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- 2021-06-17 发布
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第二节
函数的单调性与最值
内容索引
必备知识
·
自主学习
核心考点
·
精准研析
核心素养
·
微专题
核心素养测评
【
教材
·
知识梳理
】
1.
增函数、减函数
定义
:
一般地
,
设函数
f(x)
的定义域为
I,
如果对于定义域
I
内某个区间
D
上的任意
两个自变量
x
1
,x
2
:
(1)
增函数
:
当
x
1
f(x
2
)
2.
单调性、单调区间的定义
若函数
y=f(x)
在区间
I
上是
___________
或
___________,
则称函数
y=f(x)
在区间
I
上具有单调性
,
单调增区间和单调减区间统称为单调区间
.
单调增函数
单调减函数
3.
函数的最值
前提
设
y=f(x)
的定义域为
A
条件
存在
x
0
∈A,
使得对于任意的
x∈A,
都有
___________
存在
x
0
∈A,
使得对于任意的
x∈A,
都有
___________
结论
f(x
0
)
为
y=f(x)
的最大值
,
记为
y
max
=f(x
0
)
f(x
0
)
为
y=f(x)
的最小值
,
记为
y
min
=f(x
0
)
f(x)≤f(x
0
)
f(x)≥f(x
0
)
【
知识点辨析
】
(
正确的打“√”
,
错误的打“
×”)
(1)
若定义在
R
上的函数
y=f(x),
有
f(-1)f(x
2
),
而不是区间上的两个
特殊值
.
(2)
×
.
函数在
[1,+
∞
)
上是增函数
,
说明其增区间
D
⊇
[1,+
∞
),
而增区间不一定是
[1,+
∞
),
所以该说法错误
.
(3)
×
.
多个单调区间一般不能用“∪”符号连接
,
而应用“
,”
或“和”连接
,
而
本题用“∪”就不正确
,
如
.
(4)√.
由单调性的定义可知是正确的
.
【
易错点索引
】
序号
易错警示
典题索引
1
忽略函数的定义域
考点一、
T2
、
3
2
分式中分子、分母均含变量
,
不经变换直接求值域
考点二、
T1
3
忽略分段函数在不同自变量区间上的解析式
考点三、角度
3
【
教材
·
基础自测
】
1.(
必修
1 P40
练习
T3
改编
)
下列函数中
,
在区间
(0,+∞)
内单调递减的是
(
)
A.y=
-x B.y=x
2
-x
C.y=ln x-x D.y=e
x
【
解析
】
选
A.
对于选项
A,y=
在
(0,+
∞
)
内是减函数
,y=x
在
(0,+
∞
)
内是增函数
,
则
y= -x
在
(0,+
∞
)
内是减函数
;B,C
选项中的函数在
(0,+
∞
)
上均不单调
;
选项
D
中
,y=e
x
在
(0,+
∞
)
上是增函数
.
2.(
必修
1P38
例
1(1)
改编
)
函数
f(x)=x
2
-2x
的单调递增区间是
________.
【
解析
】
f(x)=x
2
-2x
是开口向上的二次函数
,
对称轴为
x=1,
增区间为
[1,+
∞
)(
或
(1,+
∞
)).
答案
:
[1,+
∞
)(
或
(1,+
∞
))
3.(
必修
1P39
例
4(1)
改编
)
函数
y=
在
[2,3]
上的最大值是
________.
【
解析
】
该函数在
[2,3]
上单调递减
,
故当
x=2
时
,
函数取得最大值
,
最大值为
2.
答案
:
2
4.(
必修
1P40
练习
T1
改编
)
若函数
f(x)=x
2
-2mx+1
在
[2,+∞)
上是增函数
,
则实数
m
的取值范围是
________.
【
解析
】
由题意知
,[2,+
∞
)
⊆
[m,+
∞
),
所以
m≤2.
答案
:
(-
∞
,2]
解题新思维 最值和单调性的几个结论的应用
【
结论
】
1.
设
∀
x
1
,x
2
∈D(x
1
≠x
2
),
则
①
x
1
-x
2
>0(<0),f(x
1
)-f(x
2
)>0(<0)
⇔
f(x)
在
D
上单调递增
;x
1
-x
2
>0(<0),
f(x
1
)-f(x
2
)<0(>0)
⇔
f(x)
在
D
上单调递减
;
② >0(
或
(x
1
-x
2
)[f(x
1
)-f(x
2
)]>0)
⇔
f(x)
在
D
上单调递增
;
③ <0(
或
(x
1
-x
2
)[f(x
1
)-f(x
2
)]<0)
⇔
f(x)
在
D
上单调递减
.
2.(1)
闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值
,
当函数在闭区间上单调
时最值一定在端点处取到
.
(2)
开区间上的“单峰”函数一定存在最大值
(
或最小值
).
3.
函数
y=f(x)(f(x)>0)
在公共定义域内与
y=-f(x),y=
的单调性相反
.
4.“
对勾函数”
y=x+ (a>0)
的增区间为
(-∞,- ]
和
[ ,+∞);
减区间
为
[- ,0)
和
(0, ],
且对勾函数为奇函数
.
典例
1.
函数
f(x)=-x+
在 上的最大值是
(
)
A.
B.-
C.-2
D.2
【
解析
】
选
A.
易知
f(x)
在 上是减函数
,
所以
f(x)
max
=f(-2)=2- = .
2.
已知
f(x)=
满足对任意
x
1
≠x
2
,
都有
>0
成立
,
那么
a
的取值范围是
________.
【
解析
】
因为对任意
x
1
≠x
2
都有
>0,
所以
y=f(x)
在
(-∞,+∞)
上是增函数
.
所以 解得 ≤
a<2.
故实数
a
的取值范围是
.
答案
:
【
迁移应用
】
1.(2020·
淮安模拟
)
下列函数
f(x)
中
,
满足“
∀
x
1
,x
2
∈(0,+∞)
且
x
1
≠x
2
,
(x
1
-x
2
)·[f(x
1
)-f(x
2
)]<0”
的是
(
)
A.f(x)=2
x
B.f(x)=|x-1|
C.f(x)= -x
D.f(x)=ln(x+1)
【
解析
】
选
C.
由
(x
1
-x
2
)·[f(x
1
)-f(x
2
)]<0
可知
,f(x)
在
(0,+∞)
上是减函
数
,A,D
选项中
,f(x)
为增函数
;B
中
,f(x)=|x-1|
在
(0,+∞)
上不单调
,
对于
f(x)=
-x,
因为
y=
与
y=-x
在
(0,+∞)
上单调递减
,
因此
f(x)
在
(0,+∞)
上是减函
数
.
2.
已知函数
f(x)=
则
f(f(-3))=_______,f(x)
的最小值是
_____.
【
解析
】
因为
f(-3)=lg[(-3)
2
+1]=lg 10=1,
所以
f(f(-3))=f(1)=0,
当
x≥1
时
,f(x)=x+ -3≥2 -3,
当且仅当
x=
时
,
取等号
,
此时
f(x)
min
=2 -3<0;
当
x<1
时
,f(x)=lg(x
2
+1)≥lg 1=0,
当且仅当
x=0
时
,
取等号
,
此时
f(x)
min
=0.
所以
f(x)
的最小值为
2 -3.
答案
:
0
2 -3
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