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- 2021-06-16 发布
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2021 届高三第一学期期末联合考试
数学学科试题 2021.1.28
本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟
一、单项选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共计 40 分.在每小题给出的四个选
项中,只有一个是符合题目要求)
1.已知集合 1 3A x x R , 2 4xB x N ,则集合 A B 中元素的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.若 1 2z i i ,则 z 的虚部为( )
A.1 B.-1 C.i D. i
3.在
6
1
2
x
x
的二项展开式中, 2x 的系数为( )
A. 15
16 B. 15
16
C. 3
16 D. 3
16
4.已知平面向量 3, 1a , 4b ,且 2a b a ,则 a b ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
5.2020 年 12 月 17 日凌晨,嫦娥五号返回器携带月球土壤样品,在预定区域安全着陆.嫦娥五号
是使用长征五号火箭发射成功的,在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度 v (单位:m/s)和
燃料的质量 M (单位:kg)、火箭(除燃料外)的质量 m (单位:kg)的函数关系表达式为
2000ln(1 )Mv m
.如果火箭的最大速度达到12 km/s,则燃料的质量与火箭的质量的关系是( )
A. 6M e m B. 6 1Mm e C. ln ln 6M m D. 6 1M em
6.设 sin 2a ,则( D )
A.
2
1
2
2 logaa a B.
2
1
2
2 logaa a
C.
2
1
2
log 2aa a D.
2
1
2
log 2aa a
7.函数 ( ) |sin | cosf x x x 的导函数 ( )f x 在[0, ] 上的图像为( )
8.在四面体 ABCD 中, ABC BCD 和 均是边长为 1 的等边三角形,已知四面体 ABCD 的四个顶点
都在同一球面上,且 AD 是该球的直径,则四面体 ABCD 的体积为( )
A. 2
24
B. 2
12
C. 2
6
D. 2
4
二、多项选择题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项
中,有多项符合题目要求,请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得 5 分,
部分选对得 2 分,不选或有错选的得 0 分.
9.下列命题中正确的是( )
A. 命题" Rx . sinx 1 "的否定是“ x∈R,sinx>1"
B. “a>1"是 1
a <1”的充分不必要条件
C. 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 2a + 2b > 2c ,则△ABC 为锐角三角形
D. 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 sin2A= sin2B,则 A=B
10.已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ( *nN ),公差 0d , 6 90S , 7a 是 3a 与 9a 的等比
中项,则下列选项正确的是( )
A. 1 22a B. 2d
C.当 10n 或 11n 时, nS 取得最大值 D.当 0nS 时, n 的最大值为 21
11. 过抛物线 2 4y x 的焦点 F 作直线交抛物线于 1 1( , )A x y , 2 2( , )B x y 两点,M 为线段 AB 的中点,
则( )
A.以线段 AB 为直径的圆与直线 1x 相切 B.以线段 BF 为直径的圆与 y 轴相切
C.当 3AF FB
uuur uur 时, 9
2AB D. 3OA OB (O 为坐标原点)
12.已知函数 sin( )( 0)4y x 在区间 (0,1) 上恰有一条对称轴和一个对称中心,则下列结论
中正确的是( )
A.存在 ,使 2sin( )4 2
B.存在 ,使 2 2sin( )4 2
C.有且仅有一个 0 (0,1)x ,使 0
4sin( )4 5x
D.存在 0 (0,1)x ,使 0sin( ) 04x
三、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填写在答题卡相应位
置上.
13.已知 1tan 3
,则
2sin 2 sin
1 cos2
的值为________.
14. CES 是世界上最大的消费电子技术展,也是全球最大的消费技术产业盛会.2020CES 消费电子展
于 2020 年 1 月 7 日—10 日在美国拉斯维加斯举办.在这次 CES 消费电子展上,我国某企业发布了全
球首款彩色水墨屏阅读手机,惊艳了全场.若该公司从 7 名员工中选出 3 名员工负责接待工作(这.3
名员工的工作视为相同的工作.............),再选出 2 名员工分别在上午、下午讲解该款手机性能,若其中甲和
乙至多有 1 人负责接待工作,则不同的安排方案共有__________种.
15.某校开展“我身边的榜样”评选活动,现对 3 名候选人甲、乙、丙进行不记名投票,投票要求见
选票,如图所示.这 3 名候选人的得票数(不考虑是否有效)分别为总票数的 84%,75%,46%,
则本次投票的有效率(有效票数与总票数的比值)最高可能为__________.
“我身边的榜样”评选选票
候选人 符号 注:
1.同意画“○”,不同意画“×”.
2.每张选票....“○”...的个数不超过......2.
时才为有效票.......
甲
乙
丙
16.如图,在底面边长为 2,高为 3 的正四棱柱中,大球与该正四棱柱的五个面均相切,小球在大
球上方且与该正四棱柱的三个面相切,也与大球相切,则小球的半径为__________.
四、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出
必要的文字说明,证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分 10 分)已知递增的等差数列{ }na 中, 、 5a 是方程 027122 xx 的两根,
数列{ }nb 的前 n 项和为 nS ,且 nn bS 2
11 ( Nn ).
(1)求数列{ }na ,{ }nb 的通项公式;
(2)记 nnn bac ,求数列{ }nc 的前 n 项和 nT .
18.((本小题满分 12 分))
已知 ABC 中, cos 0b A c .
(Ⅰ) ABC 中是否必有一个内角为钝角,说明理由.
(Ⅱ)若 ABC 同时满足下列四个条件中的三个:
1 2sin 2A ;② 3sin 2C ;③ 2a ;④ 2c .
请证明使得 ABC 存在的这三个条件仅有一组,写出这组条件并求出 b 的值.
19.(本小题满分 12 分)如图,正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面互相垂直,且边长都是 1,M ,
N ,G 分别为线段 AC , BF , AB 上的动点,且CM BN , / /AF 平面 MNG ,记
0 1BG a a .
(1)证明: MG 平面 ABEF ;
(2)当 MN 的长最小时,求二面角 A MN B 的余弦值.
20. (本小题满分 12 分)为了进一步提升广电网络质量,某市广电运营商从该市某社区随机抽取140
名客户,对广电网络业务水平和服务水平的满意程度进行调查,其中业务水平的满意率为 6
7
,服务
水平的满意率为 5
7
,对业务水平和服务水平都满意的有90名客户.
(1)完成下面 2 2 列联表,并分析是否有 97.5%的把握认为业务水平与服务水平有关;
对服务水平满意人数 对服务水平不满意人数 合计
对业务水平满意人数
对业务水平不满意人数
合计
(2)为进一步提高服务质量,在选出的对服务水平不满意的客户中,抽取 2 名征求改进意见,用 X
表示对业务水平不满意的人数,求 X 的分布列与期望;
(3)若用频率代替概率,假定在业务服务协议终止时,对业务水平和服务水平两项都满意的客户流
失率为5%,只对其中一项不满意的客户流失率为 40% ,对两项都不满意的客户流失率为 75% ,
从该社区中任选 4 名客户,则在业务服务协议终止时至少有 2 名客户流失的概率为多少?
附:
2P K k 0010 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
,其中 n a b c d .
21. (本小题满分 12 分)已知函数 ln 1 cos 1xf x ae x a , a R .
(1)当 1a 时,求 f x 的零点;
(2)若 0f x ,求 a 的取值范围.
22.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C:
2 2
2 2 1x y
a b
0a b 的离心率为 3
2
,且经过点 (2,1)P ,.
直线 l 与椭圆 C 有两个不同的交点 A,B,且直线 PA 交 y 轴于 M,直线 PB 交 y 轴于 N.
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)设O 为原点,若 OM ON ,求证:直线 l 经过定点.
2021 届高三第一学期期末联合考试
数学学科试题 2021.1.28
本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟
一、单项选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共计 40 分.在每小题给出的四个选
项中,只有一个是符合题目要求)
1.已知集合 1 3A x x R , 2 4xB x N ,则集合 A B 中元素的个数为( B )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.若 1 2z i i ,则 z 的虚部为( B )
A.1 B.-1 C.i D. i
3.在
6
1
2
x
x
的二项展开式中, 2x 的系数为( D )
A. 15
16 B. 15
16
C. 3
16 D. 3
16
4.已知平面向量 3, 1a , 4b ,且 2a b a ,则 a b ( C )
A.2 B.3 C.4 D.5
5.2020 年 12 月 17 日凌晨,嫦娥五号返回器携带月球土壤样品,在预定区域安全着陆.嫦娥五号
是使用长征五号火箭发射成功的,在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度 v (单位:m/s)和
燃料的质量 M (单位:kg)、火箭(除燃料外)的质量 m (单位:kg)的函数关系表达式为
2000ln(1 )Mv m
.如果火箭的最大速度达到12 km/s,则燃料的质量与火箭的质量的关系是
( D )
A. 6M e m B. 6 1Mm e C. ln ln 6M m D. 6 1M em
6.设 sin 2a ,则( D )
A.
2
1
2
2 logaa a B.
2
1
2
2 logaa a
C.
2
1
2
log 2aa a D.
2
1
2
log 2aa a
7.函数 ( ) |sin | cosf x x x 的导函数 ( )f x 在[0, ] 上的图像为( B )
8.在四面体 ABCD 中, ABC BCD 和 均是边长为 1 的等边三角形,已知四面体 ABCD 的四个顶点
都在同一球面上,且 AD 是该球的直径,则四面体 ABCD 的体积为( B )
A. 2
24
B. 2
12
C. 2
6
D. 2
4
二、多项选择题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项
中,有多项符合题目要求,请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得 5 分,
部分选对得 2 分,不选或有错选的得 0 分.
9.下列命题中正确的是( AB )
A. 命题" Rx . sinx 1 "的否定是“ x∈R,sinx>1"
B. “a>1"是 1
a <1”的充分不必要条件
C. 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 2a + 2b > 2c ,则△ABC 为锐角三角形
D. 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 sin2A= sin2B,则 A=B
10.已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ( *nN ),公差 0d , 6 90S , 7a 是 3a 与 9a 的等比
中项,则下列选项正确的是( BC )
A. 1 22a B. 2d
C.当 10n 或 11n 时, nS 取得最大值 D.当 0nS 时, n 的最大值为 21
11. 过抛物线 2 4y x 的焦点 F 作直线交抛物线于 1 1( , )A x y , 2 2( , )B x y 两点,M 为线段 AB 的中点,
则( ABD )
A.以线段 AB 为直径的圆与直线 1x 相切 B.以线段 BF 为直径的圆与 y 轴相切
C.当 3AF FB
uuur uur 时, 9
2AB D. 3OA OB (O 为坐标原点)
12.已知函数 sin( )( 0)4y x 在区间 (0,1) 上恰有一条对称轴和一个对称中心,则下列结论
中正确的是( ABD )
A.存在 ,使 2sin( )4 2
B.存在 ,使 2 2sin( )4 2
C.有且仅有一个 0 (0,1)x ,使 0
4sin( )4 5x
D.存在 0 (0,1)x ,使 0sin( ) 04x
三、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填写在答题卡相应位
置上.
13.已知 1tan 3
,则
2sin 2 sin
1 cos2
的值为____ 5
18 ____.
14. CES 是世界上最大的消费电子技术展,也是全球最大的消费技术产业盛会.2020CES 消费电子展
于 2020 年 1 月 7 日—10 日在美国拉斯维加斯举办.在这次 CES 消费电子展上,我国某企业发布了全
球首款彩色水墨屏阅读手机,惊艳了全场.若该公司从 7 名员工中选出 3 名员工负责接待工作(这.3
名员工的工作视为相同的工作.............),再选出 2 名员工分别在上午、下午讲解该款手机性能,若其中甲和
乙至多有 1 人负责接待工作,则不同的安排方案共有_____360_____种.
15.某校开展“我身边的榜样”评选活动,现对 3 名候选人甲、乙、丙进行不记名投票,投票要求见
选票,如图所示.这 3 名候选人的得票数(不考虑是否有效)分别为总票数的 84%,75%,46%,
则本次投票的有效率(有效票数与总票数的比值)最高可能为
___95%_______.
“我身边的榜样”评选选票
候选人 符号 注:
1.同意画“○”,不同意画“×”.甲
16.如图,在底面边长为 2,高为 3 的正四棱柱中,大球与该正四棱柱的五个面均相切,小球在大
球上方且与该正四棱柱的三个面相切,也与大球相切,则小球的半径为___ 4 2 3 _______.
四、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出
必要的文字说明,证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分 10 分)已知递增的等差数列{ }na 中, 2a 、 5a 是方程 027122 xx 的两根,
数列{ }nb 的前 n 项和为 nS ,且 nn bS 2
11 ( Nn ).
(1)求数列{ }na ,{ }nb 的通项公式;
(2)记 nnn bac ,求数列{ }nc 的前 n 项和 nT .
解:(1) 027122 xx 得 31 x , 92 x ,
因 为 na 是 递 增 , 所 以 32 a , 95 a , 解
3
94
12
15
daa
daa 得
2
11
d
a , 所 以
12 nan ……………2 分
在 11 2n ns b 中,令 1n 得 11 2
11 bb ,
3
2
1 b ,
当 2n 时, nn bS 2
11 , 1 1
11 2n ns b ,两式相减得 nnn bbb 2
1
2
1
1
3
1
1
n
n
b
b , nb 是等比数列,所以 n
n
n bb 3
2)3
1( 1
1 …………………5 分
(2) nnnn
nbac 3
24
nnn
nnT 3
24
3
2)1(4
3
234
3
224
3
214
1321
2.每张选票....“○”...的个数不超过......2.
时才为有效票.......
乙
丙
12210 3
24
3
2)1(4
3
234
3
224
3
2143
nnn
nnT
两式相减得: nnn
nT 3
24
3
4
3
4
3
422 121
n
n
3
444 ,
所以 nn
nT 3
222 ……………10 分
18.((本小题满分 12 分))
已知 ABC 中, cos 0b A c .
(Ⅰ) ABC 中是否必有一个内角为钝角,说明理由.
(Ⅱ)若 ABC 同时满足下列四个条件中的三个:
① 2sin 2A ;② 3sin 2C ;③ 2a ;④ 2c .
请证明使得 ABC 存在的这三个条件仅有一组,写出这组条件并求出 b 的值.
解:(Ⅰ)因为 cos 0b A c ,由正弦定理可得sin cos sin 0B A C ,
在 ABC 中, πC A B ,
sin sin sin cos cos sinC A B A B A B ,.........2 分
所以不等式整理为sin cos cos sin sin cosA B A B B A ,
即sin cos 0A B ,因为 0,πA ,sin 0A ,
所以 cos 0B ,所以 B 为钝角..........4 分
(Ⅱ)(i)若满足①③④,则正弦定理可得
sin sin
a c
A C
,
即
2 2
sin2
2
C
,所以 1sin 2C ,
又 a c ,所以 A C ,在三角形中, 2sin 2A ,
所以 π
4A 或 3 π4A ,而由(Ⅰ)可得 π
4A ,
所以可得 π
6C , π π 7π π π4 6 12B A C ,.........6 分
所 以
2 2 6 22 cos 4 2 2 2 2 3 14b a c ac B
..........7 分
(ii)若满足①②,由(Ⅰ)B 为钝角,A,C 为锐角,
及 2sin 2A , 3sin 2C 可得 π
4A , π
3C ,
所以 5 π12B 不符合 B 为钝角,故①②不同时成立..........9 分
(iii)若满足②③④,由 B 为钝角, 3sin 2C ,
所以 π
3C ,而 a c ,所以 A C ,这时 π
3B ,
不符合 B 为钝角的情况,所以这种情况不成立..........11 分
综上所述:只有满足①③④时 3 1b ..........12 分
19.(本小题满分 12 分)如图,正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面互相垂直,且边长都是 1,M ,
N ,G 分别为线段 AC , BF , AB 上的动点,且CM BN , / /AF 平面 MNG ,记
0 1BG a a .
(1)证明: MG 平面 ABEF ;
(2)当 MN 的长最小时,求二面角 A MN B 的余弦值.
【详解】(1)因为 / /AF 平面 MNG ,
且 AF 平面 ABEF ,平面 ABEF 平面 MNG NG ,
所以 / /AF NG ,........1 分
所以 2CM BN a ,所以 2 1AM a ,
所以 1AM AG a
CM BG a
,所以 //MG BC ,........2 分
所以 MG AB ,........3 分
又因为平面 ABCD 平面 ABEF ,
且 MG 平面 ABCD ,平面 ABCD 平面 ABEF AB ,
所以 MG 平面 ABEF .........5 分
(2)由(1)知, MG NG ,
2 2 2 2(1 ) 2 2 1 2MN a a a a ,当且仅当 1
2a 时等号成立,........7 分
分别以 BA , BE , BC 所在的直线为 x 轴, y 轴, z 轴,
建立如图所示的空间直角坐标系 B xyz ,
则 1,0,0A , 0,0,0B , 1 1,0,2 2M
, 1 1, ,02 2N
,
设平面 AMN 的一个法向量为 1 1 1, ,m x y z ,
因为 1 1,0,2 2AM
, 1 10, ,2 2MN
,
则
1 1
1 1
02 2
02 2
x zm AM
y zm MN
,取 1 1z ,得 1,1,1m ,........9 分
设平面 BMN 的一个法向量为 2 2 2, ,n x y z ,
因为 1 1,0,2 2BM
, 1 10, ,2 2MN
,
则
2 2
2 2
02 2
02 2
x zn BM
y zn MN
,取 2 1z ,得 1,1,1n ,........11 分
所以 1cos , 3
m nm n
m n
,则二面角 A MN B 的余弦值为 1
3
.........12 分
20. (本小题满分 12 分)为了进一步提升广电网络质量,某市广电运营商从该市某社区随机抽取140
名客户,对广电网络业务水平和服务水平的满意程度进行调查,其中业务水平的满意率为 6
7
,服务
水平的满意率为 5
7
,对业务水平和服务水平都满意的有90名客户.
(1)完成下面 2 2 列联表,并分析是否有 97.5%的把握认为业务水平与服务水平有关;
对服务水平满意人数 对服务水平不满意人数 合计
对业务水平满意人数
对业务水平不满意人数
合计
(2)为进一步提高服务质量,在选出的对服务水平不满意的客户中,抽取 2 名征求改进意见,用 X
表示对业务水平不满意的人数,求 X 的分布列与期望;
(3)若用频率代替概率,假定在业务服务协议终止时,对业务水平和服务水平两项都满意的客户流
失率为5%,只对其中一项不满意的客户流失率为 40% ,对两项都不满意的客户流失率为 75% ,
从该社区中任选 4 名客户,则在业务服务协议终止时至少有 2 名客户流失的概率为多少?
附:
2P K k 0010 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
,其中 n a b c d .
【解析】(1)由题意知对业务水平的满意的为120人,对服务水平的满意的为100人,得 2 2 列联
表:
对服务水平满意人数 对服务水平不满意人数 合计
对业务水平满意人数 90 30 120
对业务水平不满意人数 10 10 20
合计 100 40 140
2
2 140 90 10 30 10 21 5.25 5.024120 20 100 40 4K
,
所以,有97.5%的把握认为业务水平与服务水平有关..........4 分
(2) X 的可能取值为 0,1,2 ;
所以
0 2
10 30
2
40
C C 290 C 52P X ,
1 1
10 30
2
40
C C 201 C 52P X ,
2 0
10 30
2
40
C C 32 C 52P X .
则 X 的分布列如下,
X 0 1 ·
P 29
52
20
52
3
52
29 20 3 10 1 252 52 52 2E X ..........8 分
(3)在业务服务协议终止时,对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失的概率为
90 95%140 280
,
只对其中一项不满意的客户流失率为 40 3240%140 280
,
对两项都不满意的客户流失率为 10 1575%140 280
.
从该运营系统中任选一名客户流失的概率为 9 32 15 1
280 5
,
在业务服务协议终止时,从社区中任选 4 名客户,至少有 2 名客户流失的概率为
4 0 3
0
4 4
14 1 4 1 1131 C C5 5 5 5 625P
..........12 分
21. (本小题满分 12 分)已知函数 ln 1 cos 1xf x ae x a , a R .
(1)当 1a 时,求 f x 的零点;
(2)若 0f x ,求 a 的取值范围.
【详解】(1)由题知:当 1a 时, ln 1 1xf x e x , 1' 1
xf x e x
,
令 1( ) '( ) 1
xg x f x e x
,所以 2
1'( ) 0(1 )
xg x e x
,.........2 分
所以 g x 在 1, 上单调递增,且 0 0g ,
所以,当 1,0x 时, ' 0f x , f x 在 1,0 上单调递减;
当 0,x 时, ' 0f x , f x 在 0, 上单调递增. .........3 分
所以 0 0f x f ,所以 f x 的零点为 0x ..........4 分
(2)因为 1'( ) 1
xf x ae x
,
当 1a 时, 0 cos 1f a a ,令 cos 1h a a a ,
因为 ' 1 sin 1 0h a a ;所以 h a 在 ,1 上单调递增,
所以 1 0h a h ,即 0 0f ,所以 1a 不合题意,.........6 分
当 1a 时,令 'm x f x ,则 2
1 0(1 )' xam x e x
,
所以 m x 在 1, 上单调递增,
且 0 1 0m a ,
1 11 1 0am ae a a aa
,
所以存在 0 1,0x ,使得 0 0m x ,.........8 分
即 0
0
1 01
xae x
, 0 0ln 1 lnx x a ,
所以,当 01,x x 时,设 ' 0f x , f x 在 00, x 上单调递减;
当 0,x x 时,设 ' 0f x , f x 在 0,x 单调递增;.........9 分
所以 0
0 0( ) ln 1 cos( 1)xf x f x ae x a 0
0
1 ln cos( 1)1 x a ax
0
0
1 1 ln cos( 1) 1 1 ln cos( 1) 01 x a a a ax
..........11 分
综上,所求 a 的取值范围为 1a ..........12 分
22.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C:
2 2
2 2 1x y
a b
0a b 的离心率为 3
2
,且经过点 (2,1)P ,.
直线 l 与椭圆 C 有两个不同的交点 A,B,且直线 PA 交 y 轴于 M,直线 PB 交 y 轴于 N.
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)设O 为原点,若 OM ON ,求证:直线 l 经过定点.
解:(1)依题意,
2 2
2 2 2
3
2
4 1 1
, , 0
c
a
a b
a b c
a b c
>
,解得
2 2
2
6
a
b
c
所以椭圆 C 的方程为
2 2
18 2
x y ..........4 分
(II)设 A( 1x , 1y ),B( 2x , 2y ),M(0,t),t≠0,则 N(0,-t).
因为 P(2,1),所以直线 PM 方程为 1
2
ty x t
联立
2 2
18 2
1
2
x y
ty x t
,得 22 ( 1) 2 8 0x t x t ,
即 2 2 2( 2 2) 4 ( 1) 4 8 0t t x t t x t , 2 2( 2) ( 2 2) 2 4 0x t t x t ,
所以
2
1 2
2 4
2 2
tx t t
,
2 2
1 2 2
1 2 4 4 2
2 2 2 2 2
t t t ty tt t t t
同理
2
2 2
2 4
2 2
tx t t
,
2
2 2
4 2
2 2
t ty t t
................6 分
猜想:直线 AB 过定点 Q(0,u),其中 u 待定. .........7 分
证明:因为 1 1( , )QA x y u , 2 2( , )QB x y u ,
1 1 2 2( ) ( )x y u x y u
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 4 4 2 2 4 4 2 2 4 2 4( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
t t t t t t t tut t t t t t t t t t t t
3 3
4 4
16( 2 ) 8 ( 2 )
4 4
t t u t t
t t
3
4
8( 2)( 2 )
4
u t t
t
所以当 u=-2 时,QA
∥ QB
恒成立。
所以直线 AB 即直线 l 过定点 Q(0,-2).................12 分
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