高考数学考点一遍过专题38抛物线文 26页

考点 38 抛物线 了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称性、顶点、 离心率）. 一、抛物线的定义和标准方程 1．抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线． 点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点 F 与准线垂直的直 线对称，这条直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴． 注意：直线 l 不经过点 F，若 l 经过 F 点，则轨迹为过定点 F 且垂直于定直线 l 的一条直 线． 2．抛物线的标准方程 （1）顶点在坐标原点，焦点在 x 轴正半轴上的抛物线的标准方程为 2 2 ( 0)y px p  ； （2）顶点在坐标原点，焦点在 x 轴负半轴上的抛物线的标准方程为 2 2 ( 0)y px p   ； （3）顶点在坐标原点，焦点在 y 轴正半轴上的抛物线的标准方程为 2 2 ( 0)x py p  ； （4）顶点在坐标原点，焦点在 y 轴负半轴上的抛物线的标准方程为 2 2 ( 0)x py p   . 注意：抛物线标准方程中参数 p 的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，所以 p 的值永 远大于 0，当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现 p＜0 的错误. 二、抛物线的几何性质 1．抛物线的几何性质 标准方程 2 2 ( 0)y px p  2 2 ( 0)y px p   2 2 ( 0)x py p  2 2 ( 0)x py p   图形 几 何 性 质 范围 0,x y R 0,x y R 0,y x R 0,y x R 对称性 关于 x 轴对称 关于 x 轴对称 关于 y 轴对称 关于 y 轴对称 焦点 ( ,0)2 pF ( ,0)2 pF  (0, )2 pF (0, )2 pF  准线方程 2 px   2 px  2 py   2 py  顶点 坐标原点(0，0) 离心率 1e  2．抛物线的焦半径 抛物线上任意一点 0 0( ),P x y 与抛物线焦点 F 的连线段，叫做抛物线的焦半径． 根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表： 抛物线 方程 2 2 ( 0)y px p  2 2 ( 0)y px p   2 2 ( 0)x py p  2 2 ( 0)x py p   焦半径 公式 0| | 2 pPF x  0| | 2 pPF x  0| | 2 pPF y  0| | 2 pPF y  3．抛物线的焦点弦 抛物线的焦点弦即过焦点 F 的直线与抛物线所成的相交弦． 焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线 的两交点坐标，再利用两点间的距离公式得到，设 AB 为焦点弦， 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ， 则 抛 物 线 方 程 2 2 ( 0)y px p  2 2 ( 0)y px p   2 2 ( 0)x py p  2 2 ( 0)x py p   焦 点 弦 公 式 1 2| | ( )AB p x x   1 2| | ( )AB p x x   1 2| | ( )AB p y y   1 2| | ( )AB p y y   其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于 A，B 两点的线段 AB，称为抛物线 的通径． 对于抛物线 2 2 ( 0)y px p  ，由 ( , )2 pA p ， ( , )2 pB p ，可得| | 2AB p ，故抛物线的通 径长为 2p． 4．必记结论 直线 AB 过抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点，交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图： （1）y1y2＝－p2，x1x2＝p2 4 . （2）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥ 1 22 x x ＝p，即当 x1＝x2 时，弦长最短为 2p. （3） 1 |AF| ＋ 1 |BF| 为定值2 p . （4）弦长 AB＝ 2p sin2α (α为 AB 的倾斜角)． （5）以 AB 为直径的圆与准线相切． （6）焦点 F 对 A，B 在准线上射影的张角为 90°. 考向一抛物线的定义和标准方程 1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点 M，一个定点 F（抛物线的焦点），一 条定直线 l（抛物线的准线），一个定值 1（抛物线的离心率）. 2．抛物线的离心率 e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及 抛物线的焦半径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为 点到准线的距离，即 2PF px  或 2PF py  ，使问题简化． 典例 1 已知抛物线 C:x2=2py(p>0)上一点 A(m,4)到其焦点的距离为17 4 ,则 p,m 的值分别为 A．p=1,m=2 B．p=1,m=±2 C．p= 1 2 ,m=2 D．p= 1 2 ,m=±2 【答案】D 【解析】由抛物线的方程得其准线方程为 y=- ,根据抛物线的定义可知,4+ ,解得 p= 1 2 , 所以抛物线的方程为 x2=y,将 A(m,4)代入抛物线的方程,解得 m=±2. 典例 2 已知圆的方程为 x2+y2=4,若抛物线过点 A(-1,0),B(1,0),且以圆的切线为准线,则抛物 线的焦点的轨迹方程为 A． 2 2 14 3 x y  (x≠0) B． 2 2 14 3 x y  (x≠0) C． 2 2 14 3 x y  (y≠0) D． 2 2 14 3 x y  (y≠0) 【答案】D 的椭圆.∵A,B 在抛物线上,∴焦点 F 不在 x 轴上,故抛物线的焦点的轨迹方程是 2 2 14 3 x y  (y≠0). 1．已知点 F 是抛物线 y 2 = 4x 的焦点，M、N 是该抛物线上两点，| MF | + | NF | = 6，则 MN 中点的横坐标为 A． 3 2 B．2 C． 5 2 D．3 考向二求抛物线的标准方程 1．求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方 程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数 p ，只需一个条件就可以确定抛物 线的标准方程. 2．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤： 若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标 准方程. 典例 3 若点 A,B 在抛物线 y2=2px(p>0)上,O 是坐标原点,若正三角形 OAB 的面积为 4 ,则该抛 物线的方程是 A．y2= 2 3 3 x B．y2= x C．y2=2 x D．y2= 3 3 x 【答案】A 【解析】根据对称性,可知 AB⊥x 轴,由于正三角形 OAB 的面积是 4 ,故 3 4 AB2=4 ,故 AB=4, 正三角形 OAB 的高为 2 ,故可设点 A 的坐标为(2 ,2),代入抛物线方程得 4=4 p,解得 p= 3 3 ,故所求抛物线的方程为 y2= 2 3 3 x. 典例 4 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求出对应抛物线的准线方程． （1）过点 ( 3 2) ， ； （2）焦点在直线 2 4 0x y   上． 当焦点为 (4 )0， 时， 42 p  ，∴ 8p  ，此时抛物线的方程为 2 16y x ； 当焦点为 (0 )2， 时， 22 p  ，∴ 4p  ，此时抛物线的方程为 2 8x y  . 故所求抛物线的方程为 2 16y x 或 2 8x y  ，对应的准线方程分别是 4x   ， 2y  . 2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆 2 2 19 16 x y  短轴所在的直线，抛物线的焦点 到顶点的距离为 5，求抛物线的标准方程. 考向三焦点弦问题 与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解.解题时，需依据抛物线的标准方程， 确定弦长公式是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定，是 p 与交点横（纵）坐标的和还是与 交点横（纵）坐标的差，这是正确解题的关键. 典例 5 过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于点 A(x1,y1)，B(x2，y2)，若|AB|=7，求 AB 的 中点 M 到抛物线准线的距离. 【解析】抛物线的焦点为 F(1,0),准线方程为 x=－1.由抛物线的定义知 ,即 ,得 , 于是弦 AB 的中点 M 的横坐标为 5 2 ,因此点 M 到抛物线准线的距离为 5 712 2   . 典例 6 已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点,斜率为 2 的直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)(x10)的焦点坐标是 A．( 1 8p  ,0) B．( 1 16p  ,0) C．(0,-2p) D．(0,-p) 2．以 x 轴为对称轴,通径长为 8,顶点为坐标原点的抛物线方程是 A．y2=8x B．y2=-8x C．y2=8x 或 y2=-8x D．x2=8y 或 x2=-8y 3．已知抛物线 上一点 Q ,且 Q 点到焦点的距离为 10，则焦点到准线的 距离是 A．4 B．8 C．12 D．16 4．已知点 M(-3,2)是坐标平面内一定点,若抛物线 y2=2x 的焦点为 F,点 Q 是该抛物线上的一动 点,则|MQ|-|QF|的最小值是 A． 7 2 B．3 C． 5 2 D．2 5．设 F 为抛物线 C:x2=12y 的焦点,A、B、C 为抛物线上不同的三点,若 + + =0,则 |FA|+|FB|+|FC|= A．3 B．9 C．12 D．18 6．已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,抛物线上的两个动点 A,B 始终满足∠AFB=60°,过弦 AB 的中点 H 作抛物线的准线的垂线 HN,垂足为 N,则 HN AB 的取值范围为 A．(0, 3 3 ] B．[ 3 3 ,+∞) C．[1,+∞) D．(0,1] 7．若抛物线 y2=2px 的焦点与双曲线 ﹣y2=1 的右顶点重合，则 p=_________. 8 ． 已 知 等 腰 梯 形 ABCD 的 顶 点 都 在 抛 物 线 2 2 ( 0)y px p  上 ， 且 ∥AB CD ， 2, 4,AB CD  60ADC   ，则点 A 到抛物线的焦点的距离是_________． 9．已知过抛物线 x=4y2 的焦点 F 的直线交该抛物线于 M、N 两点,且|MF|= 1 8 ,则 |MN|=_________. 10．已知抛物线 C:y2=ax(a>0)的焦点为 F,点 A(0,1),射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M,与其准线 相交于点 N,若|FM|∶|MN|=1∶3,则实数 a 的值为_________. 11．已知抛物线 的焦点为 ,准线方程是 . (1)求此抛物线的方程; (2)设点 在此抛物线上,且 ,若 为坐标原点,求△OFM 的面积. 12．已知 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)是抛物线 y2=2px(p>0)上的三个点,且它们到焦点 F 的距离 |AF|,|BF|,|CF|成等差数列,求证:2 + . 13．如图所示是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2m，水面宽 4m.若水位下降 1m 后， 水面宽为多少？ 14．设 A,B 是抛物线 y2=2px(p>0)上的两点,且满足 OA⊥OB(O 为坐标原点).求证: (1)A,B 两点的横坐标之积、纵坐标之积都为定值; (2)直线 AB 经过一个定点. 1．（2016 四川文科）抛物线 y2=4x 的焦点坐标是 A．(0,2) B． (0,1) C．(2,0) D．(1,0) 2．（2016 新课标全国 II 文科）设 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，曲线 y= k x （k>0）与 C 交于 点 P，PF⊥x 轴，则 k= A． 1 2 B．1 C． 3 2 D．2 3．（2015 新课标全国 I 文科）已知椭圆 E 的中心在坐标原点,离心率为 1 2 ,E 的右焦点与抛物 线 C:y2=8x 的焦点重合,A,B 是 C 的准线与 E 的两个交点,则|AB|= A．3 B．6 C．9 D．12 4．（2017 浙江）如图，已知抛物线 2x y ，点 A 1 1( )2 4 ， ， 3 9( )2 4 ，B ，抛物线上的点 1 3( , )( )2 2P x y x   ．过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q． （1）求直线 AP 斜率的取值范围； （2）求| | | |PA PQ 的最大值． 5．（2016 新课标全国 III 文科）已知抛物线C ： 2 2y x 的焦点为 F ，平行于 x 轴的两条直 线 1 2,l l 分别交C 于 A B， 两点，交C 的准线于 P Q， 两点． （1）若 F 在线段 AB 上， R 是 PQ 的中点，证明 AR FQ∥ ； （2）若 PQF△ 的面积是 ABF△ 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程. 变式拓展 1．【答案】B 【解析】由题意得 ,令 ，由抛物线的几何意义得| MF | + | NF | = 6= ，可得 ，所以 MN 中点的横坐标为 1 2 22 x x  .选 B. 法二：由已知条件可知抛物线的对称轴为 x 轴，∴设抛物线的方程为 y2＝mx(m≠0). 又∵抛物线的焦点到顶点的距离为 5，∴ 54 m  ，∴m＝±20. ∴所求抛物线的方程为 y2＝20x 或 y2＝－20x. 3．【答案】C 【解析】因为 AB 过抛物线的焦点且与对称轴垂直，所以线段 AB 是抛物线的通径，则 2 12p  ， 所以 6p  ，又点 P 到 AB 的距离为 p ，所以 ABP△ 的面积为 21 2 362 p p p   .故选 C. 4．【答案】C 【解析】 点 P 到抛物线 的准线的距离 等于点 P 到抛物线 的焦点的距 离|PF|，则 的最小值即为 F 到直线 的距离． 由抛物线 得 ，  1 2 min 2 2 1 2 0 12 11 5 51 2 d d        ．故选 C. 5．【解析】以隧道顶点为原点,拱高所在的直线为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,则点 B 的坐标为( 2 a , 4 a ). 设隧道所在的抛物线方程为 x2=my(m≠0),则( 2 a )2=m·( 4 a ),解得 m=-a, 所以抛物线的方程为 x2=-ay. 将点(0.8,y)代入抛物线方程,得 0.82=-ay,即 y= 20.8 a  . 欲使卡车通过隧道,应有 y-( 4 a )>3,即 - >3, 由于 a>0,故 a>12.21,所以 a 应取的最小整数值为 13. 考点冲关 1．【答案】B 【解析】抛物线方程的标准形式为 y2= 1 4p  x(p>0),则焦点坐标为( 1 16p  ,0). 2．【答案】C 【解析】依题意设抛物线方程为y2=±2px(p>0),则2p=8,所以抛物线方程为y2=8x 或y2=-8x. 故选 C. 3．【答案】B 4．【答案】C 【解析】抛物线的准线方程为 x= 1 2  ，当 MQ∥x 轴时，|MQ|-|QF|取得最小值，此时 |MQ|-|QF|=|2+3|-|2+ 1 2 |= 5 2 . 5．【答案】D 【解析】设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),因为 A、B、C 为抛物线上不同的三点,则 A、B、C 可以构成三角形. 抛物线 C:x2=12y 的焦点为 F(0,3),准线方程为 y=-3. 因为 + + =0,所以利用平面向量的相关知识可得点 F 为△ABC 的重心,从而有 x1+x2+x3=0，y1+y2+y3=9. 又根据抛物线的定义可得|FA|=y1-(-3)=y1+3,|FB|=y2-(-3)=y2+3,|FC|=y3-(-3)=y3+3, 所以|FA|+|FB|+|FC|=y1+3+y2+3+y3+3=y1+y2+y3+9=18. 【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义、几何性质,向量的相关知识.解题的关键是判断 出点 F 为△ABC 的重心.解题时,先根据抛物线的方程得抛物线的焦点坐标和准线方程,再 根据 + + =0,判断出点 F 为△ABC 的重心,进而可得 y1+y2+y3=9,最后根据抛物线的 定义求解. 6．【答案】D  2 1 1 32 1 ab a b    ,当且仅当 a=b 时等号成立,故 HN AB 的取值范围为(0,1].故选 D. 7．【答案】4 【解析】由双曲线 ﹣y2=1 可得 a=2,则双曲线的右顶点为(2,0),则 22 p  ,所以 p=4. 8．【答案】 7 3 12 【 解 析 】 由 题 意 可 设    ,1 , 3,2A m D m  ， 因 此  4 2 3 3 3,2 31 2 p m p m pm         ， 因 此 点 A 到 抛 物 线 的 焦 点 的 距 离 是 3 3 7 3 2 3 4 12 pm     . 9．【答案】 【解析】抛物线 x=4y2 可化为 y2= x,其焦点为 F( ,0),准线方程为 x=- ,∵|MF|= 1 8 ,∴点 M 到抛物线的准线的距离为 1 8 ,∴点 M 的横坐标为 ,故直线 MF 垂直于 x 轴,∴|NF|=|MF|= 1 8 , ∴|MN|= . 10．【答案】 【解析】依题意得焦点 F 的坐标为( ,0),设 M 在抛物线的准线上的射影为 K,连接 MK,由抛 物线的定义知|MF|=|MK|,因为|FM|∶|MN|=1∶3,所以|KN|∶|KM|=2 ∶1,又 0 1 4 04 FNk a a     ,kFN=- =-2 ,所以 4 a =2 ,解得 a= . 由抛物线定义知 0 32 pMF x   ，得 . 由  02,M y 在抛物线上,满足抛物线的方程 ,知 0 2 2y   ， 所以△OFM 的面积为 0 1 1 1 2 2 22 2OF y     . 12．【解析】抛物线的准线方程为 x= 2 p . 由抛物线的定义知,|AF|=x1+ 2 p ,|BF|=x2+ 2 p ,|CF|=x3+ 2 p . ∵|AF|,|BF|,|CF|成等差数列,∴2|BF|=|AF|+|CF|,∴2x2=x1+x3. 又 y2=2px,∴ 22 2 32 12 2 2 2 yy y p p p   , 故 2 + . 13．【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为 x2＝－2py(p＞0)，则 A(2， －2)，将其坐标代入 x2＝－2py 得 p＝1. ∴x2＝－2y. 当水面下降 1 m，得 D(x0，－3)(x0＞0)，将其坐标代入 x2＝－2y 得 ， ∴ .∴水面宽 . 14．【解析】(1)设 A(x1, y1),B(x2,y2),则 =2px1, =2px2. ∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0. ∴ =4p2x1x2=4p2(-y1y2),∴y1y2=-4p2, ∴x1x2=4p2. 即 A,B 两点的横坐标之积、纵坐标之积都为定值. ∴y= ·x- · +y1= ·x+ . 又 y1y2=-4p2,∴y= ·x- (x-2p). ∴直线 AB 过定点(2p,0). 直通高考 1．【答案】D 【解析】 2 4y x 的焦点坐标为 (1,0) ，故选 D. 【名师点睛】本题考查抛物线的定义．解析几何是中学数学的一个重要分支，圆锥曲线是 解析几何的重要内容，它们的定义、标准方程、简单几何性质是我们要重点掌握的内容， 一定要熟记掌握． 2．【答案】D 【解析】因为 F 是抛物线 2 4y x 的焦点，所以 (1,0)F ， 又因为曲线 ( 0)ky kx   与C 交于点 P ， PF x 轴，所以 21 k  ，所以 2k  ，选 D. 【名师点睛】抛物线方程有四种形式，注意焦点的位置. 3．【答案】B 优解：因为抛物线 C:y2=8x 的焦点坐标为(2,0)，准线 l 的方程为 x=-2①，设椭圆 E 的方程 为 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     ,所以椭圆 E 的半焦距 c=2,又椭圆 E 的离心率为 1 2 ,所以 a=4,b=2 ,由于准线 x=-2 过椭圆 E 的左焦点,所以 AB 为椭圆 E 的通径,所以|AB|= 22b a =6, 选 B. 【名师点睛】本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程、抛物线与椭圆的简单几何性质及基 本量的运算等基础知识,考查考生综合运用知识分析、解决问题的能力与运算求解能力.求 解时,首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程,再利用抛物线与椭圆的联系求出椭圆中的基 本量 a,b,c 与椭圆方程,进而求得|AB|. 4．【解析】（1）设直线 AP 的斜率为 k， 2 1 14 1 2 2 x k x x      ， 因为 1 3 2 2x   ，所以直线 AP 斜率的取值范围是 ( 1,1) ． （2）联立直线 AP 与 BQ 的方程 1 1 0,2 4 9 3 0,4 2 kx y k x ky k           解得点 Q 的横坐标是 2 2 4 3 2( 1)Q k kx k     ． 因为|PA|= 2 11 ( )2k x  = 21 ( 1)k k  ，|PQ|= 2 2 2 ( 1)( 1)1 ( ) 1Q k kk x x k       ， 所以 3( 1)( 1)k kPA PQ    ． 令 3( ) ( 1)( 1)f k k k    ，因为 2'( ) (4 2)( 1)f k k k    ， 所以 f(k)在区间 1( 1, )2  上单调递增， 1( ,1)2 上单调递减， 因此当 k= 1 2 时，| | | |PA PQ 取得最大值 27 16 ． 【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查 解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过表达| |PA 与 | |PQ 的长度，通过函数 3( ) ( 1)( 1)f k k k    求解| | | |PA PQ 的最大值． （1）由于 F 在线段 AB 上，故 01  ab . 记 AR 的斜率为 1k ， FQ 的斜率为 2k ，则 2221 1 1 kba ab aaba ba a bak    . 所以 FQAR∥ . （2）设l 与 x 轴的交点为 )0,( 1xD ， 则 1 1 1 1 ,2 2 2 2ABF PQF a bS b a FD b a x S      △ △ . 由题设可得 1 1 2 2 a bb a x    ，所以 01 x （舍去）， 11 x . 设满足条件的 AB 的中点为 ),( yxE . 当 AB 与 x 轴不垂直时，由 DEAB kk  可得 )1(1 2  xx y ba . 而 yba  2 ，所以 )1(12  xxy . 当 AB 与 x 轴垂直时， E 与 D 重合.所以，所求轨迹方程为 12  xy .