河南省2021届高三数学（理）上学期期中考试试卷（Word版附答案） 9页

2020—2021 学年上期期中试卷 高三 理科数学 （时间：120 分钟，满分：150 分） 一．选择题（本题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分.每题只有一个选项是正确的） 1．已知集合 1| 03 xA x x     „ ， { || | 2}B x x  ，则 (A B  ) A．{ | 2 1}x x   B．{ | 3 2}x x   C．{ | 2 1}x x  „ D．{ | 2 1}x x „ „ 2．复数 1 ( )z a i a R   ， 2 1z i  ，且 1 2 z z 为纯虚数，则 1z 在复平面内对应的点位于 ( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．定义符号函数 1, 0 0, 0 1, 0 x sgnx x x      则函数 ( ) sinf x x sgnx  的图象大致是 ( ) A． B． C． D． 4．抛掷一枚质地均匀的骰子 2 次，则 2 次点数之和为 6 的概率为 ( ) A． 1 11 B． 1 36 C． 5 36 D． 1 6 5．下列说法中正确的个数是 ( ) （1）若命题 0:p x R  ， 2 0 0 0x x „ ，则 0:p x R   ， 2 0 0 0x x  ； （2）命题“在 ABC 中， 30A   ，则 1sin 2A  ”为真命题； （3）设{ }na 是公比为 q 的等比数列，则“ 1q  ”是“{ }na 为递增数列”的充分必要条件； （4） ABC 中，若 A B ，则 sin sinA B 为真命题． A．0 B．1 C．2 D．3 6．若 5 2 5 50 1 2( 2) ( 2) ( 2)x a a x a x a x       ，则 0 (a  ) A． 32 B． 2 C．1 D．32 7．若变量 x ， y 满足约束条件 2 1 0 1 0 1 0 x y x y y        … „ … ，则 2z x y  的最大值为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某四棱锥 的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为( ) A．136 B． 34 C． 25 D．18 9．设 0a  ， 0b  ，若 2 是 4a 与 2b 的等比中项，则 1 2 a b  的最小 值为 ( ) A． 2 2 B．8 C．9 D．10 10．将函数 ( ) 2sin 1f x x  的图象向左平移 1(0 )2    个单位长度后得到函数 ( )g x 的图 象，若使| f（a） g （b）| 4 成立的 a 、b 有 3| | 4mina b  ，则下列直线中可以是函数 ( )y g x 图象的对称轴的是 ( ) A． 1 4x   B． 1 2x  C． 3 4x  D． 5 4x  11．若 2 3 52 3 52 3 5 a b cln ln ln     ，则 ( ) A． 3 5 2bln cln aln  B． 2 5 3aln cln bln  C． 5 2 3cln aln bln  D． 2 3 5aln bln cln  12．如图，在边长为 2 的正方形 1 2 3APP P 中，线段 BC 的端点 B ，C 分别在边 1 2PP ， 2 3P P 上滑 动，且 2 2P B P C x  ．现将△ 1APB ，△ 3AP C 分别沿 AB ， AC 折起使点 1P ， 3P 重合，重合 后记为点 P ，得到三棱锥 P ABC ．则以下结论正确的个数为 ( ) ① AP  平面 PBC ； ② x 的取值范围为 (0,4 2 2) ； ③当 B ，C 分别为 1 2PP ， 2 3P P 的中点时，三棱锥 P ABC 的外接球的表面积为 6 ； ④三棱锥 P ABC 体积的最大值为 1 3 ． A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．向量 a ，b  满足| | 2a  ，| | 3b  ，且 ( )b a b   ，则向量 a 与 b  的夹角的大小为 ． 14．函数 ( ) sin 1f x ax b x   ，若 f （5） 7 ，则 ( 5)f   ． 15．已知平面四边形 ABCD 由 ACD 与等边 ABC 拼接而成，其中 2 2AD CD  ，则平面 四边形 ABCD 面积的最大值为 ． 16．已知数列{ }na 共 16 项，且 1 1a  ， 8 4a  ．记关于 x 的函数 3 2 21( ) ( 1)3n n nf x x a x a x    ， *n N ．若 1 (1 15)nx a n „ „ 是函数 ( )nf x 的极值点，且曲线 8 ( )y f x 在点 16(a ， 8 16( ))f a 处 的切线的斜率为 15．则满足条件的数列{ }na 的个数为 ． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.） 17．（本小题满分 12 分）在 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 2 2 2 4 2 3b c a bc   ． （Ⅰ）求 sin A 的值； （Ⅱ）若 ABC 的面积为 2 ，且 2 sin 3sinB C ，求 ABC 的周长． 18．（本小题满分 12 分）各项均正的数列{ }na 前 n 项和为 nS ， nS 是 na 与 1 na 的等差中项． （Ⅰ）证明： 2{ }nS 为等差数列，并求 nS ； （Ⅱ）设 1 1 n n n b S S   ，数列{ }nb 的前 n 项和为 nT ，求满足 5nT … 的最小正整数 n 的值． 19．（本小题满分 12 分）四棱锥 1 1 1 1P A B C D 与直四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 组合而成的几何体 中，四边形 ABCD 是菱形， 2AB  ， 1 2AA  ， 2PO  ， 60DAB   ， 1 1AC 交 1 1B D 于 O ，PO  平面 1 1 1 1A B C D ，M 为 AD 的中点． （Ⅰ）证明： 1AD  平面 1A MB （Ⅱ）动点 Q 在线段 1AA 上（包括端点），若二面角 P 一 1BC 一 Q 的余弦值为 5 29 29 ，求 1A Q 的长度． 20．（本小题满分 12 分）2019 年，受非洲猪瘟影响，全国猪肉价格大幅上涨.10 月份全国居 民消费指数 ( )CPI 同比上涨 3.8% ，创七年新高，某学习调查小组为研究某市居民对猪肉市 场的信心程度，对当地 200 名居民在未来一段时间内猪肉价格上涨 幅度的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如图所示的频率分布 直方图： （Ⅰ）求图中 a 的值，并估算该市居民对猪肉价格上涨幅度的平均 心理预期值； （Ⅱ）将猪肉价格上涨幅度预期值在[10 ，30) 和[90 ，110) 的居民 分别定义为对市场“信心十足型”和“信心不足型”，现采用分层抽样 的方法从样本中位于这两个区间的居民中随机抽取 6 名，再从这 6 人中随机抽取 3 名进行跟踪调查，记 X 表示这三人中“信心十足型”的人数，求 X 的分布列、 数学期望与方差． 21．（本小题满分 12 分）已知函数 ( ) 2( )af x x lnxx   ， a R ． （Ⅰ）当 0a  时，求 ( )f x 的单调区间； （Ⅱ）当 1a  时，有 ( ) mxf x me m„ 成立，求实数 m 的取值范围． （二）选考题（共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按 所做第一题计分） 22．在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为 4cos (2sin x y      为参数），将曲线 C 上各点纵 坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变），得到曲线 1C ，以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 4 cos 3 sin 25 0      ． （Ⅰ）写出 1C 的极坐标方程与直线l 的直角坐标方程； （Ⅱ）曲线 1C 上是否存在不同的两点 1(4, )M  ， 2(4, )N  （以上两点坐标均为极坐标， 10 2 „ ， 20 2 ) „ ，使点 M 、N 到l 的距离都为 3？若存在，求出 1 2| |  的值；若不 存在，请说明理由． 23．已知函数 ( ) | 2 7 | | 2 5 |f x x x    ． （Ⅰ）解不等式 ( ) 6f x … ； （Ⅱ）设函数 ( )f x 的最小值为 m ，已知正实数 a ， b ，且 2 21 , a bk max a b a b       ，证明： 2 1k m… ． 2020—2021 学年上期期中答案 高三 理科数学 一．选择题（本题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分.每题只有一个选项是正确的） 二．填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13、 6  14、-5 15、 8 5 3 4  16、1176 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.） 17. （本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ） 2 2 2 4 2 3b c a bc   ， 由余弦定理可得 4 22 cos 3bc A bc ， ------------------2 分 2 2cos 3A  ， ------------------------------------------- --3 分 在 ABC 中， 2 1sin 1 3A cos A   ． ---------------------------------------------5 分 （Ⅱ） ABC 的面积为 2 ，即 1 1sin 22 6bc A bc  ， 6 2bc  ，-----------------7 分 又 2 sin 3sinB C ，由正弦定理可得 2 3b c ，------------------------------------------9 分 3 2b  ， 2c  ，则 2 2 2 2 cos 6a b c bc A    ， 6a  ，---------------------------11 分 ABC 的周长为 2 3 2 6  ．----------------------------------------------------------------12 分 18. （本小题满分 12 分） 解：（1）证明：由 nS 是 na 与 1 na 的等差中项，可得 12 n n n S a a   ， 当 1n  时， 1 1 1 1 12 2a S a a    ，解得 1 1( 1a   舍去），--------------------------------------2 分 当 2n… 时， 1n n na S S   ，可得 1 1 12 n n n n n S S S S S      ， 化为 1 1( )( ) 1n n n nS S S S    ，即 2 2 1 1n nS S   ，-------------------------------------------4 分 则 2{ }nS 为首项为 1，公差为 1 的等差数列， 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A B C B D B B B D C C 由 2 1 1nS n n    ，可得 nS n ， *n N ；----------------------------------- --------6 分 （2） 1 1 1 1 1n n n b n nS S n n        ，----------------------------------------8 分 2 1 3 2 2 3 1 1 1nT n n n            ，------------------------10 分 5nT … ，即 1 1 5n   … ，解得 35n… ， 则满足 5nT … 的最小正整数 n 的值为 35．--------------------------------------------------12 分 19. （本小题满分 12 分） 解：解： ( )I 矩形 1 1ADD A 中， 1 1 2tan 2 2 D AA   ， 1tan 2A MA  ， 1 1 1D AA A MA   ， 1 1A M AD ，---------------------------------------------------------1 分 因为菱形 ABCD ，且 60DAB   ，所以 AD BD ，所以 ABD 为正三角形，M 为 AD 中点， 所以 BM AD ，--------------------------------------------------------------------------3 分 所以 BM  平面 1 1ADD A ，所以 1BM AD ，又 1A M BM M ， 所 以 1AD  平 面 1A MB ； -----------------------------------------------------------------------5 分 ( )II 以 O 为原点， 1OA ， 1OB ，OP 分别为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐 标系， (0P ，0， 2) ， (0B ，1， 2) ， 1( 3C  ，0， 0) ， 设 ( 3Q ， 0 ， ) ， 则 1 ( 3,0, 2)PC    ， 1 ( 3, 1, 2)BC    ， 1 (2 3,0, )C Q  ， ------------------------------------------------------------------------------------------------------7 分 设平面 1PBC 法向量为 ( , , )m x y z ， 由 1 1 3 2 0 3 2 0 m PC x z m BC x y z             ，得 ( 2,2 6, 3)m   ，-----------------------------8 分 设平面 1BC Q 的法向量为 ( , , )n a b c 由 1 1 3 2 0 2 3 0 n BC a b c n C Q a c            ，得 ( , 3 2 6, 2 3)n      ，---------------------10 分 所以 2 2 | 2 6 2 24 6 | 5 29| cos , | 2929 ( 3 2 6) 12 m n                  ，化简得 ( 60 2) 0    ， 故 0  ，Q 与 1A 重合， 1 0AQ  ．---------------------------------------------------------12 分 20（本小题满分 12 分） 解：（1）由直方图知 (0.005 0.02 0.0075 0.0025) 20 1a      ，解得 0.015a  ． 设该市居民对猪肉价格上涨幅度的平均心理预期值为 x ， 则 (0.005 20 0.015 40 0.02 60 0.0075 80 0.0025 100) 20 55x             ， 所以该市居民对猪肉价格上涨幅度的平均心理预期值为 55% ．-------------------------4 分 （2）由题意，样本中，“信心十足型”型居民有 0.005 20 200 20   人． “信心不足型”型居民有 0.0025 20 200 10   人． 由分层抽样的定义可知“信心十足型”居民抽取 4 人，“信心不足型”居民抽取 2 人． ----------------------------------------------------------------------------------------------------------6 分 则 X 的可能取值为 1，2，3， 1 2 4 2 3 6 1( 1) 0.25 C CP X C     ， 2 1 4 2 3 6 3( 2) 0.65 C CP X C     ， 3 0 4 2 3 6 1( 3) 0.25 C CP X C     ， 故 X 的分布列为 X 1 2 3 P 0.2 0.6 0.2 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------10 分 ( ) 1 0.2 2 0.6 3 0.2 2E X        ， 2 2 2( ) (1 2) 0.2 (2 2) 0.6 (3 2) 0.2 0.4D X           ．--------------------------------12 分 21（本小题满分 12 分） 解：（1）当 0a  时， ( ) 2f x xlnx ， 0x  ， ( ) 2(1 )f x lnx    ，令 ( ) 0f x  ，解得 1x e  ， 当 10 x e   时， ( ) 0f x  ，当 1x e  时， ( ) 0f x  ， 函数 ( )f x 的单调递减区间为 1(0, )e ，单调递增区间为 1(e ， ) ；-----------------4 分 （2）当 1a  时， 1( ) 2( )f x x lnxx   ， 由于 ( ) mxf x me m„ 成立，即 1( ) mxx lnx me mx  „ 成立， 等价于 22( 1) ( 1) ( 1)mx mx mxx lnx mx e e lne   „ 成立，--------------------------------------6 分 令 ( ) ( 1)g x x lnx  ， 2( ) ( )mxg x g e „ 1( ) 1g x lnx x      ，令 1( ) 1h x lnx x    ， 2 2 1 1 1( ) xh x x x x      ， 当 0 1x  时， ( ) 0h x  ，函数 ( )h x 单调递减， 当 1x  时， ( ) 0h x  ，函数 ( )h x 单调递增， ( )h x h … （1） 2 0  ， ( ) 0g x   ，函数 ( )g x 在 (0, ) 上单调递增， 2 mxx e „ ， 2lnx mx „ ，即 2lnxm x… 恒成立，----------------------------------------------9 分 令 ( ) lnxx x   ， 0x  ， 2 1( ) lnxx x     ， 令 ( ) 0x  ，解得 x e ， 当 0 x e  时， ( ) 0x  ，函数 ( )h x 单调递增， 当 x e 时， ( ) 0x  ，函数 ( )h x 单调递减， ( )maxx   （e） 1 e  ，-----------------------------------------------------------------------11 分 2m e  … ，故实数 m 的取值范围为 2[e ， ) ．--------------------------------------------12 分 （二）选考题（共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按 所做第一题计分） 22.解：（1）由曲线 C 的参数方程为 4cos 2sin x y      可得其直角坐标方程为 2 2 116 4 x y  ， -----------------------------------------------------------------------------------------------------------1 分 将曲线 C 上各点纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变），得到曲线 1C 的直角坐标方程为 2 2 16x y  ，其极坐标方程为 4  ，------------------------------------------------------3 分 又直线 l 的极坐标方程为 4 cos 3 sin 25 0      ，故其直角坐标方程为 4 3 25 0x y   ； -----------------------------------------------------------------------------------------------------------5 分 （2）曲线 1C 是以 O 为圆心，4 为半径的圆， 圆 心 O 到 直 线 l 的 距 离 为 2 2 | 4 0 3 0 25 | 5 4 3 d       ， 存在这样的点 M ，N ，则 / /MN l ，且点O 到 直线 MN 的距离为| | 2OD  ，  2 3MON   ，  1 2 4| | 3    ．-----------------------------------------------------------------------------------10 分 23.解：（Ⅰ）由 ( ) 6f x … ，得不等式| 2 7 | | 2 5 | 6x x   … ， 当 5 2x  时，不等式可化为 (2 7) (2 5) 6x x    … ，解得 3 2x„ ； 当 5 7 2 2x„ „ 时，不等式可化为 (2 7) (2 5) 6x x    … ，即 2 6… ，无解； 当 7 2x  时，不等式可化为 (2 7) (2 5) 6x x   … ，解得 9 2x… ． 综上，不等式 ( ) 6f x … 的解集是 3 9( , ] [ , )2 2   ． --------------------------------------------------------------------------------------------------------5 分 （Ⅱ） ( ) | 2 7 | | 2 5 | | 2 7 (2 5) | 2f x x x x x        … ， 当且仅当 (2 7)(2 5) 0x x  „ 时取等号， 2m  ．----------------------------------------7 分  2 2 2 1 ( ) 2 a b a b   … ， 2 21 1 2 a b a b a b    … ．  2 21 , 0a bk max a b a b       ，  2 2 2 1 1 2 a bk a b a b   … … ， 22 1k … ，即 2 1k m… ． --------------------------------------------------------------------------------------------------------10 分