高二数学人教a必修5练习：第二章习题课（2）word版含解析 4页

习题课(2) 课时目标 1．能由简单的递推公式求出数列的通项公式； 2．掌握数列求和的几种基本方法． 1．等差数列的前 n 项和公式：Sn＝na1＋an 2 ＝na1＋nn－1 2 d. 2．等比数列前 n 项和公式： (1)当 q＝1 时，Sn＝na1； (2)当 q≠1 时，Sn＝a11－qn 1－q ＝a1－anq 1－q . 3．数列{an}的前 n 项和 Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，则 an＝ S1 n＝1 Sn－Sn－1 n≥2 . 4．拆项成差求和经常用到下列拆项公式： (1) 1 nn＋1 ＝1 n － 1 n＋1 ； (2) 1 2n－12n＋1 ＝1 2( 1 2n－1 － 1 2n＋1)； (3) 1 n＋ n＋1 ＝ n＋1－ n. 一、选择题 1．数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝ 1 nn＋1 ，则 S5 等于( ) A．1 B.5 6 C.1 6 D. 1 30 答案 B 解析 ∵an＝ 1 nn＋1 ＝1 n － 1 n＋1 ， ∴S5＝(1－1 2)＋(1 2 －1 3)＋…＋(1 5 －1 6) ＝1－1 6 ＝5 6. 2．数列{an}的通项公式 an＝ 1 n＋ n＋1 ，若前 n 项的和为 10，则项数为( ) A．11 B．99 C．120 D．121 答案 C 解析 ∵an＝ 1 n＋ n＋1 ＝ n＋1－ n， ∴Sn＝ n＋1－1＝10，∴n＝120. 3．数列 11 2 ，21 4 ，31 8 ，4 1 16 ，…的前 n 项和为( ) A.1 2(n2＋n＋2)－ 1 2n B.1 2n(n＋1)＋1－ 1 2n－1 C.1 2(n2－n＋2)－ 1 2n D.1 2n(n＋1)＋2(1－ 1 2n) 答案 A 解析 11 2 ＋21 4 ＋31 8 ＋…＋(n＋ 1 2n) ＝(1＋2＋…＋n)＋(1 2 ＋1 4 ＋…＋ 1 2n) ＝nn＋1 2 ＋ 1 2 1－ 1 2n 1－1 2 ＝1 2(n2＋n)＋1－ 1 2n ＝1 2(n2＋n＋2)－ 1 2n. 4．已知数列{an}的通项 an＝2n＋1，由 bn＝a1＋a2＋a3＋…＋an n 所确定的数列{bn}的前 n 项之和是( ) A．n(n＋2) B.1 2n(n＋4) C.1 2n(n＋5) D.1 2n(n＋7) 答案 C 解析 a1＋a2＋…＋an＝n 2(2n＋4)＝n2＋2n. ∴bn＝n＋2，∴bn 的前 n 项和 Sn＝nn＋5 2 . 5．已知 Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1n，则 S17＋S33＋S50 等于( ) A．0 B．1 C．－1 D．2 答案 B 解析 S17＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(15－16)＋17＝9， S33＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(31－32)＋33＝17， S50＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(49－50)＝－25， 所以 S17＋S33＋S50＝1. 6．数列{an}满足 a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1 是首项为 1，公比为 2 的等比数列， 那么 an 等于( ) A．2n－1 B．2n－1－1 C．2n＋1 D．4n－1 答案 A 解析 由于 an－an－1＝1×2n－1＝2n－1， 那么 an＝a1＋(a2－a1)＋…＋(an－an－1) ＝1＋2＋…＋2n－1＝2n－1. 二、填空题 7．一个数列{an}，其中 a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1－an，那么这个数列的第 5 项是________． 答案 －6 8．在数列{an}中，an＋1＝ 2an 2＋an ，对所有正整数 n 都成立，且 a1＝2，则 an＝______. 答案 2 n 解析 ∵an＋1＝ 2an 2＋an ，∴ 1 an＋1 ＝ 1 an ＋1 2. ∴ 1 an 是等差数列且公差 d＝1 2. ∴ 1 an ＝ 1 a1 ＋(n－1)×1 2 ＝1 2 ＋n－1 2 ＝n 2 ， ∴an＝2 n. 9．在 100 内所有能被 3 整除但不能被 7 整除的正整数之和是________． 答案 1 473 解析 100 内所有能被 3 整除的数的和为：S1＝3＋6＋…＋99＝33×3＋99 2 ＝1 683. 100 内所有能被 21 整除的数的和为：S2＝21＋42＋63＋84＝210. ∴100 内能被 3 整除不能被 7 整除的所有正整数之和为 S1－S2＝1 683－210＝1 473. 10．数列{an}中，Sn 是其前 n 项和，若 a1＝1，an＋1＝1 3Sn (n≥1)，则 an＝____________. 答案 1， n＝1 1 3· 4 3 n－2， n≥2 解析 an＋1＝1 3Sn，an＋2＝1 3Sn＋1， ∴an＋2－an＋1＝1 3(Sn＋1－Sn)＝1 3an＋1， ∴an＋2＝4 3an＋1 (n≥1)． ∵a2＝1 3S1＝1 3 ，∴an＝ 1， n＝1 1 3· 4 3 n－2， n≥2 . 三、解答题 11．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn； (2)令 bn＝ 1 a2n－1 (n∈N*)，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 解 (1)设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d. 因为 a3＝7，a5＋a7＝26，所以 a1＋2d＝7， 2a1＋10d＝26， 解得 a1＝3， d＝2. 所以 an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，Sn＝3n＋nn－1 2 ×2＝n2＋2n. 所以，an＝2n＋1，Sn＝n2＋2n. (2)由(1)知 an＝2n＋1， 所以 bn＝ 1 a2n－1 ＝ 1 2n＋12－1 ＝1 4· 1 nn＋1 ＝1 4· 1 n － 1 n＋1 ， 所以 Tn＝1 4·(1－1 2 ＋1 2 －1 3 ＋…＋1 n － 1 n＋1 ) ＝1 4·(1－ 1 n＋1)＝ n 4n＋1 ， 即数列{bn}的前 n 项和 Tn＝ n 4n＋1. 12．设数列{an}满足 a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令 bn＝nan，求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 解 (1)由已知，当 n≥1 时，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1 ＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1. 而 a1＝2，符合上式，所以数列{an}的通项公式为 an＝22n－1. (2)由 bn＝nan＝n·22n－1 知 Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1， ① 从而 22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1. ② ①－②得(1－22)Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1， 即 Sn＝1 9[(3n－1)22n＋1＋2]． 能力提升 13．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln 1＋1 n ，则 an 等于( ) A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n C．2＋nln n D．1＋n＋ln n 答案 A 解析 ∵an＋1＝an＋ln 1＋1 n ， ∴an＋1－an＝ln 1＋1 n ＝lnn＋1 n ＝ln(n＋1)－ln n. 又 a1＝2， ∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝2＋[ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋ ln 4－ln 3＋…＋ln n－ln(n－1)]＝2＋ln n－ln 1＝2＋ln n. 14．已知正项数列{an}的前 n 项和 Sn＝1 4(an＋1)2，求{an}的通项公式． 解 当 n＝1 时，a1＝S1，所以 a1＝1 4(a1＋1)2， 解得 a1＝1. 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝1 4(an＋1)2－1 4(an－1＋1)2＝1 4(a2n－a2n－1＋2an－2an－1)， ∴a2n－a2n－1－2(an＋an－1)＝0， ∴(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0. ∵an＋an－1>0，∴an－an－1－2＝0. ∴an－an－1＝2. ∴{an}是首项为 1，公差为 2 的等差数列． ∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1. 1．递推公式是表示数列的一种重要方法．由一些简单的递推公式可以求得数列的通项 公式．其中主要学习叠加法、叠乘法以及化归为等差数列或等比数列的基本方法． 2．求数列前 n 项和，一般有下列几种方法：错位相减、分组求和、拆项相消、奇偶并 项等，学习时注意根据题目特点灵活选取上述方法．