【北师大版】2021版高考数学一轮复习第二章函数及其应用2.4 指数与指数函数 9页

- 1 - 2.4 指数与指数函数 核心考点·精准研析 考点一 指数幂的化简与求值 1.下列等式成立的是 ( ) A.(-2)-2=4 B.2a-3= (a>0) C.(-2)0=-1 D.( )4= (a>0) 2.(2019·全国卷Ⅱ)2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天 事业取得又一重大成就,实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系. 为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 L2 点的轨道运行.L2 点是平 衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1,月球质量为M2,地月距离为R,L2点到月球的距离为 r,根据 牛顿运动定律和万有引力定律,r 满足方程: + =(R+r) .设α= ,由于α的值很小,因此在近似计算中 ≈3α3,则 r 的近似值 为 ( ) A. R B. R C. R D. R 3.设 2x=8y+1,9y=3x-9,则 x+y 的值为________. 4.已知 f(x)=2x+2-x,若 f(a)=3,则 f(2a)等于________. 【解析】1.选 D.对于 A,(-2)-2= ,故 A 错误;对于 B,2a-3= ,故 B 错误;对于 C,(-2)0=1,故 C 错误;对于 D,( )4= . 2.选 D.由题可知 M1+ M2= M1,把α= 代入得: M1+ M2= M1, =[ - ]M1= M1= M1, - 2 - 由题中给出的 ≈3α3, 所以 ≈3 ,r3≈ R3,r≈ R. 3.因为 2x=8y+1=23(y+1),所以 x=3y+3, 因为 9y=3x-9=32y,所以 x-9=2y, 解得 x=21,y=6,所以 x+y=27. 答案:27 4.由 f(a)=3 得 2a+2-a=3, 所以(2a+2-a)2=9,即 22a+2-2a+2=9. 所以 22a+2-2a=7,故 f(2a)=22a+2-2a=7. 答案:7 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数. (4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答. (5)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数,形式力求统一. 考点二 指数函数的图像及应用 【典例】1.已知 00,a≠1)的图像,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1), . (2)与指数函数有关的函数的图像的研究,往往利用相应指数函数的图像,通过平移、对称变换得到其图像. (3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解. 2.指数函数的图像与底数大小的比较 在第一象限内,指数函数 y=ax(a>0,a≠1)的图像越高,底数越大. 【秒杀绝招】 T2 可用排除法解决,T3 可利用 2x+1 的取值范围直接求解. - 4 - 1.不论 a 为何值,函数 y=(a-1)2x- 恒过定点,则这个定点的坐标是 ( ) A. B. C. D. 【解析】选 C.y=(a-1)2x- =a -2x, 令 2x- =0,得 x=-1, 故函数 y=(a-1)2x- 恒过定点 . 2.函数 y=ax- (a>0,且 a≠1)的图像可能是 ( ) 【解析】选 D.若 a>1,则 y=ax- 在 R 上是增函数, 当 x=0 时,y=1- ∈(0,1),A,B 不满足. 若 01 为增函数. (3)指数型函数的单调性根据复合函数“同增异减”. 比较指数式的大小 【典例】已知 f(x)=2x-2-x,a= ,b= ,则 f(a),f(b)的大小关系是________. 【解析】易知 f(x)=2x-2-x 在 R 上为增函数, 又 a= = > =b. 所以 f(a)>f(b). 答案:f(b)1 时,代入不成立.故 a 的值为 . 答案: 2.当 a<0 时,不等式 f(a)<1 可化为 -7<1,即 <8,即 < ,因为 0< <1,所以 a>-3,所以 -30,所以不等式(3m-1)2x<1 对于任意 x∈(-∞,-1]恒成立,等价于 3m-1< = 对 于任意 x∈(-∞,-1]恒成立. 因为 x≤-1,所以 ≥ =2. 所以 3m-1<2,解得 m<1, 所以 m 的取值范围是(-∞,1). 2.选 B.根据“局部奇函数”的定义可知,方程 f(-x)=-f(x)有解即可,即 4-x-m·2-x-3=-(4x-m·2x-3),所以 4-x+4x-m(2-x+2x)-6=0, 化为(2-x+2x)2-m(2-x+2x)-8=0 有解, 令 2-x+2x=t(t≥2),则有 t2-mt-8=0 在[2,+∞)上有解,设 g(t)=t2-mt-8,则 g(2)≤0,得 m≥-2,综上可得实数 m 的取值范围为[-2,+∞). 任意 x∈[-2,-1],都有 3m-1< 成立与存在 x∈[-2,-1],使得 3m-1< 成立一样吗? 提示:不一样,前者 3m-1 比 的最小值还要小,而后者只需小于它的最大值即可. 1.(2020·西安模拟)已知 f(x)=2x-2-x,a= ,b= ,c=log2 ,则 f(a),f(b), f(c)的大小关系为 ( ) A.f(b) =b>0, c=log2 <0,则 a>b>c,所 以 f(c)0,且 a≠1)的值域为[1,+∞),则 f(-4)与 f(1)的关系是 ( ) A.f(-4)>f(1) B.f(-4)=f(1) C.f(-4)1,所以 f(-4)=a3,f(1)=a2,由指数函数的单调性知 a3>a2,所以 f(-4)>f(1). 1.已知 0y>1,则下列各式中正确的是 ( ) A.xaay D.ax>ya 【解析】选 B.对于 A,因为 >1,所以 = > =1,所以 xa>ya,所以 A 错误; 0y>1,所以 axy0=1,所以 ax