高考数学易错题解题方法(6) 共7套 免费 11页

高考数学易错题解题方法大全（6）(共 7 套) 【范例 1】若函数 14)( 2  xxxf 在定义域 A 上的值域为[-3，1]，则区间 A 不可能为（ ） A．[0，4] B．[2，4] C．[1，4] D．[-3，5] 答案：D 【错解分析】此题容易错选为 B，C，D，错误原因是没有借助图象很好的掌握定义域和值域的关系。 【解题指导】注意到 1)4()0(,3)2(14)( 22  f f xxxxf ，结合函数 )(xfy  的图象 不难得知 )(xf 在[0，4]、[2，4]、[1，4]上的值域都为[-3，1]，而在[-3，5]上的值域不是[-3，1]. 【练习 1】已知函数  y f x 是定义在 R 上的奇函数，且  1 2f  ，对任意 x R ，都有    2 (2)f x f x f   成立，则  2007f  ( ) A．4012 B．4014 C．2007 D．2006 【范例 2】已知全集 I  {大于 3 且小于 10 的整数}，集合 {0,1,2,3}A  ， { 4, 2,0,2,4,6,8}B    ，则 集合 BACI )( 的元素个数有 ( ) A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 答案：B 【错解分析】此题容易错选为 C，错误原因是看清全集 I  {大于 3 且小于 10 的整数}，而不是大于等于 3 。 【 解 题 指 导 】 { 2, 1,0, ,8,9}I     ，  9,8,7,6,5,4,1,2 ACU ,  ,8,6,4,2 BACU , 故 集 合 BACU  的元素个数有 4 个. 【练习 2】设全集 U 是实数集 R，  2| 4M x x ＝ ，  2|log ( 1) 1N x x   ，则图中阴影部分所表示的集合 是（ ） A． | 2 1x x   B． | 2 2x x   C． |1 2x x  D． | 2x x  【范例 3】下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) A. 3,y x x R  B. sin ,y x x R  C. lg , 0y x x  D. 3 ,2 x y x R     答案：A 【错解分析】此题容易错选为 B，C，D，错误原因是没看清楚题目考查的是函数的两个性质。 【解题指导】本题主要考查三角函数、对数函数、指数函数、幂函数的基本性质.其中 B 在其定义域内是 奇函数但不是减函数;C 是非奇非偶函数;D 在其定义域内不是奇函数,是减函数. 【练习 3】函数 xxf 2log1)(  与 12)(  xxg 在同一直角坐标系下的图象大致是（ ） 【范例 4】已知等差数列{an}的前 n 项和是 nanSn 22 1 82  ，则使 2006na 成立的最小正整数 n 为 （ ） A.2009 B.2010 C.2011 D.2012 答案： B 【错解分析】此题容易错选为 A，C，D，错误原因主要是不能准确的根据等差数列求和公式的性质求出 1d 且 21 a 。 【解题指导】设数列 na 的公差是 d ，则 ndanddnnnaSn )2(22 )1( 1 2 1  nan 22 1 82  ， 2 1 2 d 且 2 7 22 18 1 daada  ， 1d 且 21 a ， 2009,20063)1(2  nnnan 因此使 2006na 成立的最小正整数 n=2010，选 B. 【练习 4】无穷数列 1， 3 1 ， 3 1 ， 3 1 ， 5 1 ， 5 1 ， 5 1 ， 5 1 ， 5 1 ，…的前（ ）项和开始大于 10. A.99 B.100 C.101 D.102 【范例 5】若 1( , ),sin 2 ,4 2 16     则 cos sin  的值是( ) A. 16 15 B. 4 15 C. 4 15 D. 4 15 答案：C 【错解分析】此题容易错选为 B，错误原因是没有弄清楚 ,4 2      时，sin , 与cos 的大小。 【解题指导】 ,sincos)2,4(  又 16 15cossin21)sin(cos 2  , 所以 cos sin  = 4 15 【练习 5】若 ,cossin,cossin,40 nm  则( ) A. nm  B. nm  C. 1mn D. 2mn 【范例 6】直线 mx  ， xy  将圆面 422  yx 分成若干块，现用 5 种颜色给这若干块涂色，每块只涂 一种颜色，且任意两块不同色，共有 120 种涂法，则 m 的取值范围是（ ） A B C D A． )2,2( B. )2,2( C． )2,2()2,2(  D． ),2()2,(   答案：A 【错解分析】此题容易错选为 B,C,D，错误原因是没有能够 耐心的分类 讨论去计算到底. 【 解 题 指 导 】 如 图， ① 当 2m 或 2m 时 ，圆 面 422  yx 被 分 成 2 块 ， 涂 色 方 法 有 20 种 ； ② 当 22  m 或 22  m 时，圆面 422  yx 被分成 3 块，涂色方法有 60 种；③当 22  m 时，圆面 422  yx 被分成 4 块，涂色方法有 120 种，所以 m 的取值范围是 )2,2( ，故选 A. 【练习 6】已知单位正方体 1111— DCBAABCD 的对棱 BB1 、DD1 上有两个动点 E、F，BE=D1F=λ       2 10 ，设 EF 与 AB 所成的角为  ，与 BC 所成的角为 ，则  + 的最小值（ ） A．不存在 B．等于 60° C．等于 90° D．等于 120° 【范例 7】若向量 a b   与 不共线,且 0a b     , ( )a bc a b a a           ,则向量 ,a c   的夹角为 ． 答案：90° 【错解分析】此题容易错填的答案很多,主要是不能很好地领悟两向量我们主要研究了共线和垂直两种情况, 所以应该联想到借助数量积解决。 【解题指导】 0  ca . 【练习 7】在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的两个顶点为 O，（0，0），A（1，1），且 1OCOA ，则  ACAB . 【范例 8】已知函数   ( 2)2 af x x xx    的图象过点 A（3，7），则此函数的最小值是 . 答案：6 【错解分析】此题主要考查创造条件利用均值不等式解题的能力,容易错在构造均值不等式上。 【解题指导】 624222 422 4)(,4  xxxxxfa . 【练习 8】下列结论中正确的有 （1）当 2x  时， 1x x  的最小值为 2 （2） 0 2x  时， 2 2x x 无最大值 （3）当 0x  时， 1 2x x   （4）当 1x  时， 1lg 2lgx x   【范例 9】若圆 2 2 2 4 0x y x y a     关于直线 2y x b  成轴对称，则 a b 的范围是 . 答案：  ,1 【错解分析】此题容易错填为  ,1 ，错误原因是对二元二次方程表示圆的充要条件: 2 2 4 0D E F   误 以为 2 2 4 0D E F   。 【解题指导】圆心（-1，2）在直线 2y x b  上，所以 b=4，又 2 2 2 4 0x y x y a     表示圆的充要 条件是 4 16 4 0a   所以 5a  .【练习 9】已知向量 (2cos ,2sin ), (2cos ,2sin )a b         ，其向 量 a  与 b  的夹角为 060 ，则直线 0sincos  yx 与圆 2 1)sin()cos( 22  yx 的位置 关系是 . 【范例 10】长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AA1＝AD＝4，AB＝3，则直线 A1B 与平面 A1B1CD 所成角的正弦值 是 . 答案： 5 22 【错解分析】此题容易错在线面角的寻找上。 【解题指导】由条件知，BC1  平面 A1B1CD，设 BC1  B1C＝O，则∠BA1O 为所求角， 其正弦值为 BA BO 1 ＝ 5 22 【练习 10】在棱长为 1 的正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 的底面 A 1 B 1 C 1 D 1 内 取一点 E,使 AE 与 AB、AD 所成的角都是 60°,则线段 AE 的长为 . 【范例 11】由 1，2，3，4 这四个数，组成个位数字不为 2 的没有重复数字的四位数，共有 个 答案：18 【错解分析】此题容易错的地方是：没有优先考虑特殊情况。 【解题指导】先确定个位有三种情况，其余进行全排列， 3 33 18A  。 【练习 11】某机关的 2008 年新春联欢会原定 10 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个反映军民联手 抗击雪灾的节目，将这两个节目随机地排入原节目单，则这两个新节目恰好排在一起的概率是 _____________. 【范例 12】下列说法：①当 2ln 1ln10  xxxx 时，有且 ；②  ABC 中， A B 是sin sinA B 成 立的充要条件；③函数 xy a 的图象可以由函数 2 xy a （其中 0 1a a 且 ）平移得到；④已知 nS 是等 差数列 na 的前 n 项和，若 7 5S S ，则 9 3S S .；⑤函数 (1 )y f x  与函数 (1 )y f x  的图象关于直 线 1x  对称。其中正确的命题的序号为 . 答案：②③④ 【错解分析】此题容易错选为①⑤，而漏掉③。错选①主要是对均值不等式要是正数的前提条件理解不好， 漏掉③主要是对指数的化简没有考虑到。 【解题指导】①中③中将 2 xy a 可变形为 2log2log aa xx aaay  ， A1 B1 D1 A B C1 E M F CD ④中 07657  aaSS 所以 0)(3 7698765439  aaaaaaaaSS 【练习 12】给出下列 四个结论： ①“k＝1”“是函数 y＝cos2 k x－sin2 k x 的最小正周期为π”的充要条件. ②函数 y＝sin（2 x－ 6  ）沿向量 a＝（ 6  ，0）平移后所得图象的函数表达式是： y＝cos2 x. ③函数 y＝lg(a x2－2 a x＋1)的定义域是 R，则实数 a 的取值范围是（0，1）. ④单位向量 a、b 的夹角是 60°，则向量 2a－b 的模是 3 . 其中不正确结论的序号是 .（填写你认为不正确的所有结论序号） 【范例 13】已知函数 .,ln1)( R ax xaxf （1）求 )(xf 的极值； （2）若 kkxx 求上恒成立在 ,),0(0ln  的取值范围； （3）已知 .:,,0,0 21212121 xxxxexxxx  求证且 【错解分析】（1）化归思想在此题的应用是容易出错的地方，求 k 的取值范围时先整理出参数 k，（2）对 函数 ln( ) xf x x  是近年来考查的热点，应引起注意。 解：（1） / 2 ln( ) ,a xf x x  令 / ( ) 0f x  得 ax e 当 /(0, ), ( ) 0, ( )ax e f x f x  为增函数；当 /( , ), ( ) 0, ( )ax e f x f x   为减函数， 可知 ( )f x 有极大值为 ( )a af e e （2）欲使 ln 0x kx  在 (0, ) 上恒成立，只需 ln x kx  在 (0, ) 上恒成立， 设 ln( ) ( 0).xg x xx   由（1）知， 1( )g x x e e 在 处取最大值 ， 1k e   （3） 1 2 1 0e x x x    ，由上可知 ln( ) xf x x  在 (0, )e 上单调递增， 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 ln( ) ln ln( ) lnx x x x x x xx x x x x      即 ①， 同理 2 1 2 2 1 2 ln( ) lnx x x xx x   ② 两式相加得 1 2 1 2 1 2ln( ) ln ln lnx x x x x x    1 2 1 2x x x x   【练习 13】设函数 )1ln()( 2  xbxxf ，其中 0b . （1）若 12b   ，求 )(xf 在[1,3] 的最小值； （2）如果 ( )f x 在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b 的取值范围； （3）是否存在最小的正整数 N ，使得当 Nn  时，不等式 3 1 1ln n n n n   恒成立. 【范例 14】如图在三棱锥 S ABC 中 090ACB  ，SA ABC 面 ， 2AC  ， 13BC  ， 29SB  . （1）证明 SC BC 。 （2）求侧面 SBC 与底面 ABC 所成二面角的大小。 （3）求异面直线 SC 与 AB 所成角的大小。 【错解分析】对面面角，线面角的问题，我们应该先找出角，然后去证明，而不能只有计算出的结果。 解：（1）∵∠SAB=∠SCA=900 090 SA AB SA AC AB AC A SA ABC ACB BC AC SC BC            面 由于 即 由三重线定理得 （2） BC AC BC SC  0 , 13. 29 4 2 4 1 2 60 SCA SBC ABC Rt SCB BC SB SC SAC AC SC ACCOS SCA SC SCA               0 是侧面 与底面 所成二面角的平面角 在 中由于 在Rt 中由于 即侧面SBC与底面ABC形成的二面角的大小为60 （3） // . // .C CD BA A AD BC D过 作 过 作 交点为 2 2 2 2 2 17 2 3. 5 BC SA SB AB SD SA AD SCD            2 则四边形ABCD是平行四边形 DC=AB= AC 又 17故在 中,COS SCD= 17 17cos 17SC AB arc 与 所成角的大小为 【练习 14】如图， 正方形 ABCD 和 ABEF 的边长均为 1，且它 们所在的平面互相垂直，G 为 BC 的中点． S A B C A G F E D C B （1）求点 G 到平面 ADE 的距离； （2）求二面角 AGDE  的正切值． 【范例 15】设 1F 、 2F 分别是椭圆 2 2 15 4 x y+ = 的左、右焦点., （1）若 P 是该椭圆上的一个动点，求 21 PFPF  的最大值和最小值； （2）是否存在过点 A（5，0）的直线 l 与椭圆交于不同的两点 C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直 线 l 的方程；若不存在，请说明理由. 【错解分析】化归思想，消元思想是数学中的两大思想，要能彻底领悟，才是数学学习的最高境界。 解：（1）易知 )0,1(),0,1(,1,2,5 21 FFcba  设 P（x，y），则 1),1(),1( 22 21  yxyxyxPFPF 35 115 44 222  xxx ]5,5[x ， 0 x当 ，即点 P 为椭圆短轴端点时， 21 PFPF  有最小值 3； 当 5x ，即点 P 为椭圆长轴端点时， 21 PFPF  有最大值 4 （2）假设存在满足条件的直线 l 易知点 A（5，0）在椭圆的外部，当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 与椭圆无交点，所在直线 l 斜率存在，设为 k 直线 l 的方程为 )5(  xky 由方程组 2 2 2 2 2 21 (5 4) 50 125 20 05 4 ( 5) x y k x k x k y k x            ，得 依题意 2 5 520(16 80 ) 0 5 5k k      ，得 当 5 5 5 5  k 时，设交点 C ),(),( 2211 yxDyx 、 ，CD 的中点为 R ),( 00 yx ， 则 45 25 2, 45 50 2 2 21 02 2 21     k kxxx k kxx .45 20)545 25()5( 22 2 00   k k k kkxky 又|F2C|=|F2D| 122  RFkklRF 1 204 20 45 251 ) 45 20(0 2 2 2 2 2 2         k k k k k k kkk RF ∴20k2=20k2－4，而 20k2=20k2－4 不成立， 所以不存在直线l ，使得|F2C|=|F2D| 综上所述，不存在直线 l，使得|F2C|=|F2D|【练习 15】已知椭圆 W 的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率 为 6 3 ，两条准线间的距离为 6，椭圆 W 的左焦点为 F ，过左准线与 x 轴的交点 M 任作一条斜率不为零 的直线l 与椭圆 W 交于不同的两点 A 、 B ，点 A 关于 x 轴的对称点为C . （1）求椭圆 W 的方程； （2）求证：CF FB  (  R )； （3）求 MBC 面积 S 的最大值. 练习题参考答案： 1．B 2． C 3．C 4．C 5．A 6．C 7 ．1 8．（4） 9．相交 10. 2 11. 6 1 12. ④ 13. 解：（1）由题意知， )(xf 的定义域为 ),1(  ， 12b   时，由 2 / 12 2 2 12( ) 2 01 1 x xf x x x x       ，得 2x  （ 3x   舍去）， 当 [1,2)x 时， / ( ) 0f x  ，当 (2,3]x 时， / ( ) 0f x  ， 所以当 [1,2)x 时， ( )f x 单调递减；当 (2,3]x 时， ( )f x 单调递增， 所以 min( ) (2) 4 12ln3f x f   （2）由题意 2 / 2 2( ) 2 01 1 b x x bf x x x x       在 ),1(  有两个不等实根， 即 22 2 0x x b   在 ),1(  有两个不等实根， 设 ( )g x  22 2x x b  ，则 4 8 0 ( 1) 0 b g        ，解之得 10 2b  ； （3）对于函数   )1ln(2  xxxf ， 令函数   )1ln()( 233  xxxxfxxh , A G F E D C B H O 则   1 )1(3 1 123 23 2/   x xx xxxxh ，   0),0[ /  xhx 时，当 所以函数  xh 在 ),0[  上单调递增，又 ),0(,0)0(  xh 时，恒有   0)0(  hxh 即 )1ln(32  xxx 恒成立. 取 ),0(1  nx ，则有 32 11)11ln( nnn  恒成立. 显然，存在最小的正整数 N=1，使得当 Nn  时，不等式 32 11)11ln( nnn  恒成立 14．解：（1）∵BC∥AD， AD  面 ADE, ∴点 G 到平面 ADE 的距离即点 B 到平面 ADE 的距离． 连 BF 交 AE 于 H，则 BF⊥AE，又 BF⊥AD． ∴BH 即点 B 到平面 ADE 的距离． 在 Rt△ABE 中， 2 2BH ． ∴点 G 到平面 ADE 的距离为 2 2 ． （2）过点 B 作 BN⊥DG 于点 N，连 EN， 由三垂线定理知 EN⊥DN． ∴ ENB 为二面角 AGDE  的平面角． 在 Rt△BNG 中， 5 52sinsin  DGCBGN ∴ 5 5 5 52 2 1sin  BGNBGBN 则 Rt△EBN 中， 5tan  BN BEENB 所以二面角 AGDE  的正切值为 5 ． 15．解：（1）设椭圆 W 的方程为 2 2 2 2 1x y a b   ，由题意可知 2 2 2 2 6 ,3 , 2 6, c a a b c a c          解得 6a  ， 2c  ， 2b  ， 所以椭圆 W 的方程为 2 2 16 2 x y  ． （2）解法 1：因为左准线方程为 2 3ax c     ，所以点 M 坐标为 ( 3,0) .于是可设直线 l 的方程为 ( 3)y k x  ． 2 2 ( 3), 16 2 y k x x y     得 2 2 2 2(1 3 ) 18 27 6 0k x k x k     . 由直线l 与椭圆 W 交于 A 、 B 两点，可知 2 2 2 2(18 ) 4(1 3 )(27 6) 0k k k      ，解得 2 2 3k  ． 设点 A ， B 的坐标分别为 1 1( , )x y ， 2 2( , )x y , 则 2 1 2 2 18 1 3 kx x k    ， 2 1 2 2 27 6 1 3 kx x k   ， 1 1( 3)y k x  ， 2 2( 3)y k x  ． 因为 ( 2,0)F  ， 1 1( , )C x y ， 所以 1 1( 2, )FC x y   ， 2 2( 2, )FB x y  . 又因为 1 2 2 1( 2) ( 2)( )x y x y    1 2 2 1( 2) ( 3) ( 2) ( 3)x k x x k x      1 2 1 2[2 5( ) 12]k x x x x    2 2 2 2 54 12 90[ 12]1 3 1 3 k kk k k      2 2 2 2 (54 12 90 12 36 ) 01 3 k k k k k      ， 所以 CF FB  ． 解法 2：因为左准线方程为 2 3ax c     ，所以点 M 坐标为 ( 3,0) . 于是可设直线l 的方程为 ( 3)y k x  ，点 A ， B 的坐标分别为 1 1( , )x y ， 2 2( , )x y , 则点 C 的坐标为 1 1( , )x y ， 1 1( 3)y k x  ， 2 2( 3)y k x  ． 由椭圆的第二定义可得 2 2 1 1 3 | || | | | 3 | | x yFB FC x y   , 所以 B ， F ，C 三点共线，即CF FB  ． (Ⅲ)由题意知 1 2 1 1| || | | || |2 2S MF y MF y  1 2 1 | | | |2 MF y y   1 2 1 | ( ) 6 |2 k x x k   2 3| | 1 3 k k   3 3 3 1 22 33| || | kk     ，当且仅当 2 1 3k  时“=”成立， 所以 MBC 面积 S 的最大值为 3 2 ．