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  • 2021-06-16 发布

江苏省南京市江宁区2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题

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江宁区 2020-2021 上学期高二年级期末考试试卷 一、单项选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共计 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上) 1.抛物线 21 3y x 的焦点坐标是 ( ) A. 3( ,0)4 B. 1( ,0)6 C. 1( ,0)12 D. 3(0, )4 2.已知 1cos 4 32       ,则 sin  ( ) A. 7 9 B. 1 9 C.- 1 9 D.- 7 9 3. 直线 3y+1 0x   与圆 2 21 1x y   的位置关系是( ) A.直线过圆心 B.相切 C.相离 D.相交 4.函数 1 4 2  x xy 的图象大致为( ) .A .B .C .D 5.设 Ra ,则“ 2a  ”是“ 2 2a  ”的 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 6.中国古代词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十二斤绵,赠分八子做盘缠,次第每 人多十六,要将第八数来言”.题意是:把 992 斤绵分给 8 个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺 序依次分绵,年龄小的比年龄大的多 16 斤绵,那么第 8 个儿子分到的绵是( ) A. 174 斤 B. 184 斤 C. 180 斤 D. 181 斤 7.已知 1 2x  ,则 23 2 1x x   的最小值是( ) A. 3 2 B. 33 2  C. 3+2 D. 32 3+ 2 8.已知函数 )(xf 的定义域为 R ,且       )0()1( )0(12)( xxf xxf x ,若方程 axxf )( 有两个不同的 实根,则 a 的取值范围为( ) .A  1, .B  1, .C  1,0 .D   , 二、多项选择题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分.每小题给出的四个选项中,都有多个 选项是正确的,全部选对的得 5 分,选对但不全的得 3 分,选错或不答的得 0 分.请把正确的选项 填涂在答题卡相应的位置上. 9.先将函数 ( ) cos(2 )3f x x   的图象上各点的横坐标伸长到原来的 4 倍,纵坐标不变,再将其向左 平移 3  得到函数 ( )y g x 的图象,则函数 ( )g x 的对称轴方程可能是( ) A. 7 3x  B. 3x  C. 2x  D. 0x  10.等腰直角三角形直角边长为 1,现将该三角形绕其某一边旋转一周,则所形成的几何体的表面积 可能为( ) .A 2 .B )21(  .C 22 .D )22(  11.在递增的等比数列 na 中,已知公比为 q, nS 是其前 n 项和,若 1 4 32a a  , 2 3 12a a  ,则 下列说法正确的是( ) A. 2q  B.数列 2nS  是等比数列 C. 8 510S  D.数列 lg na 是公差为 2 的等差数列 12.设椭圆 12: 2 2  yxC 的左右焦点为 1F , 2F , P 是C 上的动点,则下列结论正确的是 .A 离心率 2 6e .B 21 PFPF  的最小值为 0 .C 21FPF 面积的最大值为 2 .D 以线段 21FF 为直径的圆与直线 02  yx 相切 .)( nmxf   三、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 13.一元二次不等式 0132 2  xx 的解集为___________. 14.已知函数 ( ) sin 2f x x ,则该函数的对称轴方程为__________. 15.记 n 项正项数列为 1 2 3, , , , na a a a… ,其前 n 项积为 nT ,定义 1 2lg lg lg NT T T  …… 为“相对 积叠加和”,如果有 2020 项的正项数列 1 2 3 2020, , , ,a a a a… 的“相对积叠加和”为 2020,则有 2021 项的数列 1 2 3 202010, , , , ,a a a a… 的“相对积叠加和”为 . 16. 已知三棱锥 S ABC 的四个顶点都在球O 的球面上,且 SA SB SC  , 3, 4, 5SA SB SC   ,则该三棱锥的体积为 ,球O 的表面积 为 . 四、解答题:本大题共 6 小题,共计 70 分.请在答题卡指定②②区域内作答,解答时应写出文字 说明、 证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分)已知集合 2{ | 4 3 0},A x x x    B  ______ 若“ x A ”是“ x B ”的必要不充分条件,给出如下三个条件: 请从中任选一个补充到横线上。若问题中的 a 存在,求出 a 的取值范围; 18.(本小题满分 12 分) 已知向量 , ,记 (1)若 ,求 的值; (2)在锐角 ,中 角 A,B,C 的对边分别是 且满足 ,求 的取值范 围. 19 .(本小题满分 12 分)如图,在正方体 中,E 为 的中点. (1)求证: 平面 ; (2)求直线 与平面 所成角的正弦值. 20.(本小题满分 12 分)新型冠状病毒感染的肺炎治疗过程中,需要某医药公司生产的某种药品. 此药品的年固定成本为 180 万元,每生产 x 千件需另投入成本为  C x .当年产量不足 40 千件时,   21 103C x x x  (万元).当年产量不小于 40 千件时,   08031 420C x x x    (万元).每千件 商品售价为 30 万元,在疫情期间,该公司生产的药品能全部售完. (1)写出年利润  L x (万元)关于年产量 x (千件)的函数解析式; (2)该公司决定将此药品所获利润的10% 用来捐赠防疫物资.当年产量为多少千件时,在这一药品 的生产中所获利润最大?此时可捐赠多少万元的物资款? 21.(本小题满分 12 分)已知等差数列 }{ na 的前 n 项和 nS ,且 65 a , .1493  aa (1)求 ;, nn Sa (2)设 ,1 nSb n n  设 }{ nb 的前 n 项和为 nT ,若 mTn  恒成立,求 m 的取值范围; 22.(本小题满分 12 分)已知O 为坐标原点,椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的左右焦点分别为 1 2,F F , 1 2| | 2F F  , P 为椭圆的上顶点,以 P 为圆心且过 1 2,F F 的圆与直线 2x   相切. (1)求椭圆C 的标准方程; (2)已知直线l 交椭圆C 于 ,M N 两点. (ⅰ)若直线l 的斜率等于1,求 OMN 面积的最大值; (ⅱ)若 1OM ON   uuuur uuur ,点 D 在l 上,OD l .证明:存在定点W ,使得| |DW 为定值. 江宁区 2020~2021 上学期高二年级期末考试试卷答案 一、 单项选择题: 1.D 2.D 3.B 4. A 5.A 6.C 7.D 8.A 二、多项选择题: 9.AB 10.AB 11.ABC 12.BD 三、填空题: 13. ]1,2 1[ 14. ,( )2 4 kx k Z    15.4041 16. 10,50 四、解答题: 17.(本小题满分 10 分) 解:若填 2{ | 4 3 0},A x x x    { |1 3}A x x    .................................................3 分 , 若“ ”是“ ”的必要不充分条件, 则集合 AB  且 AB  ..............................................6 分 则 即 a 的取值范围为 。............................................10 分 若填 2{ | 4 3 0},A x x x    { |1 3}A x x    .................................................3 分 , 若“ ”是“ ”的必要条件, 则集合 AB  且 AB  ..............................................6 分 则 .............................................8 分 此时 ,故“ ”是“ ”的充要条件,不满足题意, 故无解...........................................................10 分 若填 2{ | 4 3 0},A x x x    { |1 3}A x x    .................................................3 分 , 若“ ”是“ ”的必要条件,..................................6 分 则 ,方程组无解. 即不存在 a 满足“ ”是“ ”的必要不充分条件................10 分 18.(本小题满分 12 分) 解: 记 , 由 ,得 ,.......................................2 分 ;...................................4 分 , 由正弦定理得: , ,...................................5 分 又 , , , , 又 B 为锐角, ,................................................8 分 则 , , , , , ,.....................................................10 分 , 的取值范围是 ..........................................12 分 19.(本小题满分 12 分) 解: 1 由正方体的性质可知, 中,且 , 四边形 是平行四边形, , 又 平面 , 平面 , 平面 E.......................4 分 2 以 A 为原点,AD、AB、 分别为 x、y 和 z 轴建立如图所示的空间直角 坐标系, 设正方体的棱长为 a,则 0, , 0, , 0, , a, , , , ,........8 分 设平面 的法向量为 ,则 ,即 , 令 ,则 , , ,..................10 分 设直线 与平面 所成角为 , 则 , , 故直线 与平面 所成角的正弦值为 ..............................12 分 20.(本小题满分 12 分) 解:(1)由题可得:     2 30 180 1 20 180,0 403 800 240, 40 L x x C x x x x x xx               .......................................................................5 分 (2)①当  0,40x 时,     2 2 1 20 1803 1 30 1203 L x x x x         ∴当 30x  时,  L x 取最大值,  max 120L x  (万元) ②当 40x  时,   800 240 800 240 L x x x x x            令   800g x x x   ,因为 40x  时,  g x 在 40 +, 上单调递增; ∴    min 40 =60g x g , ∴  max 60 240 180L x     综合①②当  max 180L x  此时可以捐赠180 10%=18 (万元)...............................11 分 答:当年生产 40 千件时利润最大,此时可捐赠 18 万元物资款。............12 分 21.(本小题满分 12 分) 解: Ⅰ 设等差数列 的公差为 d, 由 ,可得 , 又 ,所以 , 又由 ,得 , 所以 ,........................................4 分 所以 ;..............................................6 分 Ⅱ 由 ,得 ,......................8 分 所以 ,......10 分 因为 ,所以 , 而 恒成立,故 . 故 m 的取值范围为 ..............................................12 分 22.(本小题满分 12 分) (1)由题意知: 1( 1,0)F  , 2 (1,0)F , 又  0,P b ,则以 P 为圆心且过 1 2,F F 的圆的半径为 2a  , 故 2, 1, 1a b c   ,所以椭圆C 的标准方程为: 2 2 12 x y  ..............4 分 (2)(ⅰ)设直线l 的方程为: y x t  ,    1 1 2 2, , ,M x y N x y 将 y x t  代入 2 2 12 x y  得: 2 23 4 2 2 0x tx t    , 所以 2 1 2 1 2 4 2 2,3 3 t tx x x x     且  2 2 216 12 2 2 24 8 0t t t       , 故 3 3t   . 又 2 2 1 2 1 2 1 2 4 3| | 2 | | 2 ( ) 4 3 tAB x x x x x x       , 点O 到直线l 的距离 2 | | | | 21 1 t td    , 所以 2 2 2 2 21 | | 4 3 2 2 3 2(3 ) ( )2 3 3 3 2 22AOB t t t tS t t           , 等号当仅当 2 23t t  时取,即当 6 2t   时, OMN 的面积取最大值为 2 2 ....8 分 (ⅱ)显然直线l 的斜率一定存在, 设直线l 的方程为: y kx t  ,    1 1 2 2, , ,M x y N x y , 由(ⅰ)知: 2 1 2 1 22 2 4 2 2, ,1 2 1 2 kt tx x x xk k      所以 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2( )( ) ( ) 1 2 t ky y kx t kx t k x x kt x x t k          , 所以 2 2 1 2 1 2 2 3 2 2 11 2 t kOM ON x x y y k          , 解得 2 1 3t  , 3 3t   ,直线过定点 30, 3Z       或 3(0, )3  , 所以 D 在以 OZ 为直径的圆上,该圆的圆心为 30, 6W       或 30, 6      ,半径等于 3 6 , 所以存在定点 30, 6W       或 30, 6      ,使得| |DW 为定值 3 6 ..................12 分