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  • 2021-06-16 发布

江苏省常州市前黄高级中学、溧阳中学2021届高三上学期期末联合考试数学试题

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2021 届高三第一学期期末联合考试 数学学科试题 2021.1.28 本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟 一、单项选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共计 40 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一个是符合题目要求) 1.已知集合  1 3A x x    R ,  2 4xB x  N ,则集合 A B 中元素的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.若  1 2z i i  ,则 z 的虚部为( ) A.1 B.-1 C.i D. i 3.在 6 1 2 x x      的二项展开式中, 2x 的系数为( ) A. 15 16 B. 15 16  C. 3 16 D. 3 16  4.已知平面向量  3, 1a   , 4b  ,且 2a b a    ,则 a b   ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 5.2020 年 12 月 17 日凌晨,嫦娥五号返回器携带月球土壤样品,在预定区域安全着陆.嫦娥五号 是使用长征五号火箭发射成功的,在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度 v (单位:m/s)和 燃料的质量 M (单位:kg)、火箭(除燃料外)的质量 m (单位:kg)的函数关系表达式为 2000ln(1 )Mv m   .如果火箭的最大速度达到12 km/s,则燃料的质量与火箭的质量的关系是( ) A. 6M e m B. 6 1Mm e  C. ln ln 6M m  D. 6 1M em   6.设 sin 2a  ,则( D ) A. 2 1 2 2 logaa a  B. 2 1 2 2 logaa a  C. 2 1 2 log 2aa a  D. 2 1 2 log 2aa a  7.函数 ( ) |sin | cosf x x x 的导函数 ( )f x 在[0, ] 上的图像为( ) 8.在四面体 ABCD 中, ABC BCD 和 均是边长为 1 的等边三角形,已知四面体 ABCD 的四个顶点 都在同一球面上,且 AD 是该球的直径,则四面体 ABCD 的体积为( ) A. 2 24 B. 2 12 C. 2 6 D. 2 4 二、多项选择题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项 中,有多项符合题目要求,请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得 5 分, 部分选对得 2 分,不选或有错选的得 0 分. 9.下列命题中正确的是( ) A. 命题" Rx . sinx 1 "的否定是“  x∈R,sinx>1" B. “a>1"是 1 a <1”的充分不必要条件 C. 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 2a + 2b > 2c ,则△ABC 为锐角三角形 D. 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 sin2A= sin2B,则 A=B 10.已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ( *nN ),公差 0d  , 6 90S  , 7a 是 3a 与 9a 的等比 中项,则下列选项正确的是( ) A. 1 22a  B. 2d   C.当 10n  或 11n  时, nS 取得最大值 D.当 0nS  时, n 的最大值为 21 11. 过抛物线 2 4y x 的焦点 F 作直线交抛物线于 1 1( , )A x y , 2 2( , )B x y 两点,M 为线段 AB 的中点, 则( ) A.以线段 AB 为直径的圆与直线 1x   相切 B.以线段 BF 为直径的圆与 y 轴相切 C.当 3AF FB uuur uur 时, 9 2AB  D. 3OA OB    (O 为坐标原点) 12.已知函数 sin( )( 0)4y x     在区间 (0,1) 上恰有一条对称轴和一个对称中心,则下列结论 中正确的是( ) A.存在 ,使 2sin( )4 2    B.存在 ,使 2 2sin( )4 2    C.有且仅有一个 0 (0,1)x  ,使 0 4sin( )4 5x    D.存在 0 (0,1)x  ,使 0sin( ) 04x    三、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填写在答题卡相应位 置上. 13.已知 1tan 3   ,则 2sin 2 sin 1 cos2      的值为________. 14. CES 是世界上最大的消费电子技术展,也是全球最大的消费技术产业盛会.2020CES 消费电子展 于 2020 年 1 月 7 日—10 日在美国拉斯维加斯举办.在这次 CES 消费电子展上,我国某企业发布了全 球首款彩色水墨屏阅读手机,惊艳了全场.若该公司从 7 名员工中选出 3 名员工负责接待工作(这.3 名员工的工作视为相同的工作.............),再选出 2 名员工分别在上午、下午讲解该款手机性能,若其中甲和 乙至多有 1 人负责接待工作,则不同的安排方案共有__________种. 15.某校开展“我身边的榜样”评选活动,现对 3 名候选人甲、乙、丙进行不记名投票,投票要求见 选票,如图所示.这 3 名候选人的得票数(不考虑是否有效)分别为总票数的 84%,75%,46%, 则本次投票的有效率(有效票数与总票数的比值)最高可能为__________. “我身边的榜样”评选选票 候选人 符号 注: 1.同意画“○”,不同意画“×”. 2.每张选票....“○”...的个数不超过......2. 时才为有效票....... 甲 乙 丙 16.如图,在底面边长为 2,高为 3 的正四棱柱中,大球与该正四棱柱的五个面均相切,小球在大 球上方且与该正四棱柱的三个面相切,也与大球相切,则小球的半径为__________. 四、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出 必要的文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分)已知递增的等差数列{ }na 中, 、 5a 是方程 027122  xx 的两根, 数列{ }nb 的前 n 项和为 nS ,且 nn bS 2 11 (  Nn ). (1)求数列{ }na ,{ }nb 的通项公式; (2)记 nnn bac  ,求数列{ }nc 的前 n 项和 nT . 18.((本小题满分 12 分)) 已知 ABC 中, cos 0b A c  . (Ⅰ) ABC 中是否必有一个内角为钝角,说明理由. (Ⅱ)若 ABC 同时满足下列四个条件中的三个: 1 2sin 2A  ;② 3sin 2C  ;③ 2a  ;④ 2c  . 请证明使得 ABC 存在的这三个条件仅有一组,写出这组条件并求出 b 的值. 19.(本小题满分 12 分)如图,正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面互相垂直,且边长都是 1,M , N ,G 分别为线段 AC , BF , AB 上的动点,且CM BN , / /AF 平面 MNG ,记  0 1BG a a   . (1)证明: MG  平面 ABEF ; (2)当 MN 的长最小时,求二面角 A MN B  的余弦值. 20. (本小题满分 12 分)为了进一步提升广电网络质量,某市广电运营商从该市某社区随机抽取140 名客户,对广电网络业务水平和服务水平的满意程度进行调查,其中业务水平的满意率为 6 7 ,服务 水平的满意率为 5 7 ,对业务水平和服务水平都满意的有90名客户. (1)完成下面 2 2 列联表,并分析是否有 97.5%的把握认为业务水平与服务水平有关; 对服务水平满意人数 对服务水平不满意人数 合计 对业务水平满意人数 对业务水平不满意人数 合计 (2)为进一步提高服务质量,在选出的对服务水平不满意的客户中,抽取 2 名征求改进意见,用 X 表示对业务水平不满意的人数,求 X 的分布列与期望; (3)若用频率代替概率,假定在业务服务协议终止时,对业务水平和服务水平两项都满意的客户流 失率为5%,只对其中一项不满意的客户流失率为 40% ,对两项都不满意的客户流失率为 75% , 从该社区中任选 4 名客户,则在业务服务协议终止时至少有 2 名客户流失的概率为多少? 附:  2P K k 0010 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828        2 2 n ad bcK a b c d a c b d      ,其中 n a b c d    . 21. (本小题满分 12 分)已知函数      ln 1 cos 1xf x ae x a     , a R . (1)当 1a  时,求  f x 的零点; (2)若   0f x  ,求 a 的取值范围. 22.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C: 2 2 2 2 1x y a b   0a b  的离心率为 3 2 ,且经过点 (2,1)P ,. 直线 l 与椭圆 C 有两个不同的交点 A,B,且直线 PA 交 y 轴于 M,直线 PB 交 y 轴于 N. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设O 为原点,若 OM ON ,求证:直线 l 经过定点. 2021 届高三第一学期期末联合考试 数学学科试题 2021.1.28 本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟 一、单项选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共计 40 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一个是符合题目要求) 1.已知集合  1 3A x x    R ,  2 4xB x  N ,则集合 A B 中元素的个数为( B ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.若  1 2z i i  ,则 z 的虚部为( B ) A.1 B.-1 C.i D. i 3.在 6 1 2 x x      的二项展开式中, 2x 的系数为( D ) A. 15 16 B. 15 16  C. 3 16 D. 3 16  4.已知平面向量  3, 1a   , 4b  ,且 2a b a    ,则 a b   ( C ) A.2 B.3 C.4 D.5 5.2020 年 12 月 17 日凌晨,嫦娥五号返回器携带月球土壤样品,在预定区域安全着陆.嫦娥五号 是使用长征五号火箭发射成功的,在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度 v (单位:m/s)和 燃料的质量 M (单位:kg)、火箭(除燃料外)的质量 m (单位:kg)的函数关系表达式为 2000ln(1 )Mv m   .如果火箭的最大速度达到12 km/s,则燃料的质量与火箭的质量的关系是 ( D ) A. 6M e m B. 6 1Mm e  C. ln ln 6M m  D. 6 1M em   6.设 sin 2a  ,则( D ) A. 2 1 2 2 logaa a  B. 2 1 2 2 logaa a  C. 2 1 2 log 2aa a  D. 2 1 2 log 2aa a  7.函数 ( ) |sin | cosf x x x 的导函数 ( )f x 在[0, ] 上的图像为( B ) 8.在四面体 ABCD 中, ABC BCD 和 均是边长为 1 的等边三角形,已知四面体 ABCD 的四个顶点 都在同一球面上,且 AD 是该球的直径,则四面体 ABCD 的体积为( B ) A. 2 24 B. 2 12 C. 2 6 D. 2 4 二、多项选择题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项 中,有多项符合题目要求,请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得 5 分, 部分选对得 2 分,不选或有错选的得 0 分. 9.下列命题中正确的是( AB ) A. 命题" Rx . sinx 1 "的否定是“  x∈R,sinx>1" B. “a>1"是 1 a <1”的充分不必要条件 C. 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 2a + 2b > 2c ,则△ABC 为锐角三角形 D. 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 sin2A= sin2B,则 A=B 10.已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ( *nN ),公差 0d  , 6 90S  , 7a 是 3a 与 9a 的等比 中项,则下列选项正确的是( BC ) A. 1 22a  B. 2d   C.当 10n  或 11n  时, nS 取得最大值 D.当 0nS  时, n 的最大值为 21 11. 过抛物线 2 4y x 的焦点 F 作直线交抛物线于 1 1( , )A x y , 2 2( , )B x y 两点,M 为线段 AB 的中点, 则( ABD ) A.以线段 AB 为直径的圆与直线 1x   相切 B.以线段 BF 为直径的圆与 y 轴相切 C.当 3AF FB uuur uur 时, 9 2AB  D. 3OA OB    (O 为坐标原点) 12.已知函数 sin( )( 0)4y x     在区间 (0,1) 上恰有一条对称轴和一个对称中心,则下列结论 中正确的是( ABD ) A.存在 ,使 2sin( )4 2    B.存在 ,使 2 2sin( )4 2    C.有且仅有一个 0 (0,1)x  ,使 0 4sin( )4 5x    D.存在 0 (0,1)x  ,使 0sin( ) 04x    三、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填写在答题卡相应位 置上. 13.已知 1tan 3   ,则 2sin 2 sin 1 cos2      的值为____ 5 18 ____. 14. CES 是世界上最大的消费电子技术展,也是全球最大的消费技术产业盛会.2020CES 消费电子展 于 2020 年 1 月 7 日—10 日在美国拉斯维加斯举办.在这次 CES 消费电子展上,我国某企业发布了全 球首款彩色水墨屏阅读手机,惊艳了全场.若该公司从 7 名员工中选出 3 名员工负责接待工作(这.3 名员工的工作视为相同的工作.............),再选出 2 名员工分别在上午、下午讲解该款手机性能,若其中甲和 乙至多有 1 人负责接待工作,则不同的安排方案共有_____360_____种. 15.某校开展“我身边的榜样”评选活动,现对 3 名候选人甲、乙、丙进行不记名投票,投票要求见 选票,如图所示.这 3 名候选人的得票数(不考虑是否有效)分别为总票数的 84%,75%,46%, 则本次投票的有效率(有效票数与总票数的比值)最高可能为 ___95%_______. “我身边的榜样”评选选票 候选人 符号 注: 1.同意画“○”,不同意画“×”.甲 16.如图,在底面边长为 2,高为 3 的正四棱柱中,大球与该正四棱柱的五个面均相切,小球在大 球上方且与该正四棱柱的三个面相切,也与大球相切,则小球的半径为___ 4 2 3 _______. 四、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出 必要的文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分)已知递增的等差数列{ }na 中, 2a 、 5a 是方程 027122  xx 的两根, 数列{ }nb 的前 n 项和为 nS ,且 nn bS 2 11 (  Nn ). (1)求数列{ }na ,{ }nb 的通项公式; (2)记 nnn bac  ,求数列{ }nc 的前 n 项和 nT . 解:(1) 027122  xx 得 31 x , 92 x , 因 为  na 是 递 增 , 所 以 32 a , 95 a , 解      3 94 12 15 daa daa 得      2 11 d a , 所 以 12  nan ……………2 分 在 11 2n ns b  中,令 1n 得 11 2 11 bb  , 3 2 1 b , 当 2n 时, nn bS 2 11 , 1 1 11 2n ns b   ,两式相减得 nnn bbb 2 1 2 1 1   3 1 1  n n b b , nb 是等比数列,所以 n n n bb 3 2)3 1( 1 1   …………………5 分 (2) nnnn nbac 3 24  nnn nnT 3 24 3 2)1(4 3 234 3 224 3 214 1321   2.每张选票....“○”...的个数不超过......2. 时才为有效票....... 乙 丙 12210 3 24 3 2)1(4 3 234 3 224 3 2143   nnn nnT  两式相减得: nnn nT 3 24 3 4 3 4 3 422 121   n n 3 444  , 所以 nn nT 3 222  ……………10 分 18.((本小题满分 12 分)) 已知 ABC 中, cos 0b A c  . (Ⅰ) ABC 中是否必有一个内角为钝角,说明理由. (Ⅱ)若 ABC 同时满足下列四个条件中的三个: ① 2sin 2A  ;② 3sin 2C  ;③ 2a  ;④ 2c  . 请证明使得 ABC 存在的这三个条件仅有一组,写出这组条件并求出 b 的值. 解:(Ⅰ)因为 cos 0b A c  ,由正弦定理可得sin cos sin 0B A C  , 在 ABC 中, πC A B   ,  sin sin sin cos cos sinC A B A B A B    ,.........2 分 所以不等式整理为sin cos cos sin sin cosA B A B B A  , 即sin cos 0A B  ,因为  0,πA ,sin 0A  , 所以 cos 0B  ,所以 B 为钝角..........4 分 (Ⅱ)(i)若满足①③④,则正弦定理可得 sin sin a c A C  , 即 2 2 sin2 2 C  ,所以 1sin 2C  , 又 a c ,所以 A C ,在三角形中, 2sin 2A  , 所以 π 4A  或 3 π4A  ,而由(Ⅰ)可得 π 4A  , 所以可得 π 6C  , π π 7π π π4 6 12B A C       ,.........6 分 所 以 2 2 6 22 cos 4 2 2 2 2 3 14b a c ac B                 ..........7 分 (ii)若满足①②,由(Ⅰ)B 为钝角,A,C 为锐角, 及 2sin 2A  , 3sin 2C  可得 π 4A  , π 3C  , 所以 5 π12B  不符合 B 为钝角,故①②不同时成立..........9 分 (iii)若满足②③④,由 B 为钝角, 3sin 2C  , 所以 π 3C  ,而 a c ,所以 A C ,这时 π 3B  , 不符合 B 为钝角的情况,所以这种情况不成立..........11 分 综上所述:只有满足①③④时 3 1b   ..........12 分 19.(本小题满分 12 分)如图,正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面互相垂直,且边长都是 1,M , N ,G 分别为线段 AC , BF , AB 上的动点,且CM BN , / /AF 平面 MNG ,记  0 1BG a a   . (1)证明: MG  平面 ABEF ; (2)当 MN 的长最小时,求二面角 A MN B  的余弦值. 【详解】(1)因为 / /AF 平面 MNG , 且 AF  平面 ABEF ,平面 ABEF  平面 MNG NG , 所以 / /AF NG ,........1 分 所以 2CM BN a  ,所以  2 1AM a  , 所以 1AM AG a CM BG a   ,所以 //MG BC ,........2 分 所以 MG AB ,........3 分 又因为平面 ABCD  平面 ABEF , 且 MG  平面 ABCD ,平面 ABCD  平面 ABEF AB , 所以 MG  平面 ABEF .........5 分 (2)由(1)知, MG NG , 2 2 2 2(1 ) 2 2 1 2MN a a a a       ,当且仅当 1 2a  时等号成立,........7 分 分别以 BA , BE , BC 所在的直线为 x 轴, y 轴, z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系 B xyz , 则  1,0,0A ,  0,0,0B , 1 1,0,2 2M      , 1 1, ,02 2N      , 设平面 AMN 的一个法向量为  1 1 1, ,m x y z , 因为 1 1,0,2 2AM       , 1 10, ,2 2MN       , 则 1 1 1 1 02 2 02 2 x zm AM y zm MN              ,取 1 1z  ,得  1,1,1m  ,........9 分 设平面 BMN 的一个法向量为  2 2 2, ,n x y z , 因为 1 1,0,2 2BM       , 1 10, ,2 2MN       , 则 2 2 2 2 02 2 02 2 x zn BM y zn MN             ,取 2 1z  ,得  1,1,1n   ,........11 分 所以 1cos , 3 m nm n m n           ,则二面角 A MN B  的余弦值为 1 3  .........12 分 20. (本小题满分 12 分)为了进一步提升广电网络质量,某市广电运营商从该市某社区随机抽取140 名客户,对广电网络业务水平和服务水平的满意程度进行调查,其中业务水平的满意率为 6 7 ,服务 水平的满意率为 5 7 ,对业务水平和服务水平都满意的有90名客户. (1)完成下面 2 2 列联表,并分析是否有 97.5%的把握认为业务水平与服务水平有关; 对服务水平满意人数 对服务水平不满意人数 合计 对业务水平满意人数 对业务水平不满意人数 合计 (2)为进一步提高服务质量,在选出的对服务水平不满意的客户中,抽取 2 名征求改进意见,用 X 表示对业务水平不满意的人数,求 X 的分布列与期望; (3)若用频率代替概率,假定在业务服务协议终止时,对业务水平和服务水平两项都满意的客户流 失率为5%,只对其中一项不满意的客户流失率为 40% ,对两项都不满意的客户流失率为 75% , 从该社区中任选 4 名客户,则在业务服务协议终止时至少有 2 名客户流失的概率为多少? 附:  2P K k 0010 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828        2 2 n ad bcK a b c d a c b d      ,其中 n a b c d    . 【解析】(1)由题意知对业务水平的满意的为120人,对服务水平的满意的为100人,得 2 2 列联 表: 对服务水平满意人数 对服务水平不满意人数 合计 对业务水平满意人数 90 30 120 对业务水平不满意人数 10 10 20 合计 100 40 140  2 2 140 90 10 30 10 21 5.25 5.024120 20 100 40 4K          , 所以,有97.5%的把握认为业务水平与服务水平有关..........4 分 (2) X 的可能取值为 0,1,2 ; 所以   0 2 10 30 2 40 C C 290 C 52P X    ,   1 1 10 30 2 40 C C 201 C 52P X    ,   2 0 10 30 2 40 C C 32 C 52P X    . 则 X 的分布列如下, X 0 1 · P 29 52 20 52 3 52   29 20 3 10 1 252 52 52 2E X        ..........8 分 (3)在业务服务协议终止时,对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失的概率为 90 95%140 280   , 只对其中一项不满意的客户流失率为 40 3240%140 280   , 对两项都不满意的客户流失率为 10 1575%140 280   . 从该运营系统中任选一名客户流失的概率为 9 32 15 1 280 5    , 在业务服务协议终止时,从社区中任选 4 名客户,至少有 2 名客户流失的概率为 4 0 3 0 4 4 14 1 4 1 1131 C C5 5 5 5 625P                      ..........12 分 21. (本小题满分 12 分)已知函数      ln 1 cos 1xf x ae x a     , a R . (1)当 1a  时,求  f x 的零点; (2)若   0f x  ,求 a 的取值范围. 【详解】(1)由题知:当 1a  时,    ln 1 1xf x e x    ,   1' 1 xf x e x    , 令 1( ) '( ) 1 xg x f x e x     ,所以 2 1'( ) 0(1 ) xg x e x    ,.........2 分 所以  g x 在 1,  上单调递增,且  0 0g  , 所以,当  1,0x  时,  ' 0f x  ,  f x 在 1,0 上单调递减; 当  0,x  时,  ' 0f x  ,  f x 在 0,  上单调递增. .........3 分 所以    0 0f x f  ,所以  f x 的零点为 0x  ..........4 分 (2)因为 1'( ) 1 xf x ae x    , 当 1a  时,    0 cos 1f a a   ,令    cos 1h a a a   , 因为    ' 1 sin 1 0h a a    ;所以  h a 在 ,1 上单调递增, 所以    1 0h a h  ,即  0 0f  ,所以 1a  不合题意,.........6 分 当 1a  时,令    'm x f x ,则   2 1 0(1 )' xam x e x    , 所以  m x 在 1,  上单调递增, 且  0 1 0m a   , 1 11 1 0am ae a a aa          , 所以存在  0 1,0x   ,使得  0 0m x  ,.........8 分 即 0 0 1 01 xae x   ,  0 0ln 1 lnx x a    , 所以,当  01,x x  时,设  ' 0f x  ,  f x 在 00, x 上单调递减; 当  0,x x  时,设  ' 0f x  ,  f x 在 0,x  单调递增;.........9 分 所以    0 0 0( ) ln 1 cos( 1)xf x f x ae x a      0 0 1 ln cos( 1)1 x a ax      0 0 1 1 ln cos( 1) 1 1 ln cos( 1) 01 x a a a ax             ..........11 分 综上,所求 a 的取值范围为 1a  ..........12 分 22.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C: 2 2 2 2 1x y a b   0a b  的离心率为 3 2 ,且经过点 (2,1)P ,. 直线 l 与椭圆 C 有两个不同的交点 A,B,且直线 PA 交 y 轴于 M,直线 PB 交 y 轴于 N. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设O 为原点,若 OM ON ,求证:直线 l 经过定点. 解:(1)依题意, 2 2 2 2 2 3 2 4 1 1 , , 0 c a a b a b c a b c             > ,解得 2 2 2 6 a b c       所以椭圆 C 的方程为 2 2 18 2 x y  ..........4 分 (II)设 A( 1x , 1y ),B( 2x , 2y ),M(0,t),t≠0,则 N(0,-t). 因为 P(2,1),所以直线 PM 方程为 1 2 ty x t  联立 2 2 18 2 1 2 x y ty x t        ,得  22 ( 1) 2 8 0x t x t     , 即 2 2 2( 2 2) 4 ( 1) 4 8 0t t x t t x t       , 2 2( 2) ( 2 2) 2 4 0x t t x t        , 所以 2 1 2 2 4 2 2 tx t t    , 2 2 1 2 2 1 2 4 4 2 2 2 2 2 2 t t t ty tt t t t             同理 2 2 2 2 4 2 2 tx t t    , 2 2 2 4 2 2 2 t ty t t      ................6 分 猜想:直线 AB 过定点 Q(0,u),其中 u 待定. .........7 分 证明:因为 1 1( , )QA x y u  , 2 2( , )QB x y u  , 1 1 2 2( ) ( )x y u x y u   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 4 2 4( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 t t t t t t t tut t t t t t t t t t t t                           3 3 4 4 16( 2 ) 8 ( 2 ) 4 4 t t u t t t t      3 4 8( 2)( 2 ) 4 u t t t     所以当 u=-2 时,QA  ∥ QB  恒成立。 所以直线 AB 即直线 l 过定点 Q(0,-2).................12 分