人教版高中数学必修二检测：第二章点、直线、平面之间的位置关系单元质量评估（二）含解析 16页

单元质量评估(二) (第二章) (120 分钟 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的 四个选项中，只有一项符合题目要求) 1.(2016·蚌埠高二检测)已知两条相交直线 a，b，a∥平面α，则 b 与 平面α的位置关系是 ( ) A.b⊂平面α B.b⊥平面α C.b∥平面α D.b 与平面α相交，或 b∥平面α 【解析】选 D.直线 a 显然不可能在平面α内，平行与相交都有可能，故 选 D. 2.下列叙述中，正确的是 ( ) A.四边形是平面图形 B.有三个公共点的两个平面重合 C.两两相交的三条直线必在同一个平面内 D.三角形必是平面图形 【解析】选 D.A 中四边形可以是空间四边形；B 中两个相交平面的交线 上有无数个公共点；C 中若三条直线有一个公共点，可得三条直线不一 定在一个平面内，故 A，B，C 不正确，D 正确. 3.(2016·浙江高考)已知互相垂直的平面α,β交于直线 l.若直线 m,n 满足 m∥α,n⊥β,则 ( ) A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n 【解题指南】根据线、面垂直的定义判断. 【解析】选 C.由题意知,α∩β=l,所以 l⊂β,因为 n⊥β, 所以 n⊥l. 4.(2016·银川高一检测)空间四边形 ABCD 中，若 AB=AD=AC=CB=CD=BD， 则 AC 与 BD 所成角为 ( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 【解析】选 D.取 AC 中点 E，连接 BE，DE，因为 AB=AD=AC=CB=CD=BD， 所以 AC 垂直于 BE，也垂直于 DE，所以 AC 垂直于平面 BDE，因此 AC 垂 直于 BD. 5.如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，下列结论不正确的是 ( ) A.C1D1⊥B1C B.BD1⊥AC C.BD1∥B1C D.∠ACB1=60° 【解析】选 C.因为 C1D1⊥平面 B1C，B1C⊂平面 B1C， 所以 C1D1⊥B1C， 所以 A 选项正确； 由于 AC⊥平面 BDD1， 所以 BD1⊥AC，B 选项正确； 因为三角形 AB1C 为等边三角形， 所以∠ACB1=60°，即 D 选项正确. 由于 BD1 与 B1C 是异面直线，所以 C 错. 6.(2016·鞍山高一检测)设α，β是两个不同的平面，l 是一条直线， 以下命题正确的是 ( ) A.若 l⊥α，α⊥β，则 l⊂β B.若 l∥α，α∥β，则 l⊂β C.若 l⊥α，α∥β，则 l⊥β D.若 l∥α，α⊥β，则 l⊥β 【解析】选 C.若 l⊥α，α⊥β，则 l⊂β或 l∥β，故 A 不正确；若 l ∥α， α∥β，则 l⊂β或 l∥β，故 B 不正确；若 l⊥α，α∥β，则 l⊥β， 故 C 正确；若 l∥α，α⊥β，则 l⊥β或 l⊂β或 l∥β，故 D 不正确. 7.(2016·衡水高二检测)如图所示，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，BC=AC， AC1⊥A1B，M，N 分别是 A1B1，AB 的中点，给出下列结论： ①C1M⊥平面 A1ABB1，②A1B⊥NB1，③平面 AMC1⊥平面 CBA1，其中正确结 论的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】选 D.①因为在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，所以平面 A1B1C1⊥平面 ABB1A1，因为 BC=AC，所以 B1C1=A1C1，又因为 M 为 A1B1 的中点，所以 C1M ⊥A1B1，因为平面 A1B1C1∩平面 ABB1A1=A1B1，所以 C1M⊥平面 ABB1A1，故① 正确；②由①知，C1M⊥A1B，又因为 AC1⊥A1B，C1M∩AC1=C1，所以 A1B⊥ 平面 AMC1，所以 A1B⊥AM，因为 M，N 分别是 A1B1，AB 的中点，所以 ANB1M 是平行四边形，所以 AM∥NB1，因为 A1B⊥AM，所以 A1B⊥NB1，故②正确； ③由②知 A1B⊥平面 AMC1，又因为 A1B⊂平面 CBA1，所以平面 AMC1⊥平面 CBA1，故③正确，综上所述，正确结论的个数为 3. 8.如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，线段 B1D1 上有两个动点 E，F， 且 EF=，则下列结论中错误的是( ) A.AC⊥BE B.EF∥平面 ABCD C.三棱锥 A-BEF 的体积为定值 D.△AEF 的面积与△BEF 的面积相等 【解析】选 D.A.由题意及图形知，AC⊥面 DD1B1B，故可得出 AC⊥BE，此 命题正确，不符合题意； B.EF∥平面 ABCD，由正方体 ABCD-A1B1C1D1 的两个底面平行，EF 在其一 面上，故 EF 与平面 ABCD 无公共点， 故有 EF∥平面 ABCD，此命题正确，不符合题意； C.三棱锥 A-BEF 的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形 BEF 的面积是定值，A 点到面 DD1B1B 的距离是定值，故可得三棱锥 A-BEF 的 体积为定值，此命题正确，不符合题意； D.由图形可以看出，B 到线段 EF 的距离与 A 到 EF 的距离不相等，故△ AEF 的面积与△BEF 的面积相等不正确，故 D 是错误的. 9.如图，ABCD-A1B1C1D1 为正方体，下面结论错误的是 ( ) A.BD∥平面 CB1D1 B.AC1⊥BD C.AC1⊥平面 CB1D1 D.异面直线 AD 与 CB1 所成的角为 60° 【解析】选 D.由于 BD∥B1D1，易知 BD∥平面 CB1D1；连接 AC，易证 BD⊥ 面 ACC1，所以 AC1⊥BD；同理可证 AC1⊥B1C，因为 BD∥B1D1，所以 AC1⊥ B1D1，所以 AC1⊥平面 CB1D1；对于选项 D，因为 BC∥AD，所以∠B1CB 即为 AD 与 CB1 所成的角，此角为 45°，故 D 错. 10.在四面体 ABCD 中，已知棱 AC 的长为 ，其余各棱长都为 1，则二 面角 A-CD-B 的余弦值为 ( ) A. B. C. D. 【解析】选 C.因为 AC= ，其余各棱长均为 1，故 AB⊥BC，AD⊥DC， 取 CD，AC 的中点分别为 E，F，连接 EF，BF，BE，则 EF∥AD，所以 EF ⊥CD.且 EF=AD=，BF=AC= ，BE⊥CD，且 BE= ，所以∠FEB 为二面角 A-CD-B 的平面角，在△BEF 中，BE2=BF2+EF2，所以△BEF 为直角三角形， 所以 cos∠FEB= = = . 11.(2016·全国卷Ⅰ)平面α过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A,α∥平面 CB1D1,α∩平面 ABCD=m,α∩平面 ABB1A1=n,则 m,n 所成角的正弦值为 ( ) A. B. C. D. 【解析】选 A.如图所示: 因为α∥平面 CB1D1,所以若设平面 CB1D1∩平面 ABCD=m1,则 m1∥m. 又因为平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1, 结合平面 B1D1C∩平面 A1B1C1D1=B1D1, 所以 B1D1∥m1,故 B1D1∥m.同理可得:CD1∥n. 故 m,n 所成角的大小与 B1D1,CD1 所成角的大小相等,即∠CD1B1 的大小.而 B1C=B1D1=CD1(均为面对角线),因此∠CD1B1=,即 sin∠CD1B1= . 12.一个多面体的直观图、正视图、侧视图、俯视图如图，M，N 分别为 A1B，B1C1 的中点. 下列结论中正确的个数有 ( ) ①直线 MN 与 A1C 相交. ②MN⊥BC. ③MN∥平面 ACC1A1. ④三棱锥 N-A1BC 的体积为 =a3. A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 【解析】选 B.由三视图可知， 该几何体是底面为等腰直角三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱.取边 BC 中点 E，连 ME，NE，则 ME∥A1C，NE∥C1C，故平面 MNE∥平面 ACC1A1，故 MN∥平面 ACC1A1，所以直线 MN 与 A1C 相交错误，故③正确，①错误.因 为三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面是等腰直角三角形且侧棱垂直于底面，故 BC ⊥平面 MNE，所以 MN⊥BC，②正确. = =×a××a×a=a3， 故④正确.所以②③④正确. 二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在题 中的横线上) 13.如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M，N 分别是棱 C1D1，C1C 的中 点.给出以下四个结论： ①直线 AM 与直线 C1C 相交； ②直线 AM 与直线 DD1 异面； ③直线 AM 与直线 BN 平行； ④直线 BN 与直线 MB1 异面. 其中正确结论的序号为________(填入所有正确结论的序号). 【解析】由异面直线判定定理知：①直线 AM 与直线 CC1 异面；②直线 AM 与直线 DD1 异面；④直线 BN 与直线 MB1 异面，因为直线 BN 与直线 AE 平行(E 为 DD1 的中点)，所以③直线 AM 与直线 BN 异面. 答案：②④ 14.如图所示，已知矩形 ABCD 中，AB=3，BC=a，若 PA⊥平面 ABCD，在 BC 边上取点 E，使 PE⊥DE，则满足条件的 E 点有两个时，a 的取值范围 是________. 【解析】由题意知：PA⊥DE， 又 PE⊥DE，PA∩PE=P， 所以 DE⊥面 PAE， 所以 DE⊥AE. 易证△ABE∽△ECD. 设 BE=x， 则 = ， 即 =. 所以 x2-ax+9=0，由Δ>0， 解得 a>6. 答案：a>6 15.如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，且底面各边都相等， 点 M 是 PC 上的一动点，当点 M 满足________时，平面 MBD⊥平面 PCD(只 要填写一个你认为正确的即可). 【解题指南】可以证明 BD⊥PC，因此只需确定 M 的位置，使 BM⊥PC 即 可. (DM⊥PC 也可). 【解析】因为四边形 ABCD 的边长相等，所以四边形 ABCD 为菱形，所以 AC⊥BD，又因为 PA⊥平面 ABCD，所以 PA⊥BD，所以 BD⊥平面 PAC，所 以 BD⊥PC. 若 PC⊥平面 BMD，即 PC 垂直于平面 BMD 中两条相交直线，所以当 BM⊥ PC 时，PC⊥平面 BMD，所以平面 PCD⊥平面 BMD. 答案：BM⊥PC(其他合理即可) 16.(2016·成都高二检测)如图，正方形 BCDE 的边长为 a，已知 AB= BC， 将△ABE 沿 BE 边折起，折起后 A 点在平面 BCDE 上的射影为 D 点，则翻 折后的几何体中有如下描述： ①AB 与 DE 所成角的正切值是 ；②AB∥CE；③VB-ACE 的体积是 a2； ④平面 ABC⊥平面 ADC；⑤直线 EA 与平面 ADB 所成角为 30°. 其中正确的有________.(填写你认为正确的序号) 【解析】由题意，AB= BC，AE= a，AD⊥平面 BCDE，AD=a，AC= a， ①由于 BC∥DE，所以∠ABC(或其补角)为 AB 与 DE 所成角.因为 AB= a， BC=a，AC= a，所以 BC⊥AC，所以 tan∠ABC= ，故①正确；②由图 象可知 AB 与 CE 是异面直线，故②错误.③VB-ACE 的体积是 S△BCE×AD=× a3=a3，故③错误；④因为 AD⊥平面 BCDE，BC⊂平面 BCDE，所以 AD⊥BC， 因为 BC⊥CD，AD∩CD=D， 所以 BC⊥平面 ADC，因为 BC⊂平面 ABC，所以平面 ABC⊥平面 ADC，故 ④正确； ⑤连接 CE 交 BD 于 F，则 EF⊥BD，因为平面 ABD⊥平面 BDE，所以 EF⊥ 平面 ABD，连接 AF，则∠AFE 为直线 AE 与平面 ABD 所成角，在△AFE 中， EF= a，AE= a，所以 sin∠EAF= =，则∠EAF=30°，故⑤正确. 答案：①④⑤ 三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答时写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤) 17.(10 分)已知，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 E，F 分别为 D1C1，C1B1 的 中点， AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q.求证： (1)D，B，E，F 四点共面. (2)若 A1C 交平面 BDEF 于点 R，则 P，Q，R 三点共线. 【证明】(1)连接 B1D1.因为 E，F 分别为 D1C1，C1B1 的中点，所以 EF∥B1D1， 又因为 B1D1∥BD， 所以 EF∥BD，所以 EF 与 BD 共面， 所以 E，F，B，D 四点共面. (2)因为 AC∩BD=P，所以 P∈平面 AA1C1C∩平面 BDEF. 同理，Q∈平面 AA1C1C∩平面 BDEF， 因为 A1C∩平面 DBFE=R， 所以 R∈平面 AA1C1C∩平面 BDEF， 所以 P，Q，R 三点共线. 18.(12 分)(2016·菏泽高一检测)如图，在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中，侧 面 AA1C1C 是菱形，AC1 与 A1C 交于点 O，点 E 是 AB 的中点. (1)求证：OE∥平面 BCC1B1. (2)若 AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC. 【解析】(1)连接 BC1，因为侧面 AA1C1C 是菱形，AC1 与 A1C 交于点 O，所 以 O 为 AC1 的中点，又因为 E 是 AB 的中点，所以 OE∥BC1，因为 OE⊄平 面 BCC1B1， BC1⊂平面 BCC1B1，所以 OE∥平面 BCC1B1. (2)因为侧面 AA1C1C 是菱形，所以 AC1⊥A1C，因为 AC1⊥A1B，A1C∩A1B=A1， A1C⊂平面 A1BC，A1B⊂平面 A1BC，所以 AC1⊥平面 A1BC，因为 BC⊂平面 A1BC， 所以 AC1⊥BC. 19.(12 分)如图，已知四边形 ABCD 和 BCEG 均为直角梯形，AD∥BC，CE ∥BG，且∠BCD=∠BCE=90°，平面 ABCD⊥平面 BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG. (1)求证：EC⊥CD. (2)求证：AG∥平面 BDE. 【证明】(1)由平面 ABCD⊥平面 BCEG， 平面 ABCD∩平面 BCEG=BC，CE⊥BC，CE⊂平面 BCEG， 所以 EC⊥平面 ABCD，又 CD⊂平面 ABCD，故 EC⊥CD. (2)在平面 BCEG 中，过 G 作 GN⊥CE 交 BE 于 M，连接 DM，则由已知知， MG=MN，MN∥BC∥DA，且 MN=AD=BC， 所以 MG∥AD，MG=AD， 故四边形 ADMG 为平行四边形， 所以 AG∥DM，因为 DM⊂平面 BDE，AG⊄平面 BDE，所以 AG∥平面 BDE. 20.(12 分)(2016·泰安高一检测)如图，PA⊥平面 ABC，AE⊥PB，AB⊥ BC，AF⊥PC，PA=AB=BC. (1)求证：平面 AEF⊥平面 PBC. (2)求二面角 P-BC-A 的大小. 【解题指南】(1)要证平面 AEF⊥平面 PBC，可通过证明 AE⊥平面 PBC 得出，而要证 AE⊥平面 PBC，已有 AE⊥PB，则证出 BC⊥AE 即可，后者 利用 BC⊥平面 PAB 可以证出. (2)由(1)知，BC⊥平面 PAB，∠PBA 就是二面角 P-BC-A 的平面角，易知 为 45°. 【解析】(1)因为 PA⊥平面 ABC，又 BC⊂平面 ABC，所以 PA⊥BC， 又 AB⊥BC，AB 与 PA 相交于点 A， 所以 BC⊥平面 PAB，又 AE⊂平面 PAB，所以 BC⊥AE，又 AE⊥PB，而 PB 与 BC 相交于点 B，所以 AE⊥平面 PBC，又 AE⊂平面 AEF，故平面 AEF⊥ 平面 PBC. (2)由(1)知，BC⊥平面 PAB，PB⊂平面 PAB， 所以 PB⊥BC，又 AB⊥BC， 所以∠PBA 就是二面角 P-BC-A 的平面角， 在 Rt△PAB 中，因为 PA=AB，所以∠PBA=45°， 即二面角 P-BC-A 的大小为 45°. 21.(12 分)(2016·北京高考)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PC⊥平面 ABCD,AB∥DC,DC⊥AC. (1)求证:DC⊥平面 PAC. (2)求证:平面 PAB⊥平面 PAC. (3)设点 E 为 AB 的中点,在棱 PB 上是否存在点 F,使得 PA∥平面 CEF?说 明理由. 【解析】(1)因为 PC⊥平面 ABCD,DC⊂平面 ABCD,所以 PC⊥DC. 又因为 DC⊥AC,PC∩AC=C,PC,AC⊂平面 PAC,所以 DC⊥平面 PAC. (2)因为 AB∥DC,DC⊥平面 PAC,所以 AB⊥平面 PAC. 又因为 AB⊂平面 PAB,所以平面 PAB⊥平面 PAC. (3)取 PB 中点 F.连接 CE,EF,CF. 因为 E 为 AB 中点,所以 PA∥EF. 又因为 PA⊄ 平面 CEF,EF⊂平面 CEF,所以 PA∥平面 CEF. 因此,当 F 为 PB 中点时,PA∥平面 CEF. 22.(12 分)如图，已知直角梯形 ACDE 所在的平面垂直于平面 ABC，∠BAC= ∠ACD=90°，∠EAC=60°，AB=AC=AE. (1)在直线 BC 上是否存在一点 P，使得 DP∥平面 EAB？请证明你的结论. (2)求平面 EBD 与平面 ABC 所成的锐二面角θ的余弦值. 【解析】(1)线段 BC 的中点就是满足条件的点 P. 证明如下： 取 AB 的中点 F，连接 DP，PF，EF， 则 FP∥AC，FP=AC， 取 AC 的中点 M，连接 EM，EC， 因为 AE=AC 且∠EAC=60°， 所以△EAC 是正三角形，所以 EM⊥AC. 所以四边形 EMCD 为矩形， 所以 ED=MC=AC. 又因为 ED∥AC， 所以 ED∥FP 且 ED=FP， 所以四边形 EFPD 是平行四边形，所以 DP∥EF， 而 EF⊂平面 EAB，DP⊄平面 EAB， 所以 DP∥平面 EAB. (2)过 C 作 CG∥AB，过 B 作 BG∥AC，CG∩BG=G，连接 GD. 因为 ED∥AC，所以 ED∥BG， 所以 B，E，D，G 四点共面， 所以平面 EBD 与平面 ABC 相交于 BG， 因为 CD⊥AC，平面 ACDE⊥平面 ABGC， 所以 CD⊥平面 ABGC， 又因为 BG⊂平面 ABGC， 所以 BG⊥CD， 又 BG⊥GC，CD∩GC=C， 所以 BG⊥平面 CDG， 所以 BG⊥DG， 所以∠DGC 是平面 EBD 与平面 ABC 所成的锐二面角θ，设 AB=AC=AE=a， 则 GC=AB=a，DC=EM= a， 所以 GD= = a， 所以 cosθ=cos∠DGC= = ..Com]