上单调递增,此时 2 1y x ax a    对称轴 22 ax    . 解得 4a   .但当 4a   时    2lg 4 3f x x x   在 2x  处无定义,故 D 错误. 故选 AC 三、填空题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分，一题两空，第一空 2 分） 13、正实数 ,x y 满足： 2 1x y  ，则 2 1 x y  的最小值为_____. 【答案】9 【解析】  2 1 2 1 2 2 2 22 5 5 2 5 2 4 9y x y xx yx y x y x y x y                ， 当且仅当 1 3x y  时取等号．故答案为：9． 14、若幂函数图像过点 (8,4) ，则此函数的解析式是 y  ________. 【答案】 2 3x 【解析】设幂函数的解析式为 y x ， 由于函数图象过点 (8,4) ，故有 4 8 ，解得 2 3   ， 所以该函数的解析式是 2 3y x ，故答案为： 2 3x . 15、函数   2 4 3 6 x xf x x    的值域为__________． 【答案】 ,16 6 7 16 6 7,      【解析】设 2 16 63 636 , 6, ( ) 16t tx t x t g t tt t          ， 当 0t  时， ( ) 6 7 16g t   ， 当且仅当 3 7, 3 7 6t x   时等号成立； 同理当 0t  时， ( ) 6 7 16g t    ， 当且仅当 3 7, 3 7 6t x     时等号成立； 所以函数的值域为 ,16 6 7 16 6 7,      . 故答案为:  ,16 6 7 16 6 7,      . 16、已知函数     1 1 2 3 1 2 1x a x a xf x x       的值域为 R ，则实数 a 的取值范围是_____. 【答案】 10, 2     【解析】当 1x  时,   12xf x  ,此时值域为 1, 若值域为 R ,则当 1x  时.    1 2 3f x a x a   为单调递增函数,且最大值需大于等于 1，即 1 2 0 1 2 3 1 a a a       ,解得 10 2a  ，故答案为: 10, 2     四、解答题（共 6 小题，满分 70 分，第 17 题 10 分，其它 12 分） 17、已知集合 A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x2＋x－6≤0}．若 A∪B＝B，求实数 a 的取值范围． 【解析】 B＝{x|x2＋x－6≤0} ＝{x|(x＋3)(x－2)≤0} ＝{x|－3≤x≤2} ＝[－3，2]． 因为 A∪B＝B，所以 A ⊆ B. ①当 A＝ ∅ 时，2a>a＋3， 解得 a>3； ②当 A≠ ∅ ，即 a≤3 时， 因为 A＝[2a，a＋3]， 所以 2a≥－3， a＋3≤2， 解得－3 2≤a≤－1， 综上，实数 a 的取值范围为 －3 2 ，－1 ∪(3，＋∞)． 18、已知  2 2| 3 2 0, 0A x x ax a a     ,  2| 6 0B x x x    ,若 x A 是 x B 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 【解析】解出  | 2 3B x x x   或 ，  | 2 0A x x a x a a   或 ， 因为 x A 是 x B 的必要不充分条件，所以 B 是 A 的真子集. 所以 2 32 3 0 20 a a a a          故答案为： 30 2a  19、化简下列各式： 【解析】 (1) 原式＝lg 1 100×10＝－2×10＝－20. (2) 原式＝lg25 lg2 ×lg4 lg3×lg9 lg5 ＝2lg5 lg2 ×2lg2 lg3 ×2lg3 lg5 ＝8. (3) 原式＝lg4 2 7 －lg4＋lg7 5＝lg(4 2 7 ×1 4×7 5)＝1 2. 20、判断下列函数的奇偶性： (1) f(x)＝xlg(x＋ x2＋1)； (2) f(x)＝(1－x) 1＋x 1－x ； (3) f(x)＝ －x2＋2x＋1，x＞0， x2＋2x－1， x＜0； (4) f(x)＝ 4－x2 |x＋3|－3 . 【解析】 (1) 因为 x＋ x2＋1>0 恒成立， 所以函数 f(x)的定义域为 R，关于原点对称， 所以 f(x)－f(－x)＝x[lg(x＋ x2＋1)＋lg(－x＋ x2＋1)]＝0， 所以 f(x)＝f(－x)，所以 f(x)为偶函数． (2) 由题意得， 1＋x 1－x ≥0， 1－x≠0， 解得－1≤x<1， 所以定义域不关于原点对称， 所以 f(x)为非奇非偶函数． (3) f(x)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称． 不妨设 x>0， 所以 f(x)＋f(－x)＝－x2＋2x＋1＋x2－2x－1＝0， 所以 f(x)＝－f(－x)，所以 f(x)为奇函数． (4) 由题意得， 4－x2≥0， |x＋3|≠3， 解得 x∈[－2，0)∪(0，2]关于原点对称， 所以 f(x)＋f(－x)＝ 4－x2 x － 4－x2 x ＝0， 所以 f(x)＝－f(－x)， 所以 f(x)为奇函数． 21、已知函数   loga x bf x x b    0, 0, 0a a b   . （1）求函数  f x 的定义域； （2）判断函数  f x 的奇偶性，并说明理由； 【解析】(1)由 x b x b   0，化为：   0x b x b   . 当 0b  时，解得 x b 或 x b  ； 0b  时，解得 x b  或 x b . ∴函数  f x 的定义域为： 0b  时， ( ) ),(,x b b    ， 0b  时， ( ) ),(,x b b    . (2)∵定义域关于原点对称， ( ) ( )loga a x b x bf x log f xx b x b           ， ∴函数  f x 为奇函数. 22、已知奇函数   2 1 2 1 x x af x    的定义域为 2,3a b  . (1)求实数 a ,b 的值; (2)若  2,3x a b   ,方程    2 0f x f x m     有解,求 m 的取值范围. 【解析】（1）因为奇函数定义域关于原点对称，所以 2 3 0a b    . 又根据定义在 0x  有定义，所以   0 0 2 10 02 1 af    ，解得 1a  ， 1b  . （2）  3,3x  ，令   2 1 2 1 x xf x t  ， 7 7 9 9t      则方程    2 0f x f x m     有解等价于 2 0t t m   7 7 9 9t      有解 也等价于 2y t t  7 7 9 9t      与 y m 有交点. 画出图形根据图形判断： 由图可知： 1 112 4 81m   时有交点，即方程    2 0f x f x m     有解.