高考数学冲刺卷文(新课标ⅰ卷) 8页

绝密★启用前 2016 年高考冲刺卷（3）（新课标Ⅰ卷） 文科数学试卷 全卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知集合   lg 1 0x x    ，  1 3x x     ，则    （ ） A． 1,3 B． 1,2 C． 1,3 D． 1,2 2. 等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 5 32S  ，则 3a  （ ） A． 32 5 B． 2 C． 4 2 D． 5 32 3. 复数 z 满足 1 3i z i   ，则 z  （ ） A．1+i B．1 i C． 1 i  D． 1+i 4. 已知点 2,0 到双曲线 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a  ， 0b  ）的一条渐近线的距离为 5 5 ，则该双 曲线的离心率为（ ） A. 5 2 B. 2 C. 10 3 D. 5 1 5. 已知函数   1 2 log , 0 3 , 0x x x f x x     ，则  4f f   的值为（ ） A． 9 1 B． 9 C． 9 1 D． 9 6. 已知向量 a ， b  的夹角为 3  ，且 2a  ， 1b  ，则向量 a 与向量 2a b  的夹角等于（ ） A． 5 6  B． 2  C． 3  D． 6  7. 已知函数   sin 2f x x      ( Rx  )，下面结论错误的是（ ） A．函数  f x 的最小正周期为 2 B．函数  f x 在区间 0, 2      上是增函数 C．函数  f x 的图象关于直线 0x  对称 D．函数  f x 是奇函数 8. 如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个凸多面 体的三视图（两个矩形，一个直角三角形），则这个几何体可能为 （ ） A．三棱台 B．三棱柱 C．四棱柱 D．四棱锥 9. 若执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ） A． 22log 3 B． 2log 7 C． 3 D． 2 10. 已知抛物线 2 4y x 的焦点为 F，  、  为抛物线上两点，若 F 3F    ，  为坐标原点，则  的面积为（ ） A． 3 3 B． 8 3 3 C． 4 3 3 D． 2 3 3 11. 已知向量  ,a x y ，若实数 x ， y 满足 5 0 0 3 x y x y x         ，则 a 的最大 值是（ ） A． 73 B． 5 2 2 C． 43 D． 3 2 12. 已知函数   sin 1, 02 log , 0a x xf x x x       ( 0a  且 1a  )的图象上关于 y 轴对称的点至少有 3 对，则实数 a 的取值范围是（ ） A． 50, 5       B． 5 ,15       C． 3 ,13       D． 30, 3       第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分．） 13. 函数 2( ) 2 3, [ 4,4]f x x x x     ，任取一点 0 [ 4,4]x   ，则 0( ) 0f x  的概率 为 . 14. 已知 1 4 1a b   ，且 0a  ， 0b  ，则 a b 的最小值为 ． 15. 正项等比数列 na 中， 1a ， 4031a 是函数   3 21 4 6 33f x x x x    的极值点，则 20166log a  ． 16. 正四棱锥 CD   的体积为 3 2 2 ，底面边长为 3 ，则正四棱锥 CD   的内切球的 表面积是 ． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤．） 17.（本小题满分 12 分）在 C 中，三个内角  ， ，C 的对边分别为 a ，b ，c ， 10cos 10    ， 2 5sin sin sinC sin5a b c a      ． （1）求  的值； （2）设 10b  ，求 C 的面积S ． 18.（本小题满分 12 分）为考查某种疫苗预防疾病的效果，进行动物实验，得到统计数据如下： 现从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率为 2 5 ． （1）求 2 2 列联表中的数据 x ， y ， A ， B 的值； （2）绘制发病率的条形统计图，并判断疫苗是否有效？ （3）能够有多大把握认为疫苗有效？ 附：        2 2 n ad bc a b c d a c b d        2 0    0.05 0.01 0.005 0.001 0 3.841 6.635 7.879 10.828 19.（本小题满分 12 分）如图，直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，AB AC ， ，F分别为 1 ， 1 1C 的中点. （1）求证： F// 平面 1 C  ； （2）若 1AB AC AA 1   ，求点  到平面 1 C  的距离. 20.（本小题满分 12 分）已知椭圆 C: 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a b  ）， 1 2e  ， 其中 F是椭圆的右焦点，焦距为 2 ，直线l 与椭圆 C 交于点  、  ， 点  ，  的中点横坐标为 1 4 ，且 F F    （其中 1  ）． （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）求实数  的值． 21.（本小题满分 12 分）已知函数 ( ) lnf x x bx c   ， ( )f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程为 4 0x y   ． （1）求 ( )f x 的解析式； （2）求 ( )f x 的单调区间； （3）若在区间 1 ,52      内，恒有 2( ) lnf x x x kx   成立，求 k 的取值范围． 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 解答时请写清题号. 22.（本题满分 10 分）选修 ：几何证明选讲 如图，过圆 O 外一点 P 的作圆 O 的切线 PM ，M 为切点，过 PM 的 中点 N 的直线交圆 O 于 A 、B 两点，连接 PA 并延长交圆 O 于点 C ， 连接 PB 交圆 O 于点 D ，若 MC BC . （1）求证： APM ∽ ABP ； （2）求证：四边形 PMCD 是平行四边形. 23.（本题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程 点  是曲线 2  （ 0    ）上的动点，  2,0 ，  的中点为 Q . （1）求点 Q 的轨迹 C 的直角坐标方程； （2）若 C 上点  处的切线斜率的取值范围是 33, 3       ，求点  横坐标的取值范围. 24.（本题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲 已知函数   1f x x  ． （1）解不等式    4 8f x f x   ； （2）若 1a  ， 1b  ，且 0a  ，求证：   bf ab a f a      ． 未发病 发病 合计 未注射疫苗 20 x A 注射疫苗 30 y B 合计 50 50 100 0.8 - 0.7 - 0.6 - 0.5 - 0.4 - 0.3 - 0.2 - 0.1 - O 未注射 注射 2016 年高考数学冲刺卷 03 文（新课标Ⅰ卷）答案 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.） 1．【答案】D 【解析】∵ 0 1 1 1 2x x      ，∴  1,2  ，∴  1,2   ，故选 D． 2.【答案】A 【解析】∵  1 5 3 5 3 5 5 2 5 322 2 a a aS a      ，∴ 3 32 5a  ，故选 A. 3.【答案】A 【解析】∵     2 21 3 3 1 2i z i       ，∴      2 12 11 1 1 iz ii i i       ，∴ 1z i  ，故选 A． 4.【答案】C 5.【答案】C 【解析】   1 2 4 log 4 2f    ，∴     2 14 2 3 9f f f       ，故选 C. 6.【答案】D 【解析】设向量 a 与向量 2a b  的夹角等于 ，∵向量 a ， b  的夹角为 3  ，且 2a  ， 1b  ， ∴   22 2 4 2 2 1 cos 63a a b a a b                ，  22 2 22 2 4 4a b a b a a b b             4 4 2 1 cos 4 1 123         ，∴ 2 2 3a b  ，∴  2 6 3cos 22 2 32 a a b a a b            ， ∵  0,  ，∴ 6   ，故选 D． 7.【答案】D 【解析】   sin sin cos2 2f x x x x                 ，∴函数  f x 的最小正周期为 2 21     ，A 正确；∵ cosy x 在 0, 2      上是减函数，∴   cosf x x  在 0, 2      上是增函数，B 正确；由图 象知   cosf x x  的图象关于直线 0x  对称，C 正确；   cosf x x  是偶函数，D 错误．故选 D． 8.【答案】B 【解析】由三视图得几何体的直观图如图所示，∴这个几何体是一个三棱柱，故选 B. 9.【答案】C 10.【答案】C 【解析】（解法一）如图所示，根据抛物线的定义，不难求出， 2   ，由抛物线的对称 性，不妨设直线的斜率为正，∴直线  的倾斜角为 60 ，直线  的方程为  3 1y x  ，联 立直线  与抛物线的方程可得：   2 3 1 4 y x y x     ，解之得：  3,2 3 ， 1 2 3,3 3       ，∴ 221 2 33 2 33 3               16 3  ，而原点到直线  的距离为 3 2d  ，∴ AOB 1 4 3AB2 3S d     ，故选 C． （解法二）如图所示，设 F m  ，则 AD AF 3m  ， 3AG 2 m ，又 AD AG 2 OF 2   ， ∴ 4 3m  ，又 8 3CD BE 3   ，∴ AOB 1 4 3OF CD2 3S     ，故选 C． 11.【答案】A 12. 【答案】A 【解析】若 0x  ，则 0x  ，∵ 0x  时，   sin 12f x x  ，∴   sin 1 sin 12 2f x x x           ，若   sin 12f x x  （ 0x  ）的图象关于 y 轴对称， 则    sin 12f x x f x     ，即 sin 12y x   ， 0x  ，设   sin 12g x x   ， 0x  ， 作出函数  g x 的图象，要使 sin 12y x   ， 0x  与   logaf x x ， 0x  的图象至少有3个 交点，则 0 1a  且满足    5 5g f ，即 2 log 5a  ，即 2log 5 loga a a ，则 2 15 a  ，解得 50 5a  ，故选 A． 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分．） 13.【答案】 1 2 【解析】由 2 2 3 0x x   得 1 3x   ，所以使  0 0f x  成立的概率是     3 1 1 4 4 2     ． 14.【答案】9 15.【答案】1 【解析】   2 8 6f x x x    ，∵ 1a ， 4031a 是函数   3 21 4 6 33f x x x x    的极值点，∴ 1 4031 6a a  ，又∵正项等比数列 na ，∴ 2 2016 1 4031 6a a a   ，∴ 20166 6log log 6 1a   ． 16.【答案】 4 7  【解析】正四棱锥 CD  的体积 1 1 3 2V S 3 33 3 2h h      ，∴ 3 2 2h  ，∴斜高 为 2 2 3 2 3 21 2 2 2               ，设正四棱锥 CD  的内切球的半径为 r ，则 1 1 21 3 23 3 4 33 2 2 2r             ，∴  2 7 1 4r   ，∴正四棱锥 CD  的 内切球的表面积为  24 4 7r   ． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.（本小题满分 12 分） 【答案】（1） 4  ；（2） 60． （2）∵ sin C sin c b  ， ∴ sin C 4 10sin bc   ．…………………10 分 ∴ C 的面积 1 1 3 10sin 10 4 10 602 2 10S bc       ．…………………12 分 18.（本小题满分 12 分） 【答案】（1） 40x  ， 10y  ， 60  ， 40  ；（2）条形统计图见解析，疫苗有效；（3）有 99.9%的把握认为疫苗有效. 【解析】（1）设“从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物”为事件  ，由已知得   30 2 100 5 y     ，所以 10y  ， 40  ， 40x  ， 60  ．…………………5 分 （2）未注射疫苗发病率为 40 2 60 3  ，注射疫苗发病率为 10 1 40 4  ． 发病率的条形统计图如图所示，…………………7 分 由图可以看出疫苗有效．…………………8 分 （3）  2 2 100 20 10 30 40 50 50 40 60        …………………9 分 1000000 50 16.67 10.82850 20 60 3      ．…………………11 分 所以有 99.9%的把握认为疫苗有效. …………………12 分 19.（本小题满分 12 分） 【答案】（1）证明见解析；（2） 3 6 ． 【解析】 （2）连结 C ， 1  ，则 1 1E A BC C A EBV V  ∵ 1AB AC AA 1   ， AB AC ， E 是 1BB 的中点， ∴ 1 1C A EB A EB 1 1V CD3 12S    ，…………………9 分 设点 E 到平面 1A BC 的距离为 h ，∴ 1A BC 是边长为 2 的正三角形， 1A BC 3 2S  ，∴ 1E A BC 1 3 3 1V 3 2 6 12 hh      ，∴ 3 6h  ∴点 E 到平面 1A BC 的距离为 3 6 .…………………12 分 20.（本小题满分 12 分） 【答案】（1） 2 2 14 3 x y  ；（2） 3 5 2  ． （2）由 F F    ，可知  ，  ， F三点共线，设  1 1,x y ，  2 2,x y ， 若直线 x  轴，则 1 2 1x x  ，不合题意． 当  所在直线l 的斜率 k 存在时，设方程为  1y k x  ． 由   2 2 1 14 3 y k x x y       ，消去 y 得 2 2 2 23 4 8 4 12 0k x k x k     ．① 由①的判别式     4 2 2 264 4 4 3 4 12 144 1 0k k k k        ． 因为 2 1 2 2 8 4 3 kx x k    …………………7 分 所以 2 1 2 2 8 1 4 3 2 kx x k    ，所以 2 1 4k  ．…………………8 分 将 2 1 4k  代入方程①，得 24 2 11 0x x   ， 解得 1 3 5 4x  ．…………………10 分 又因为  1 1F 1 ,x y    ，  2 2F 1,x y   ， F F    ， 1 2 1 1 x x    ，解得 3 5 2   ．…………………12 分 21.（本小题满分 12 分） 【答案】（1）   ln 2 3f x x x   ；（2）  f x 的单调增区间为 10, 2      ，单调减区间为 1 ,2     ； （3） 17, 2      ． （3）由在区间 1 ,52      内 2( ) lnf x x x kx   得： 2ln 2 3 lnx x x x kx     ， 32k x x      …………………8 分 设 3( ) 2g x x x     ， 2 3( ) 1g x x     ，令 ( ) 0g x  ，得 3x  （负值舍去）． 令 ( ) 0g x  ，得 0 3x  ，令 ( ) 0g x  ，得 3x  故当 1( , 3)2x 时， ( )g x 单调递增，当 ( 3,5)x 时， ( )g x 单调递减， 从而 ( )g x 的最小值只能在区间 1 ,52      的端点处取得…………………10 分 1 1 17( ) 2 62 2 2g       ， 3 38(5) 5 2 5 5g       ， ∴ min 17[ ( )] 2g x   ． 所以 17 2k   ，即 k 的取值范围为 17, 2      ．…………………12 分 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清 题号. 22.（本题满分 10 分）选修 ：几何证明选讲 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 23.（本题满分 10 分）选修 4－4：坐标系与参数方程 【答案】（1）   2 21 1 0x y y    ；（2） 3 2 3,2 2       ． 【解析】 试题解析：（1）由  2 0     ，得  2 2 4 0x y y   设  1 1P ,x y ，  Q ,x y ， 则 1 12 ,2 2 x yx y  ，即 1 12 2, 2x x y y   ，代入  2 2 1 1 4 0x y y   ， 得   2 22 2 2 4x y   ，∴   2 21 1 0x y y    ；…………………5 分 （Ⅱ）轨迹 C 是一个以 1,0 为圆心，1半径的半圆，如图所示， 设  M 1 cos ,sin  ，设点 M 处切线l 的倾斜角为 由l 斜率范围 33, 3       ，可得 2 5 3 6    ， 而 2    ，∴ 6 3    ，∴ 3 2 31 cos2 2     ， 所以，点 M 横坐标的取值范围是 3 2 3,2 2       ．…………………10 分 24.（本题满分 10 分）选修 4－5：不等式选讲 【答案】（1） 5 3x x x  或 ；（2）证明见解析． （2）   bf ab a f a      ，即 1ab a b   ． 因为 1a  ， 1b  ， 所以       2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 1 0ab a b a b ab a ab b a b             ， 所以 1ab a b   ，故所证不等式成立．…………………10 分