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- 2021-06-16 发布
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2020－2021 学年度第一学期期中考试
高三数学试题(B)
本试卷共 4 页，共 150 分，考试时间 120 分钟。
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.全集 U＝{x|－1≤x<3}，集合 A＝{x|－1≤x≤2}，则 Uð A＝
A.{x|－1≤x<2} B.{x|22}
2.己知复数 z＝1＋i， z 为 z 的共轭复数，则1 z
z
A. 3
2
i B.1
2
i C. 1 3
2
i D.1 3
2
i
3.下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递减的是
A.y＝x－2 B.y＝2－x C.y＝|lnx| D.y＝xsinx
4.已知 tanα＝2，则 sin(α－
4
)sin(α＋
4
)＝
A.－ 3
10
B.－ 3
5
C. 3
10
D. 3
5
5.《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而
一。其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积＝ 1
2
(弦×矢＋矢×矢)。弧田是由圆弧(弧田弧)
和以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，
“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差，现有一弧田，其弧田弦 AB 等于
6 米，其弧田弧所在圆为圆 O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为 7
2
平方米，则
sin∠AOB＝
A. 3
4
B. 7
25
C. 12
25
D. 24
25
6.在△ABC 中， AB AC 2AD ， AE 2DE 0 ，若 EB xAB yAC ，则
A.x＋2y＝0 B.2x＋y＝0 C.x－2y＝0 D.2x－y＝0
7.函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中 A>0，ω>0，|φ|<
2
)的图象如图所示，为了得到 f(x)的图象，只
需将 g(x)＝Asinωx 图象
A.向左平移
4
个单位长度 B.向右平移
4
个单位长度
C.向左平移
12
个单位长度 D.向右平移
12
个单位长度
8.定义域为(－
2
，
2
)的函数 f(x)满足 f(x)＋f(－x)＝0，其导函数为 f'(x)，当 00，b>0，且 a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是
A. 1 1
a b
≥1 B. ab ≤2 C. 2 2
1
a b
≤ 1
8
D.0< 1
ab
≤ 1
4
11.已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形，D，E 分别是 AC，AB 上的点，且 AE EB ，
AD 2DC ，BD 与 CE 交于点 O，则
A. OC EO 0
B. AB CE ＝0
C. OA OB OC OD ＝ 3 D. ED
在 BC
方向上的投影为 7
6
(12.已知函数 y＝f(x)在 R 上可导且 f(0)＝2，其导函数 f'(x)满足， f ' x f x
2x
>0，若函数 g(x)
满足 exg(x)＝f(x)，下列结论正确．．的是
A.函数 g(x)在(2，＋∞)上为增函数 B.x＝2 是函数 g(x)的极小值点
C.x≤0 时，不等式 f(x)≤2ex 恒成立 D.函数 g(x)至多有两个零点
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.已知复数 Z1，Z2 在复平面内对应的点分别为 Z1(－1，1)，Z2(0，1)，则 1
2
Z
Z
＝ 。
14.若不等式 ax2＋bx＋2<0 的解集为{x|x<－ 1
2
或 x> 1
3
}，则 a b
a
。
15.己知 sin( 3
2
＋α)＋2cos(π－α)＝sinα，则 sin2α＋sinαcosα＝ 。
16.已知函数 f(x)＝cosπx，g(x)＝eax－a＋ 1
2
(a≠0)，若 x1、x2∈[0，1]，使得 f(x1)＝g(x2)，则
实数α的取值范围为 。
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10 分)己知 ，B＝{x|x2－4x－m－＋4≤0}。
(1)求集合 A、B；
(2)当 m>0 时，若 x∈A 是 x∈B 成立的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围。
试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并完成解答。
①函数 f(x)＝lg(x2－4x－12)的定义域在 R 上的补集为集合 A。
②不等式|x－2|≤4 的解集为 A。
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
18.(12 分)已知函数 f(x)＝2x＋k·2－x，k∈R。
(1)若函数 f(x)为奇函数，求实数 k 的值；
(2)若对任意的 x∈[0，＋∞)，都有 2xf(x)>1 成立，求实数 k 的取值范围。
19.(12 分)已知△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若(a－c)sinA＋csin(A＋B)
＝bsinB。
(1)求角 B；
(2)若 a＋c＝4，求△ABC 周长的最小值，并求出此时△ABC 的面积。
20.(12 分)设函数 f(x)＝sin2ωx＋ 3 sinωxcosωx－ 1
2
的图象关于直线 x＝π对称，其中ω为常数，
且ω∈( 1
2
，1)。
(1)求函数 f(x)的解析式；
(2)将函数 f(x)的图象向右平移
10
个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标缩短到原来
的 5
6
倍，得到函数 y＝g(x)的图象，若关于 x 的方程 g(x)＋k＝0 在区间[0，
2
]上有实数解，
求实数 k 的取值范围。
21.(12 分)某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案，要求奖金 y(单位：元)随投资收
益 x(单位：万元)的增加而增加，奖金不超过 90 万元，同时奖金不超过投资收益的 20%即假
定奖励方案模拟函数为 y＝f(x)时，该公司对函数模型的基本要求是：当 x∈[25，1600]时，①
f(x)是增函数；②f(x)≤90 恒成立；③f(x)≤
5
x 恒成立。
(1)现有两个奖励函数模型：(I)f(x)＝ 1
15
x＋10；(II)f(x)＝2 x －6。试分析这两个函数模型是
否符合公司要求？
(2)已知函数 f(x)＝a x －10(a≥2)符合公司奖励方案函数模型要求，求实数 a 的取值范围。
22.(12 分)已知函数 f(x)＝ex，g(x)＝ax－1，其中 e＝2.71828…为自然对数的底数。
(1)讨论函数 h(x)＝f(x)·g(x)的单调性；
(2)设 a∈N＋，f(x)≥g(x)恒成立，求 a 的最大值。
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