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- 2021-06-16 发布
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江宁区 2020-2021 上学期高二年级期末考试试卷
一、单项选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共计 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一
个是符合题目要求的,请把答案添涂在答题卡相应位置上)
1.抛物线 21
3y x 的焦点坐标是 ( )
A. 3( ,0)4
B. 1( ,0)6
C. 1( ,0)12
D. 3(0, )4
2.已知 1cos 4 32
,则 sin ( )
A. 7
9
B. 1
9
C.- 1
9
D.- 7
9
3. 直线 3y+1 0x 与圆 2 21 1x y 的位置关系是( )
A.直线过圆心 B.相切 C.相离 D.相交
4.函数
1
4
2
x
xy 的图象大致为( )
.A .B
.C .D
5.设 Ra ,则“ 2a ”是“ 2 2a ”的
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
6.中国古代词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十二斤绵,赠分八子做盘缠,次第每
人多十六,要将第八数来言”.题意是:把 992 斤绵分给 8 个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺
序依次分绵,年龄小的比年龄大的多 16 斤绵,那么第 8 个儿子分到的绵是( )
A. 174 斤 B. 184 斤 C. 180 斤 D. 181 斤
7.已知 1
2x ,则 23 2 1x x
的最小值是( )
A. 3
2
B. 33 2
C. 3+2 D. 32 3+ 2
8.已知函数 )(xf 的定义域为 R ,且
)0()1(
)0(12)(
xxf
xxf
x
,若方程 axxf )( 有两个不同的
实根,则 a 的取值范围为( )
.A 1, .B 1, .C 1,0 .D ,
二、多项选择题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分.每小题给出的四个选项中,都有多个
选项是正确的,全部选对的得 5 分,选对但不全的得 3 分,选错或不答的得 0 分.请把正确的选项
填涂在答题卡相应的位置上.
9.先将函数 ( ) cos(2 )3f x x 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 4 倍,纵坐标不变,再将其向左
平移
3
得到函数 ( )y g x 的图象,则函数 ( )g x 的对称轴方程可能是( )
A. 7
3x B.
3x C. 2x D. 0x
10.等腰直角三角形直角边长为 1,现将该三角形绕其某一边旋转一周,则所形成的几何体的表面积
可能为( )
.A 2 .B )21( .C 22 .D )22(
11.在递增的等比数列 na 中,已知公比为 q, nS 是其前 n 项和,若 1 4 32a a , 2 3 12a a ,则
下列说法正确的是( )
A. 2q B.数列 2nS 是等比数列
C. 8 510S D.数列 lg na 是公差为 2 的等差数列
12.设椭圆 12: 2
2
yxC 的左右焦点为 1F , 2F , P 是C 上的动点,则下列结论正确的是
.A 离心率
2
6e .B 21 PFPF 的最小值为 0
.C 21FPF 面积的最大值为 2 .D 以线段 21FF 为直径的圆与直线 02 yx 相切
.)( nmxf
三、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分.请把答案填写在答题卡相应位置上
13.一元二次不等式 0132 2 xx 的解集为___________.
14.已知函数 ( ) sin 2f x x ,则该函数的对称轴方程为__________.
15.记 n 项正项数列为 1 2 3, , , , na a a a… ,其前 n 项积为 nT ,定义 1 2lg lg lg NT T T …… 为“相对
积叠加和”,如果有 2020 项的正项数列 1 2 3 2020, , , ,a a a a… 的“相对积叠加和”为 2020,则有 2021
项的数列 1 2 3 202010, , , , ,a a a a… 的“相对积叠加和”为 .
16. 已知三棱锥 S ABC 的四个顶点都在球O 的球面上,且
SA SB SC , 3, 4, 5SA SB SC ,则该三棱锥的体积为 ,球O 的表面积
为 .
四、解答题:本大题共 6 小题,共计 70 分.请在答题卡指定②②区域内作答,解答时应写出文字
说明、 证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分 10 分)已知集合 2{ | 4 3 0},A x x x B ______
若“ x A ”是“ x B ”的必要不充分条件,给出如下三个条件:
请从中任选一个补充到横线上。若问题中的 a 存在,求出 a 的取值范围;
18.(本小题满分 12 分)
已知向量 , ,记
(1)若 ,求 的值;
(2)在锐角 ,中 角 A,B,C 的对边分别是 且满足 ,求 的取值范
围.
19
.(本小题满分 12 分)如图,在正方体 中,E 为 的中点.
(1)求证: 平面 ;
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
20.(本小题满分 12 分)新型冠状病毒感染的肺炎治疗过程中,需要某医药公司生产的某种药品.
此药品的年固定成本为 180 万元,每生产 x 千件需另投入成本为 C x .当年产量不足 40 千件时,
21 103C x x x (万元).当年产量不小于 40 千件时, 08031 420C x x x
(万元).每千件
商品售价为 30 万元,在疫情期间,该公司生产的药品能全部售完.
(1)写出年利润 L x (万元)关于年产量 x (千件)的函数解析式;
(2)该公司决定将此药品所获利润的10% 用来捐赠防疫物资.当年产量为多少千件时,在这一药品
的生产中所获利润最大?此时可捐赠多少万元的物资款?
21.(本小题满分 12 分)已知等差数列 }{ na 的前 n 项和 nS ,且 65 a , .1493 aa
(1)求 ;, nn Sa
(2)设 ,1 nSb n
n
设 }{ nb 的前 n 项和为 nT ,若 mTn 恒成立,求 m 的取值范围;
22.(本小题满分 12 分)已知O 为坐标原点,椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的左右焦点分别为
1 2,F F , 1 2| | 2F F , P 为椭圆的上顶点,以 P 为圆心且过 1 2,F F 的圆与直线 2x 相切.
(1)求椭圆C 的标准方程;
(2)已知直线l 交椭圆C 于 ,M N 两点.
(ⅰ)若直线l 的斜率等于1,求 OMN 面积的最大值;
(ⅱ)若 1OM ON
uuuur uuur ,点 D 在l 上,OD l .证明:存在定点W ,使得| |DW 为定值.
江宁区 2020~2021 上学期高二年级期末考试试卷答案
一、 单项选择题:
1.D 2.D 3.B 4. A 5.A 6.C 7.D 8.A
二、多项选择题:
9.AB 10.AB 11.ABC 12.BD
三、填空题:
13. ]1,2
1[ 14. ,( )2 4
kx k Z 15.4041 16. 10,50
四、解答题:
17.(本小题满分 10 分)
解:若填
2{ | 4 3 0},A x x x
{ |1 3}A x x .................................................3 分
,
若“ ”是“ ”的必要不充分条件,
则集合 AB 且 AB ..............................................6 分
则
即 a 的取值范围为 。............................................10 分
若填
2{ | 4 3 0},A x x x
{ |1 3}A x x .................................................3 分
,
若“ ”是“ ”的必要条件,
则集合 AB 且 AB ..............................................6 分
则 .............................................8 分
此时 ,故“ ”是“ ”的充要条件,不满足题意,
故无解...........................................................10 分
若填
2{ | 4 3 0},A x x x
{ |1 3}A x x .................................................3 分
,
若“ ”是“ ”的必要条件,..................................6 分
则 ,方程组无解.
即不存在 a 满足“ ”是“ ”的必要不充分条件................10 分
18.(本小题满分 12 分)
解: 记
,
由 ,得 ,.......................................2 分
;...................................4 分
,
由正弦定理得: ,
,...................................5 分
又 ,
,
, ,
又 B 为锐角, ,................................................8 分
则 ,
,
, ,
,
,.....................................................10 分
,
的取值范围是 ..........................................12 分
19.(本小题满分 12 分)
解: 1 由正方体的性质可知, 中,且 ,
四边形 是平行四边形, ,
又 平面 , 平面 , 平面
E.......................4 分
2 以 A 为原点,AD、AB、 分别为 x、y 和 z 轴建立如图所示的空间直角
坐标系,
设正方体的棱长为 a,则 0, , 0, , 0, , a,
,
, , ,........8 分
设平面 的法向量为 ,则 ,即 ,
令 ,则 , , ,..................10 分
设直线 与平面 所成角为 ,
则 , ,
故直线 与平面 所成角的正弦值为
..............................12 分
20.(本小题满分 12 分)
解:(1)由题可得:
2
30 180
1 20 180,0 403
800 240, 40
L x x C x
x x x
x xx
.......................................................................5 分
(2)①当 0,40x 时,
2
2
1 20 1803
1 30 1203
L x x x
x
∴当 30x 时, L x 取最大值, max 120L x (万元)
②当 40x 时,
800 240
800 240
L x x x
x x
令 800g x x x
,因为 40x 时, g x 在 40 +, 上单调递增;
∴ min 40 =60g x g ,
∴ max 60 240 180L x
综合①②当 max 180L x
此时可以捐赠180 10%=18 (万元)...............................11 分
答:当年生产 40 千件时利润最大,此时可捐赠 18 万元物资款。............12 分
21.(本小题满分 12 分)
解: Ⅰ 设等差数列 的公差为 d,
由 ,可得 ,
又 ,所以 ,
又由 ,得 ,
所以 ,........................................4 分
所以 ;..............................................6 分
Ⅱ 由 ,得
,......................8 分
所以 ,......10 分
因为 ,所以 ,
而 恒成立,故 .
故 m 的取值范围为 ..............................................12 分
22.(本小题满分 12 分)
(1)由题意知: 1( 1,0)F , 2 (1,0)F ,
又 0,P b ,则以 P 为圆心且过 1 2,F F 的圆的半径为 2a ,
故 2, 1, 1a b c ,所以椭圆C 的标准方程为:
2
2 12
x y ..............4 分
(2)(ⅰ)设直线l 的方程为: y x t , 1 1 2 2, , ,M x y N x y
将 y x t 代入
2
2 12
x y 得: 2 23 4 2 2 0x tx t ,
所以
2
1 2 1 2
4 2 2,3 3
t tx x x x 且 2 2 216 12 2 2 24 8 0t t t ,
故 3 3t .
又
2
2
1 2 1 2 1 2
4 3| | 2 | | 2 ( ) 4 3
tAB x x x x x x ,
点O 到直线l 的距离 2
| | | |
21 1
t td
,
所以
2 2 2
2 21 | | 4 3 2 2 3 2(3 ) ( )2 3 3 3 2 22AOB
t t t tS t t ,
等号当仅当 2 23t t 时取,即当 6
2t 时, OMN 的面积取最大值为 2
2
....8 分
(ⅱ)显然直线l 的斜率一定存在,
设直线l 的方程为: y kx t , 1 1 2 2, , ,M x y N x y ,
由(ⅰ)知:
2
1 2 1 22 2
4 2 2, ,1 2 1 2
kt tx x x xk k
所以
2 2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 2
2( )( ) ( ) 1 2
t ky y kx t kx t k x x kt x x t k
,
所以
2 2
1 2 1 2 2
3 2 2 11 2
t kOM ON x x y y k
,
解得 2 1
3t , 3
3t ,直线过定点 30, 3Z
或 3(0, )3
,
所以 D 在以 OZ 为直径的圆上,该圆的圆心为 30, 6W
或 30, 6
,半径等于 3
6
,
所以存在定点 30, 6W
或 30, 6
,使得| |DW 为定值 3
6
..................12 分
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