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  • 2021-06-16 发布

高二数学人教a必修5练习:第二章习题课(2)word版含解析

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习题课(2) 课时目标 1.能由简单的递推公式求出数列的通项公式; 2.掌握数列求和的几种基本方法. 1.等差数列的前 n 项和公式:Sn=na1+an 2 =na1+nn-1 2 d. 2.等比数列前 n 项和公式: (1)当 q=1 时,Sn=na1; (2)当 q≠1 时,Sn=a11-qn 1-q =a1-anq 1-q . 3.数列{an}的前 n 项和 Sn=a1+a2+a3+…+an,则 an= S1 n=1 Sn-Sn-1 n≥2 . 4.拆项成差求和经常用到下列拆项公式: (1) 1 nn+1 =1 n - 1 n+1 ; (2) 1 2n-12n+1 =1 2( 1 2n-1 - 1 2n+1); (3) 1 n+ n+1 = n+1- n. 一、选择题 1.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 an= 1 nn+1 ,则 S5 等于( ) A.1 B.5 6 C.1 6 D. 1 30 答案 B 解析 ∵an= 1 nn+1 =1 n - 1 n+1 , ∴S5=(1-1 2)+(1 2 -1 3)+…+(1 5 -1 6) =1-1 6 =5 6. 2.数列{an}的通项公式 an= 1 n+ n+1 ,若前 n 项的和为 10,则项数为( ) A.11 B.99 C.120 D.121 答案 C 解析 ∵an= 1 n+ n+1 = n+1- n, ∴Sn= n+1-1=10,∴n=120. 3.数列 11 2 ,21 4 ,31 8 ,4 1 16 ,…的前 n 项和为( ) A.1 2(n2+n+2)- 1 2n B.1 2n(n+1)+1- 1 2n-1 C.1 2(n2-n+2)- 1 2n D.1 2n(n+1)+2(1- 1 2n) 答案 A 解析 11 2 +21 4 +31 8 +…+(n+ 1 2n) =(1+2+…+n)+(1 2 +1 4 +…+ 1 2n) =nn+1 2 + 1 2 1- 1 2n 1-1 2 =1 2(n2+n)+1- 1 2n =1 2(n2+n+2)- 1 2n. 4.已知数列{an}的通项 an=2n+1,由 bn=a1+a2+a3+…+an n 所确定的数列{bn}的前 n 项之和是( ) A.n(n+2) B.1 2n(n+4) C.1 2n(n+5) D.1 2n(n+7) 答案 C 解析 a1+a2+…+an=n 2(2n+4)=n2+2n. ∴bn=n+2,∴bn 的前 n 项和 Sn=nn+5 2 . 5.已知 Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1n,则 S17+S33+S50 等于( ) A.0 B.1 C.-1 D.2 答案 B 解析 S17=(1-2)+(3-4)+…+(15-16)+17=9, S33=(1-2)+(3-4)+…+(31-32)+33=17, S50=(1-2)+(3-4)+…+(49-50)=-25, 所以 S17+S33+S50=1. 6.数列{an}满足 a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1 是首项为 1,公比为 2 的等比数列, 那么 an 等于( ) A.2n-1 B.2n-1-1 C.2n+1 D.4n-1 答案 A 解析 由于 an-an-1=1×2n-1=2n-1, 那么 an=a1+(a2-a1)+…+(an-an-1) =1+2+…+2n-1=2n-1. 二、填空题 7.一个数列{an},其中 a1=3,a2=6,an+2=an+1-an,那么这个数列的第 5 项是________. 答案 -6 8.在数列{an}中,an+1= 2an 2+an ,对所有正整数 n 都成立,且 a1=2,则 an=______. 答案 2 n 解析 ∵an+1= 2an 2+an ,∴ 1 an+1 = 1 an +1 2. ∴ 1 an 是等差数列且公差 d=1 2. ∴ 1 an = 1 a1 +(n-1)×1 2 =1 2 +n-1 2 =n 2 , ∴an=2 n. 9.在 100 内所有能被 3 整除但不能被 7 整除的正整数之和是________. 答案 1 473 解析 100 内所有能被 3 整除的数的和为:S1=3+6+…+99=33×3+99 2 =1 683. 100 内所有能被 21 整除的数的和为:S2=21+42+63+84=210. ∴100 内能被 3 整除不能被 7 整除的所有正整数之和为 S1-S2=1 683-210=1 473. 10.数列{an}中,Sn 是其前 n 项和,若 a1=1,an+1=1 3Sn (n≥1),则 an=____________. 答案 1, n=1 1 3· 4 3 n-2, n≥2 解析 an+1=1 3Sn,an+2=1 3Sn+1, ∴an+2-an+1=1 3(Sn+1-Sn)=1 3an+1, ∴an+2=4 3an+1 (n≥1). ∵a2=1 3S1=1 3 ,∴an= 1, n=1 1 3· 4 3 n-2, n≥2 . 三、解答题 11.已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn; (2)令 bn= 1 a2n-1 (n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 解 (1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d. 因为 a3=7,a5+a7=26,所以 a1+2d=7, 2a1+10d=26, 解得 a1=3, d=2. 所以 an=3+2(n-1)=2n+1,Sn=3n+nn-1 2 ×2=n2+2n. 所以,an=2n+1,Sn=n2+2n. (2)由(1)知 an=2n+1, 所以 bn= 1 a2n-1 = 1 2n+12-1 =1 4· 1 nn+1 =1 4· 1 n - 1 n+1 , 所以 Tn=1 4·(1-1 2 +1 2 -1 3 +…+1 n - 1 n+1 ) =1 4·(1- 1 n+1)= n 4n+1 , 即数列{bn}的前 n 项和 Tn= n 4n+1. 12.设数列{an}满足 a1=2,an+1-an=3·22n-1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=nan,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 解 (1)由已知,当 n≥1 时,an+1=[(an+1-an)+(an-an-1)+…+(a2-a1)]+a1=3(22n-1 +22n-3+…+2)+2=22(n+1)-1. 而 a1=2,符合上式,所以数列{an}的通项公式为 an=22n-1. (2)由 bn=nan=n·22n-1 知 Sn=1·2+2·23+3·25+…+n·22n-1, ① 从而 22·Sn=1·23+2·25+3·27+…+n·22n+1. ② ①-②得(1-22)Sn=2+23+25+…+22n-1-n·22n+1, 即 Sn=1 9[(3n-1)22n+1+2]. 能力提升 13.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln 1+1 n ,则 an 等于( ) A.2+ln n B.2+(n-1)ln n C.2+nln n D.1+n+ln n 答案 A 解析 ∵an+1=an+ln 1+1 n , ∴an+1-an=ln 1+1 n =lnn+1 n =ln(n+1)-ln n. 又 a1=2, ∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=2+[ln 2-ln 1+ln 3-ln 2+ ln 4-ln 3+…+ln n-ln(n-1)]=2+ln n-ln 1=2+ln n. 14.已知正项数列{an}的前 n 项和 Sn=1 4(an+1)2,求{an}的通项公式. 解 当 n=1 时,a1=S1,所以 a1=1 4(a1+1)2, 解得 a1=1. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=1 4(an+1)2-1 4(an-1+1)2=1 4(a2n-a2n-1+2an-2an-1), ∴a2n-a2n-1-2(an+an-1)=0, ∴(an+an-1)(an-an-1-2)=0. ∵an+an-1>0,∴an-an-1-2=0. ∴an-an-1=2. ∴{an}是首项为 1,公差为 2 的等差数列. ∴an=1+2(n-1)=2n-1. 1.递推公式是表示数列的一种重要方法.由一些简单的递推公式可以求得数列的通项 公式.其中主要学习叠加法、叠乘法以及化归为等差数列或等比数列的基本方法. 2.求数列前 n 项和,一般有下列几种方法:错位相减、分组求和、拆项相消、奇偶并 项等,学习时注意根据题目特点灵活选取上述方法.