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单元质量评估(二)
(第二章)
(120 分钟 150 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的
四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.(2016·蚌埠高二检测)已知两条相交直线 a,b,a∥平面α,则 b 与
平面α的位置关系是 ( )
A.b⊂平面α
B.b⊥平面α
C.b∥平面α
D.b 与平面α相交,或 b∥平面α
【解析】选 D.直线 a 显然不可能在平面α内,平行与相交都有可能,故
选 D.
2.下列叙述中,正确的是 ( )
A.四边形是平面图形
B.有三个公共点的两个平面重合
C.两两相交的三条直线必在同一个平面内
D.三角形必是平面图形
【解析】选 D.A 中四边形可以是空间四边形;B 中两个相交平面的交线
上有无数个公共点;C 中若三条直线有一个公共点,可得三条直线不一
定在一个平面内,故 A,B,C 不正确,D 正确.
3.(2016·浙江高考)已知互相垂直的平面α,β交于直线 l.若直线 m,n
满足 m∥α,n⊥β,则 ( )
A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n
【解题指南】根据线、面垂直的定义判断.
【解析】选 C.由题意知,α∩β=l,所以 l⊂β,因为 n⊥β,
所以 n⊥l.
4.(2016·银川高一检测)空间四边形 ABCD 中,若 AB=AD=AC=CB=CD=BD,
则 AC 与 BD 所成角为 ( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
【解析】选 D.取 AC 中点 E,连接 BE,DE,因为 AB=AD=AC=CB=CD=BD,
所以 AC 垂直于 BE,也垂直于 DE,所以 AC 垂直于平面 BDE,因此 AC 垂
直于 BD.
5.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,下列结论不正确的是 ( )
A.C1D1⊥B1C B.BD1⊥AC
C.BD1∥B1C D.∠ACB1=60°
【解析】选 C.因为 C1D1⊥平面 B1C,B1C⊂平面 B1C,
所以 C1D1⊥B1C,
所以 A 选项正确;
由于 AC⊥平面 BDD1,
所以 BD1⊥AC,B 选项正确;
因为三角形 AB1C 为等边三角形,
所以∠ACB1=60°,即 D 选项正确.
由于 BD1 与 B1C 是异面直线,所以 C 错.
6.(2016·鞍山高一检测)设α,β是两个不同的平面,l 是一条直线,
以下命题正确的是 ( )
A.若 l⊥α,α⊥β,则 l⊂β
B.若 l∥α,α∥β,则 l⊂β
C.若 l⊥α,α∥β,则 l⊥β
D.若 l∥α,α⊥β,则 l⊥β
【解析】选 C.若 l⊥α,α⊥β,则 l⊂β或 l∥β,故 A 不正确;若 l
∥α,
α∥β,则 l⊂β或 l∥β,故 B 不正确;若 l⊥α,α∥β,则 l⊥β,
故 C 正确;若 l∥α,α⊥β,则 l⊥β或 l⊂β或 l∥β,故 D 不正确.
7.(2016·衡水高二检测)如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,BC=AC,
AC1⊥A1B,M,N 分别是 A1B1,AB 的中点,给出下列结论:
①C1M⊥平面 A1ABB1,②A1B⊥NB1,③平面 AMC1⊥平面 CBA1,其中正确结
论的个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选 D.①因为在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,所以平面 A1B1C1⊥平面
ABB1A1,因为 BC=AC,所以 B1C1=A1C1,又因为 M 为 A1B1 的中点,所以 C1M
⊥A1B1,因为平面 A1B1C1∩平面 ABB1A1=A1B1,所以 C1M⊥平面 ABB1A1,故①
正确;②由①知,C1M⊥A1B,又因为 AC1⊥A1B,C1M∩AC1=C1,所以 A1B⊥
平面 AMC1,所以 A1B⊥AM,因为 M,N 分别是 A1B1,AB 的中点,所以 ANB1M
是平行四边形,所以 AM∥NB1,因为 A1B⊥AM,所以 A1B⊥NB1,故②正确;
③由②知 A1B⊥平面 AMC1,又因为 A1B⊂平面 CBA1,所以平面 AMC1⊥平面
CBA1,故③正确,综上所述,正确结论的个数为 3.
8.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两个动点 E,F,
且 EF=,则下列结论中错误的是( )
A.AC⊥BE
B.EF∥平面 ABCD
C.三棱锥 A-BEF 的体积为定值
D.△AEF 的面积与△BEF 的面积相等
【解析】选 D.A.由题意及图形知,AC⊥面 DD1B1B,故可得出 AC⊥BE,此
命题正确,不符合题意;
B.EF∥平面 ABCD,由正方体 ABCD-A1B1C1D1 的两个底面平行,EF 在其一
面上,故 EF 与平面 ABCD 无公共点,
故有 EF∥平面 ABCD,此命题正确,不符合题意;
C.三棱锥 A-BEF 的体积为定值,由几何体的性质及图形知,三角形 BEF
的面积是定值,A 点到面 DD1B1B 的距离是定值,故可得三棱锥 A-BEF 的
体积为定值,此命题正确,不符合题意;
D.由图形可以看出,B 到线段 EF 的距离与 A 到 EF 的距离不相等,故△
AEF 的面积与△BEF 的面积相等不正确,故 D 是错误的.
9.如图,ABCD-A1B1C1D1 为正方体,下面结论错误的是 ( )
A.BD∥平面 CB1D1
B.AC1⊥BD
C.AC1⊥平面 CB1D1
D.异面直线 AD 与 CB1 所成的角为 60°
【解析】选 D.由于 BD∥B1D1,易知 BD∥平面 CB1D1;连接 AC,易证 BD⊥
面 ACC1,所以 AC1⊥BD;同理可证 AC1⊥B1C,因为 BD∥B1D1,所以 AC1⊥
B1D1,所以 AC1⊥平面 CB1D1;对于选项 D,因为 BC∥AD,所以∠B1CB 即为
AD 与 CB1 所成的角,此角为 45°,故 D 错.
10.在四面体 ABCD 中,已知棱 AC 的长为 ,其余各棱长都为 1,则二
面角 A-CD-B 的余弦值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选 C.因为 AC= ,其余各棱长均为 1,故 AB⊥BC,AD⊥DC,
取 CD,AC 的中点分别为 E,F,连接 EF,BF,BE,则 EF∥AD,所以 EF
⊥CD.且 EF=AD=,BF=AC= ,BE⊥CD,且 BE= ,所以∠FEB 为二面角
A-CD-B 的平面角,在△BEF 中,BE2=BF2+EF2,所以△BEF 为直角三角形,
所以 cos∠FEB= = = .
11.(2016·全国卷Ⅰ)平面α过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A,α∥平面
CB1D1,α∩平面 ABCD=m,α∩平面 ABB1A1=n,则 m,n 所成角的正弦值为
( )
A. B. C. D.
【解析】选 A.如图所示:
因为α∥平面 CB1D1,所以若设平面 CB1D1∩平面 ABCD=m1,则 m1∥m.
又因为平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1,
结合平面 B1D1C∩平面 A1B1C1D1=B1D1,
所以 B1D1∥m1,故 B1D1∥m.同理可得:CD1∥n.
故 m,n 所成角的大小与 B1D1,CD1 所成角的大小相等,即∠CD1B1 的大小.而
B1C=B1D1=CD1(均为面对角线),因此∠CD1B1=,即 sin∠CD1B1= .
12.一个多面体的直观图、正视图、侧视图、俯视图如图,M,N 分别为
A1B,B1C1 的中点.
下列结论中正确的个数有 ( )
①直线 MN 与 A1C 相交.
②MN⊥BC.
③MN∥平面 ACC1A1.
④三棱锥 N-A1BC 的体积为 =a3.
A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个
【解析】选 B.由三视图可知,
该几何体是底面为等腰直角三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱.取边 BC
中点 E,连 ME,NE,则 ME∥A1C,NE∥C1C,故平面 MNE∥平面 ACC1A1,故
MN∥平面 ACC1A1,所以直线 MN 与 A1C 相交错误,故③正确,①错误.因
为三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面是等腰直角三角形且侧棱垂直于底面,故 BC
⊥平面 MNE,所以 MN⊥BC,②正确. = =×a××a×a=a3,
故④正确.所以②③④正确.
二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题
中的横线上)
13.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别是棱 C1D1,C1C 的中
点.给出以下四个结论:
①直线 AM 与直线 C1C 相交;
②直线 AM 与直线 DD1 异面;
③直线 AM 与直线 BN 平行;
④直线 BN 与直线 MB1 异面.
其中正确结论的序号为________(填入所有正确结论的序号).
【解析】由异面直线判定定理知:①直线 AM 与直线 CC1 异面;②直线
AM 与直线 DD1 异面;④直线 BN 与直线 MB1 异面,因为直线 BN 与直线 AE
平行(E 为 DD1 的中点),所以③直线 AM 与直线 BN 异面.
答案:②④
14.如图所示,已知矩形 ABCD 中,AB=3,BC=a,若 PA⊥平面 ABCD,在
BC 边上取点 E,使 PE⊥DE,则满足条件的 E 点有两个时,a 的取值范围
是________.
【解析】由题意知:PA⊥DE,
又 PE⊥DE,PA∩PE=P,
所以 DE⊥面 PAE,
所以 DE⊥AE.
易证△ABE∽△ECD.
设 BE=x,
则 = ,
即 =.
所以 x2-ax+9=0,由Δ>0,
解得 a>6.
答案:a>6
15.如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,且底面各边都相等,
点 M 是 PC 上的一动点,当点 M 满足________时,平面 MBD⊥平面 PCD(只
要填写一个你认为正确的即可).
【解题指南】可以证明 BD⊥PC,因此只需确定 M 的位置,使 BM⊥PC 即
可.
(DM⊥PC 也可).
【解析】因为四边形 ABCD 的边长相等,所以四边形 ABCD 为菱形,所以
AC⊥BD,又因为 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥BD,所以 BD⊥平面 PAC,所
以 BD⊥PC.
若 PC⊥平面 BMD,即 PC 垂直于平面 BMD 中两条相交直线,所以当 BM⊥
PC 时,PC⊥平面 BMD,所以平面 PCD⊥平面 BMD.
答案:BM⊥PC(其他合理即可)
16.(2016·成都高二检测)如图,正方形 BCDE 的边长为 a,已知 AB= BC,
将△ABE 沿 BE 边折起,折起后 A 点在平面 BCDE 上的射影为 D 点,则翻
折后的几何体中有如下描述:
①AB 与 DE 所成角的正切值是 ;②AB∥CE;③VB-ACE 的体积是 a2;
④平面 ABC⊥平面 ADC;⑤直线 EA 与平面 ADB 所成角为 30°.
其中正确的有________.(填写你认为正确的序号)
【解析】由题意,AB= BC,AE= a,AD⊥平面 BCDE,AD=a,AC= a,
①由于 BC∥DE,所以∠ABC(或其补角)为 AB 与 DE 所成角.因为 AB= a,
BC=a,AC= a,所以 BC⊥AC,所以 tan∠ABC= ,故①正确;②由图
象可知 AB 与 CE 是异面直线,故②错误.③VB-ACE 的体积是 S△BCE×AD=×
a3=a3,故③错误;④因为 AD⊥平面 BCDE,BC⊂平面 BCDE,所以 AD⊥BC,
因为 BC⊥CD,AD∩CD=D,
所以 BC⊥平面 ADC,因为 BC⊂平面 ABC,所以平面 ABC⊥平面 ADC,故
④正确;
⑤连接 CE 交 BD 于 F,则 EF⊥BD,因为平面 ABD⊥平面 BDE,所以 EF⊥
平面 ABD,连接 AF,则∠AFE 为直线 AE 与平面 ABD 所成角,在△AFE 中,
EF= a,AE= a,所以 sin∠EAF= =,则∠EAF=30°,故⑤正确.
答案:①④⑤
三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答时写出必要的文字说明、
证明过程或演算步骤)
17.(10 分)已知,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E,F 分别为 D1C1,C1B1 的
中点,
AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:
(1)D,B,E,F 四点共面.
(2)若 A1C 交平面 BDEF 于点 R,则 P,Q,R 三点共线.
【证明】(1)连接 B1D1.因为 E,F 分别为 D1C1,C1B1 的中点,所以 EF∥B1D1,
又因为 B1D1∥BD,
所以 EF∥BD,所以 EF 与 BD 共面,
所以 E,F,B,D 四点共面.
(2)因为 AC∩BD=P,所以 P∈平面 AA1C1C∩平面 BDEF.
同理,Q∈平面 AA1C1C∩平面 BDEF,
因为 A1C∩平面 DBFE=R,
所以 R∈平面 AA1C1C∩平面 BDEF,
所以 P,Q,R 三点共线.
18.(12 分)(2016·菏泽高一检测)如图,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧
面 AA1C1C 是菱形,AC1 与 A1C 交于点 O,点 E 是 AB 的中点.
(1)求证:OE∥平面 BCC1B1.
(2)若 AC1⊥A1B,求证:AC1⊥BC.
【解析】(1)连接 BC1,因为侧面 AA1C1C 是菱形,AC1 与 A1C 交于点 O,所
以 O 为 AC1 的中点,又因为 E 是 AB 的中点,所以 OE∥BC1,因为 OE⊄平
面 BCC1B1,
BC1⊂平面 BCC1B1,所以 OE∥平面 BCC1B1.
(2)因为侧面 AA1C1C 是菱形,所以 AC1⊥A1C,因为 AC1⊥A1B,A1C∩A1B=A1,
A1C⊂平面 A1BC,A1B⊂平面 A1BC,所以 AC1⊥平面 A1BC,因为 BC⊂平面
A1BC,
所以 AC1⊥BC.
19.(12 分)如图,已知四边形 ABCD 和 BCEG 均为直角梯形,AD∥BC,CE
∥BG,且∠BCD=∠BCE=90°,平面 ABCD⊥平面 BCEG,BC=CD=CE=2AD=2BG.
(1)求证:EC⊥CD.
(2)求证:AG∥平面 BDE.
【证明】(1)由平面 ABCD⊥平面 BCEG,
平面 ABCD∩平面 BCEG=BC,CE⊥BC,CE⊂平面 BCEG,
所以 EC⊥平面 ABCD,又 CD⊂平面 ABCD,故 EC⊥CD.
(2)在平面 BCEG 中,过 G 作 GN⊥CE 交 BE 于 M,连接 DM,则由已知知,
MG=MN,MN∥BC∥DA,且 MN=AD=BC,
所以 MG∥AD,MG=AD,
故四边形 ADMG 为平行四边形,
所以 AG∥DM,因为 DM⊂平面 BDE,AG⊄平面 BDE,所以 AG∥平面 BDE.
20.(12 分)(2016·泰安高一检测)如图,PA⊥平面 ABC,AE⊥PB,AB⊥
BC,AF⊥PC,PA=AB=BC.
(1)求证:平面 AEF⊥平面 PBC.
(2)求二面角 P-BC-A 的大小.
【解题指南】(1)要证平面 AEF⊥平面 PBC,可通过证明 AE⊥平面 PBC
得出,而要证 AE⊥平面 PBC,已有 AE⊥PB,则证出 BC⊥AE 即可,后者
利用 BC⊥平面 PAB 可以证出.
(2)由(1)知,BC⊥平面 PAB,∠PBA 就是二面角 P-BC-A 的平面角,易知
为 45°.
【解析】(1)因为 PA⊥平面 ABC,又 BC⊂平面 ABC,所以 PA⊥BC,
又 AB⊥BC,AB 与 PA 相交于点 A,
所以 BC⊥平面 PAB,又 AE⊂平面 PAB,所以 BC⊥AE,又 AE⊥PB,而 PB
与 BC 相交于点 B,所以 AE⊥平面 PBC,又 AE⊂平面 AEF,故平面 AEF⊥
平面 PBC.
(2)由(1)知,BC⊥平面 PAB,PB⊂平面 PAB,
所以 PB⊥BC,又 AB⊥BC,
所以∠PBA 就是二面角 P-BC-A 的平面角,
在 Rt△PAB 中,因为 PA=AB,所以∠PBA=45°,
即二面角 P-BC-A 的大小为 45°.
21.(12 分)(2016·北京高考)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PC⊥平面
ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.
(1)求证:DC⊥平面 PAC.
(2)求证:平面 PAB⊥平面 PAC.
(3)设点 E 为 AB 的中点,在棱 PB 上是否存在点 F,使得 PA∥平面 CEF?说
明理由.
【解析】(1)因为 PC⊥平面 ABCD,DC⊂平面 ABCD,所以 PC⊥DC.
又因为 DC⊥AC,PC∩AC=C,PC,AC⊂平面 PAC,所以 DC⊥平面 PAC.
(2)因为 AB∥DC,DC⊥平面 PAC,所以 AB⊥平面 PAC.
又因为 AB⊂平面 PAB,所以平面 PAB⊥平面 PAC.
(3)取 PB 中点 F.连接 CE,EF,CF.
因为 E 为 AB 中点,所以 PA∥EF.
又因为 PA⊄ 平面 CEF,EF⊂平面 CEF,所以 PA∥平面 CEF.
因此,当 F 为 PB 中点时,PA∥平面 CEF.
22.(12 分)如图,已知直角梯形 ACDE 所在的平面垂直于平面 ABC,∠BAC=
∠ACD=90°,∠EAC=60°,AB=AC=AE.
(1)在直线 BC 上是否存在一点 P,使得 DP∥平面 EAB?请证明你的结论.
(2)求平面 EBD 与平面 ABC 所成的锐二面角θ的余弦值.
【解析】(1)线段 BC 的中点就是满足条件的点 P.
证明如下:
取 AB 的中点 F,连接 DP,PF,EF,
则 FP∥AC,FP=AC,
取 AC 的中点 M,连接 EM,EC,
因为 AE=AC 且∠EAC=60°,
所以△EAC 是正三角形,所以 EM⊥AC.
所以四边形 EMCD 为矩形,
所以 ED=MC=AC.
又因为 ED∥AC,
所以 ED∥FP 且 ED=FP,
所以四边形 EFPD 是平行四边形,所以 DP∥EF,
而 EF⊂平面 EAB,DP⊄平面 EAB,
所以 DP∥平面 EAB.
(2)过 C 作 CG∥AB,过 B 作 BG∥AC,CG∩BG=G,连接 GD.
因为 ED∥AC,所以 ED∥BG,
所以 B,E,D,G 四点共面,
所以平面 EBD 与平面 ABC 相交于 BG,
因为 CD⊥AC,平面 ACDE⊥平面 ABGC,
所以 CD⊥平面 ABGC,
又因为 BG⊂平面 ABGC,
所以 BG⊥CD,
又 BG⊥GC,CD∩GC=C,
所以 BG⊥平面 CDG,
所以 BG⊥DG,
所以∠DGC 是平面 EBD 与平面 ABC 所成的锐二面角θ,设 AB=AC=AE=a,
则 GC=AB=a,DC=EM= a,
所以 GD= = a,
所以 cosθ=cos∠DGC= = ..Com]
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