河北省张家口市第一中学2021届高三数学上学期期中试题（实验班）（Word版附答案） 10页

高三年级 2020-2021 学年第一学期期中考试数学试卷（实验班） 第 I 卷（选择题） 一、单选题 1．设集合  2 8 0xA x   ，  2 7 10 0B x x x    ，则 A B  （ ）． A． 2 3x x  B． 3 5x x  C． 5x x  D． 2x x  2．设复数  1z bi b R   ，且 2 3 4z i   ，则 z 的虚部为（ ） A． 2i B． 2i C． 2 D． 2 3．直线 1: 2 1 0l ax y   与   2 2: 1 0l x a y a    平行,则 a （ ） A． 1 B．2 C． 1 或 2 D．0 或 1 4．记等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，且 3 5a  ， 4 2 4S S  ，则 10a  （ ） A．9 B．11 C．19 D．21 5．已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a ，点 ,E F 分别是 ,BC AD 的中点，则 AE AF  的值为（ ） A． 2a B． 21 2 a C． 21 4 a D． 23 4 a 6．直线 0x y a   与圆 2 2 2 4 3 0x y x y     有两个不同交点的一个必要 不充分条件是（ ） A． 2 3a   B． 1 3a   C． 2 0a   D． 0 < < 3a 7．已知函数   2f x x ln x  ，则函数  y f x 的大致图象是（ ） A． B． C． D． 8．已知定义在 R 上的函数 ( )y f x 满足；函数 1y f x （ ） 的图象关于直线 1x  对称， 且当 ( , 0)x   时， ( ) ( ) 0f x xf x  （其中 ( )f x 是函数 ( )f x 的导函数）恒成立，若 1 1 2 2 1 1 1 1sin sin , (ln 2) (ln 2), log log2 2 4 4a f b f c f                          ，则 , ,a b c 的大小 关系是 （ ） A． a b c  B．b a c  C． c a b  D． a c b  二、多选题 9．若 2 3x  ，3 4y  ，则下列选项正确的是（ ） A． 3 2y  B． x y C． 2xy  D． 2 2x y  10． ABC 是边长为 2 的等边三角形,已知向量 ,a b  满足 2AB a  , 2AC a b   ,则下列结论中正 确的是( ) A． a 为单位向量 B．b 为单位向量 C． a b  D． (4 )a b BC   11．已知函数  f x 的导函数  f x 的图像如图，则下列叙述正确的是（ ） A．函数  f x 只有一个极值点 B．函数  f x 满足    4 1f f   ，且在 4x   处取得极小值 C．函数  f x 在 2x  处取得极大值 D．函数  f x 在  , 4  内单调递减 12．已知函数 ( ) sin 2 3 cos2f x x x  ，则下列结论正确的是（ ） A．  f x 的最小正周期为 2 B．  f x 的图象关于点 ,03      成中心对称 C．  f x 的图象关于直线 5 12x   对称 D．  f x 的单调递增区间是 5 , ( )12 12         k k k Z 第 II 卷（非选择题） 三、 填空题 13．若正数 ,x y 满足 3 5x y xy  ，则3 4x y 的最小值是___________. 14．给出以下四个命题： ①若 cos cos 1   ，则sin( ) 0   ； ②已知直线 x m 与函数 ( ) sinf x x ， ( ) sin( )2g x x  的图像分别交于点 ,M N ， 则| |MN 的最大值为 2 ； ③若数列 2 ( )na n n n N    为单调递增数列，则  取值范围是 2   ； ④已知数列{ }na 的通项 3 2 11na n   ，前 n 项和为 nS ，则使 0nS  的 n 的最小值为 12. 其中正确命题的序号为__________. 15. 已知定义在 R 上的奇函数 ( )f x 满足 ( 4) ( )f x f x   ，且在区间 0,2 上是增函数, 若方程    0f x m m  在区间 8,8 上有四个不同的根，则 1 2 3 4 ____.x x x x    16. 已知过球面上三点 A、B、C 的截面到球心的距离等于球半径的一半，且 AB=6，AC=8， BC=10，则球的半径等于________；球的表面积等于__________. 四、解答题 17．已知 a R ，命题 p ：“  0,2 ,2 4 0x xx a     均成立”，命题 q：“函数    2ln 2f x x ax   定义域为 R ”. （1）若命题 p 为真命题，求实数 a 的取值范围； （2）若命题“ p q ”为真命题，命题“ p q ”为假命题，求实数 a 的取值范围 18．在① 2 2 2cos cos sin sin sinC A B B C   ，② 3 2 sinb a B ，③ ABC 的面积 sinS AB AC A   ，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.（如果选择多 个条件作答，则按所选的第一个条件给分） 在 ABC 中，角 A 、 B 、C 所对的边分别为 a 、b 、 c ，且角 A 为锐角， （1）求角 A ； （2）若 2a  ，求b c 的取值范围. 19．已知等比数列 na 的前 n 项和是 nS ，且 1 22, 1 S a 是 1a 与 3a 的等差中项． （1）求数列 na 的通项公式； （2）若数列 nb 满足   22 log  n n nb S a ，求数列 nb 的前 n 项和 nT ． 20.四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形， //BC AD ， AD DC ， 1BC CD  ， 2AD  ， PA PD ， E 为 PC 的中点， F 为 AD 的中点， 平面 PAD  底面 ABCD . （Ⅰ）证明：平面 BEF  平面 PAD ； （Ⅱ）若 PC 与底面 ABCD 所成的角为 3  ，求二面角 E BF A  的余弦值. 21．平面内有两个定点 A（1，0），B（1，﹣2），设点 P 到 A、B 的距离分别为 1 2d d， ， 且 1 2 2d d  （I）求点 P 的轨迹 C 的方程； （II）是否存在过点 A 的直线l 与轨迹 C 相交于 E、F 两点，满足 2 2OEFS  （O 为坐标原点）．若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 22．已知函数 2( ) lnf x x x ax   . （1）当 1a  时，求曲线 ( )y f x 在 1x  处的切线方程； （2）若 ( ) 0f x  恒成立，求 a 的取值范围 高三年级 2020-2021 学年第一学期期中考试数学答案（实验班） 一、选择题 1-5.BDBCC 6-8:AAA 9.BCD 10.AD 11.AC 12.BCD 二．填空题 13.5 14.①② 15.-8 16. 3 310 3 400 三．解答题 17.（1）设  2 , 1,4xt t  ，则 2a t t  在  1,4t  上恒成立， 令   2 2 1 1 2 4g t t t t        ，则  g t 在 1,4 单调递增，    min 1 0g t g   ，故 0a  . （2）当命题 q为真命题时， 2 2 0x ax   在 R 上恒成立， 2 8 0a    ，解得： 2 2 2 2a   ，  命题“ p q ”为真命题，命题“ p q ”为假命题， 命题 ,p q 一真一假， 0 2 2 2 2 a a a     或 或 0 2 2 2 2 a a    ， 解得： 2 2a   或 0 2 2a  . 18.（1）选①由 2 2 2cos cos sin sin sinC A B B C   ， 得  2 2 21 sin 1 sin sin sin sinC A B B C     由正弦定理，得 2 2 2b c a bc   .所以 2 2 2 1cos 2 2 b c aA bc    因为 π0 2A  ，所以 π 3A  . 选② 3 2 sinb a B ，则 3sin 2sin sinB A B ， 3sin 2A  . π0 2A  ，所以 π 3A  . 选③ sinS AB AC A   ，则 1 sin cos sin2 bc A bc A A . sin 0A  ，所以 1cos 2A  ，又 π0 2A  ，所以 π 3A  . （2） 2 6 2 6 2 62 sin 2 sin sin sin sin sin sinsin sin 3 3 3 a ab c R B R C B C B C BA A          2 6 2 6 2 6 3 1sin sin cos sin3 3 3 2 2A B B B B          ， 化简得： π2 2 sin 6b c B      .因为 2π0 3B  ，所以 π π 5π 6 6 6B   ， 1 πsin 12 6B      ，即 2 2 2b c   . 19.（1）等比数列 na 的公比设为 q， 1 2S  ，即 1 2a  ， 2 1a  是 1a 与 3a 的等差中项，可得  1 3 22 1a a a   ， 所以 22 2 2(2 1)q q   ，整理求得 2q = ， 则 12 2 2 , *n n na n N    ； （2）由（1）可求得 12(1 2 ) 2 21 2 n n nS    ，   2 1 1 22 log 2 log 2 2n n n n n nb S a n        ， ∴ 2 3 4 11 2 2 2 3 2 2n nT n          .① 3 4 5 22 1 2 2 4 3 2 2         n nT n ，② ①－②得 2 3 4 1 22 2 2 2 2n n nT n         24(1 2 ) 21 2 n nn    2 2 22 4 2 (1 ) 2 4n n nn n          ， 所以 2( 1) 2 4n nT n     ， 20.（Ⅰ） //BC DF 四边形 BCDF 是平行四边形 //BF CD . 又 CD AD ， BF AD  . 又面 PAD  面 ABCD ，面 PAD  面 ABCD AD ， BF  面 ABCD BF  面 PAD 且 BF  面 BEF 平面 BEF  平面 PAD . （Ⅱ）连结 PF ， PA PD ， F 为 AD 中点， PF AD  又 PF  平面 PAD ，平面 PAD  平面 ABCD ， 平面 PAD  平面 ABCD AD ， PF  底面 ABCD ， 又 BF AD ，以 FA  ， FB  ， FP  分别为 x ， y ， z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设  0,0,P t ，  1,1,0C  ，取平面 ABCD 的法向量  1 0,0,1n  ，  1,1,PC t   ，  0,1,0B ， 1 1 sin 3 n PC n PC          ， 2 3 22 t t   ， 6t   0,0, 6P ， 1 1 6, ,2 2 2E      设平面 EBF 的法向量  2 , ,n x y z ， 2 2 1 1 6 02 2 2 0 n FE x y z n FB y                ，令 1z  ， 6x  ，  2 6,0,1n  . 设二面角 E BF A  的平面角为 1 2 1 2 7cos 7 n n n n           又 为钝角， 7cos 7    ，即二面角 E BF A  的余弦值为 7 7  . 21.（Ⅰ）设 P（x，y）， 则 ，d2= ， ∵ ，∴ = ， 整理得：    2 2x 1 y 4 8    , ∴点 P 的轨迹 C 的方程为   2 2x 1 y 4 8    ． （II）存在过点 A 的直线 l ，l 与轨迹 C 相交于 E，F 两点，且使三角形 S△OEF 2 2 ． 理由如下：①当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x=1， 直线过圆心， EF 4 2 ， 点O 到直线l 的距离为 1， 此时， ΔOEF 1S EF 1 2 22     ，所以成立． ②当直线 l 斜率存在时，设 l 方程为：  y k x 1  ． 点C 到 l 的距离 3 2 4d k 1   ，利用勾股定理，得： 2 2 2 16 8k 8EF 2 8 2k 1 k 1     ． 点O 到 l 的距离 4 2 kd k 1   ， 2 ΔOEF 2 2 k1 8k 8S 2 2 22 k 1 k 1      ， 整理得 23k 1  ，无解．所以直线斜率存在时满足题意的直线不存在． 综上，存在过点 A 的直线 l ：x=1，满足题意． 22. 1 1a  时，函数   2lnf x x x x   ，可得   1' 2 1f x xx    ，所以  ' 1 2f   ， 1x  时，  1 2f   ．曲线  y f x 则 1x  处的切线方程；  2 2 1y x    即： 2y x  ；  2 由条件可得 2ln 0( 0)x x ax x    ，则当 0x  时， lnxa xx   恒成立， 令   ln ( 0)xh x x xx    ，则   2 2 1 ln' x xh x x   ，令   21 ln ( 0)k x x x x    ， 则当 0x  时，   1' 2 0k x x x     ，所以  k x 在 0, 上为减函数．又  ' 1 0k  ， 所以在 0,1 上，  ' 0h x  ；在  1, 上，  ' 0h x  ． 所以  h x 在 0,1 上为增函数；在 1, 上为减函数． 所以  ( ) 1 1maxh x h   ，所以 1a   ．