上海市崇明区2021届高三数学上学期一模试题（Word版附答案） 7页

高三数学 崇明区 2021 届第一次高考模拟考试试卷 数 学 考生注意： 1． 本试卷共 4 页，21 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟． 2． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择 题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 3． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息． 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，其中 1～6 题每题 4 分，7～12 题每题 5 分） 【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】 1．设集合 {1, 2, 3}A  ，集合 {3, 4}B  ，则 A B  ． 2．不等式 1 02 x x   的解集是 ． 3．已知复数 z 满足 (z 2)i 1  （i 是虚数单位），则 z  ． 4．设函数 1( ) 1f x x   的反函数为 1( )f x ，则 1(2)f   ． 5．点 (0,0) 到直线 2x y  的距离是 ． 6．计算： 1 2 3lim ( 2)n n n n       ． 7．若关于 x、y 的方程组 4 6 1 3 2 x y ax y      无解，则实数 a  ． 8．用数字 0、1、2、3、4、5 组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 ．（结 果用数值表示） 9．若 2 3(2 )na b 的二项展开式中有一项为 4 12ma b ，则 m  ． 10．设 O 为坐标原点，直线 x a 与双曲线 2 2 2 2: 1 ( 0, 0)x yC a ba b     的两条渐近线分别交 于 ,D E 两点，若 ODE△ 的面积为 1，则双曲线 C 的焦距的最小值为 ． 11．已知函数 ( )y f x ，对任意 x R ，都有 ( 2) ( )f x f x k   ( k 为常数)，且当 [0,2]x 时， 2( ) 1f x x  ，则 (2021)f  ． 12．已知点 D 为圆 2 2: 4O x y  的弦 MN 的中点，点 A 的坐标为 (1, 0) ，且 1AM AN   ，则 OA OD uur uuur 的范围是 ． 高三数学 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分） 【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分， 否则一律得零分．】 13．若 0a b  ，则下列不等式恒成立的是（ ） A． 1 1 a b  B． a b  C． 2 2a b D． 3 3a b 14．正方体上的点 P、Q、R、S 是其所在棱的中点，则直线 PQ 与直线 RS 异面的图形是（ ） A． B． C． D． 15．设{ }na 为等比数列，则“对于任意的 * 2, m mm a a N ”是“{ }na 为递增数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 16．设函数 ( )y f x 的定义域是 R ，对于下列四个命题： （1）若函数 ( )y f x 是奇函数，则函数  ( )y f f x 是奇函数； （2）若函数 ( )y f x 是周期函数，则函数  ( )y f f x 是周期函数； （3）若函数 ( )y f x 是单调减函数，则函数  ( )y f f x 是单调减函数； （4）若函数 ( )y f x 存在反函数 1( )y f x ，且函数 1( ) ( )y f x f x  有零点，则函数 ( )y f x x  也有零点； 其中正确的命题共有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分） 【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】 17．（本题满分 14 分，本题共有 2 个小题，第(1)小题满分 7 分，第(2)小题满分 7 分） 如图，已知 AB  平面 BCD，BC BD ，直线 AD 与平面 BCD 所成的角为 30°，且 2AB BC  ． （1）求三棱锥 A BCD 的体积； （2）设 M 为 BD 的中点，求异面直线 AD 与 CM 所成角 的大小（结果用反三角函数值表示）. 18．（本题满分 14 分，本题共有 2 个小题，第(1)小题满分 6 分，第(2)小题满分 8 分） S R P Q Q P R S Q P S R R P S Q 高三数学 已知函数 21( ) sin2 3cos2f x x x  ． （1）求函数 ( )y f x 的最小正周期； （2）在 ABC△ 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若锐角 A 满足 1 3( ) 2f A  ， 6C  ， 2c  ，求 ABC△ 的面积． 19．（本题满分 14 分，本题共有 2 个小题，第(1)小题满分 6 分，第(2)小题满分 8 分） 研究表明：在一节 40 分钟的网课中，学生的注意力指数 y 与听课时间 x（单位：分钟） 之间的变化曲线如图所示． 当 [0,16]x 时 ， 曲 线 是 二 次 函 数 图 像 的 一 部 分 ； 当 [16, 40]x 时 ， 曲 线 是 函 数 0.8log ( ) 80y x a   图像的一部分．当学生的注意力指数不高于 68 时，称学生处于“欠佳听课 状态”． （1）求函数 ( )y f x 的解析式； （2）在一节 40 分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态” 的时间有多长？（精确到 1 分钟） y x1216 40 80 84 O ·· · ·· ·· · 高三数学 20．（本题满分 16 分，本题共有 3 个小题，第(1)小题满分 4 分，第(2)小题满分 5 分，第(3)小 题满分 7 分） 已知椭圆 2 2: 14 x y   的左右顶点分别为 A、B，P 为直线 4x  上的动点，直线 PA 与椭圆  的另一交点为 C，直线 PB 与椭圆  的另一交点为 D． （1）若点 C 的坐标为 (0,1) ，求点 P 的坐标； （2）若点 P 的坐标为 (4,1) ，求以 BD 为直径的圆的方程； （3）求证：直线 CD 过定点． 21．（本题满分 18 分，本题共有 3 个小题，第(1)小题满分 4 分，第(2)小题满分 6 分，第(3)小 题满分 8 分） 对于数列{ }na ，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称{ }na 为 P 数列． （1）若数列1, 2, , 8x 是 P 数列，求实数 x 的取值范围； （2）设数列 1 2 3 10, , , ,a a a a 是首项为 1 、公差为 d 的等差数列，若该数列是 P 数列， 求 d 的取值范围； （3）设无穷数列{ }na 是首项为 a、公比为 q 的等比数列，有穷数列{ }nb ，{ }nc 是从{ }na 中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别记为 1T ， 2T ． 求证：当 0a  且 1 2T T 时，数列{ }na 不是 P 数列． 高三数学 崇明区 2021 届第一次高考模拟考试（数学）参考答案及评分标准 一、填空题 1. {3}； 2. ( 2,1) ； 3. 2 i ； 4. 1 2  ； 5. 2 ； 6. 1 2 ； 7. 2 ； 8.48； 9.60； 10. 2 2 ； 11. 2； 12.[-1，2). 二、选择题 13.D; 14.B; 15.C; 16.B 三、解答题 17.解：（1）因为 AB  平面 BCD， 所以 ADB 就是直线 AD 与平面 BCD 所成的角，所以 30ADB   ...............3 分 所以 2 3BD  ， 所以 1 4 33 3A BCD BCDV S AB    ...........................7 分 （2）取线段 AB 的中点 N ，联结CN 、 MN ，则 / /MN AD 所以 CMN 就是异面直线 AD 与 CM 所成的角...........................4 分 在 CMN 中， 2MN  ， 5CN  ， 7CM  所以 2 2 2 3 7cos 2 14 CM MN CNCMN CM MN     ...........................7 分 18.解：（1） 1 3(1 cos2 ) 3( ) sin2 sin(2 )2 2 3 2 xf x x x      ...........................4 分 所以函数 ( )y f x 的最小正周期 2 | |T    ...........................6 分 （2）由 1 3( ) 2f A  ，得： 1sin(2 )=3 2A  因为 (0, )2A  ，所以 22 ( , )3 3 3A      ，所以 2 =3 6A   ， 4A  ...........................3 分 所以 2 2 2 2 4 2cos 2 4 2 b c a bA bc b      ，所以 2 6 2b  ...........................6 分 所以 1 sin 3 12ABCS bc A   ...........................8 分 19.解：（1）当 [0,16]x 时，设 2( ) ( 12) 84( 0)f x b x b    由 (16) 80f  ，得： 2(16 12) 84=80b   ，故 1 4b   ...........................2 分 当 [16, 40]x 时，由 (16) 80f  ，得： 0.8log (16 ) 80 80a   ，故 15a   .................4 分 高三数学 所以 2 0.8 1 ( 12) 84, [0,16]( ) 4 log ( 15) 80, (16,40] x xf x x x          ...........................6 分 （2）当 [0,16]x 时，由 21 ( 12) 84 684 x    ，得： [0,4]x ...........................3 分 当 [16, 40]x 时，由 0.8log ( 15) 80 68x    ，得： 1215 0.8 29.6x    所以 [30,40]x ...........................3 分 因此，在一节 40 分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有 14 分钟..............8 分. 20. 解：（1）由题意， ( 2,0)A  ，直线 AP 的方程是： 12 x y  ...........................3 分 由 12 4 x y x      ，得：点 P 的坐标是(4,3)...........................4 分 （2）由题意， (2,0)B ，直线 PB 的方程是： 2 2 x y  ，代入 2 2 14 x y  ，得： 2 2 0x x  ，解得： 0x  ，或 2x  ，所以点 D 坐标为（0，-1）， 线段 BD中点为 1(1, )2  ，| | 5BD  ...........................3 分 所以以 BD 为直径的圆的方程是 2 21 5( 1) ( )2 4x y    ...........................5 分 （3）设 0(4, )P y ， 1 1( , )C x y ， 2 2D( , )x y ，则直线 AP 的方程是： 0 ( 2) 6y x y  代入 2 2 14 x y  ，得： 2 2 2 2 0 0 0(9 ) 4 4 36 0y x y x y     所以 2 0 1 2 0 2 18= 9 yx y    ， 0 1 2 0 6 9 yy y   同理，可得： 2 0 2 2 0 2 2= 1 yx y   ， 0 2 2 0 2 1 yy y   ..........................4 分 所以直线CD 的方程为： 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 6 2 2 2 2 2 18 2( )( ) ( )( )1 9 1 1 9 1 y y y y y yx yy y y y y y                令 0y  ，得： 1x  所以直线CD 过定点（1，0）..........................7 分 21.解：（1）由题意，得： 1 2 8 1 2 x x       ，所以3 5x  ..........................4 分 (2)由题意知，该数列的前 n 项和为 ( 1) 2n n nS n d   ， 1 1na nd    ， 高三数学 由数列 1 2 3 10, , , ,a a a a 是 P 数列，可知 2 1 1a S a  ，故公差 0d  ..........................3 分 2 1 31 1 02 2n n dS a n d n          对满足 1,2,3 ,9n   的任意 n 都成立，则 2 39 9 1 1 02 2 d d        ，解得 8 27d  ， 故 d 的取值范围为 80, 27      ..........................6 分 (3)若 na 是 P 数列，则 1 2a S a aq   ， 因为 0a  ，所以 1q  ，又由 1n na S  对一切正整数 n 都成立，可知 1 1 n n qaq a q    ，即 12 n q q       对一切正整数 n 都成立， 由 1 0 n q      ， 1lim 0 n n q      ，故 2 0q  ，可得 2q  ..........................3 分 若 nb 中的每一项都在 nc 中，则由这两数列是不同数列，可知 1 2T T ； 若 nc 中的每一项都在 nb 中，同理可得 1 2T T> ； 若 nb 中至少有一项不在 nc 中且 nc 中至少有一项不在 nb 中， 设 nb  ， nc  是将 nb ， nc 中的公共项去掉之和剩余项依次构成的数列，它们的所有项和 分别为 1T ， 2T  ， 不妨设 nb  ， nc  中最大的项在 nb  中，设为 )2(ma m  ， 则 2 1 2 1 1m mT a a a a T       ，故 2 1T T   ，故总有 1 2T T 与 1 2T T 矛盾，故假设错误， 原命题正确...........................8 分