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- 2021-06-17 发布
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第3讲 圆锥曲线中的综合问题
专题强化训练
1．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是( )
A. B．(1，＋∞)
C．(1，2) D.
解析：选C.由题意可得，2k－1>2－k>0，
即解得1b>0)的右顶点为A，经过原点的直线l交椭圆C于P，Q两点，若|PQ|＝a，AP⊥PQ，则椭圆C的离心率为________．
解析：不妨设点P在第一象限，O为坐标原点，由对称性可得|OP|＝＝，因为AP
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⊥PQ，所以在Rt△POA中，cos∠POA＝＝，故∠POA＝60°，易得P，代入椭圆方程得＋＝1，故a2＝5b2＝5(a2－c2)，所以椭圆C的离心率e＝.
答案：
9．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1，F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围是________．
解析：设椭圆的长轴长为2a，双曲线的实轴长为2m，则2c＝|PF2|＝2a－10，2m＝10－2c，所以a＝c＋5，m＝5－c，
所以e1e2＝×＝＝，又由三角形的性质知2c＋2c>10，由已知2c<10，c<5，所以.
答案：
10．(2019·杭州市高考数学二模)抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A，B在抛物线上，且∠AFB＝120°，过弦AB中点M作准线l的垂线，垂足为M1，则的最大值为________．
解析：设|AF|＝a，|BF|＝b，连接AF、BF，
由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|，
在梯形ABPQ中，2|MM1|＝|AQ|＋|BP|＝a＋b.
由余弦定理得，
|AB|2＝a2＋b2－2abcos 120°＝a2＋b2＋ab，
配方得，|AB|2＝(a＋b)2－ab，
又因为ab≤，
所以(a＋b)2－ab≥(a＋b)2－(a＋b)2＝(a＋b)2，
得到|AB|≥(a＋b)．
所以≤＝，
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即的最大值为.
答案：
11．(2019·衢州市教学质量检测)已知椭圆G：＋＝1(a＞b＞0)的长轴长为2，左焦点F(－1，0)，若过点B(－2b，0)的直线与椭圆交于M，N两点．
(1)求椭圆G的标准方程；
(2)求证：∠MFB＋∠NFB＝π；
(3)求△FMN面积S的最大值．
解：(1)因为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的长轴长为2，焦距为2，即2a＝2，2c＝2，
所以2b＝2，所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)证明：∠MFB＋∠NFB＝π，即证：kMF＋kNF＝0，
设直线方程MN为y＝k(x＋2)，代入椭圆方程得：
(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－2＝0，
其中Δ＞0，所以k2＜.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝
－，x1x2＝，
kMF＋kNF＝＋＝＋＝k[2＋]＝0.故∠MFB＋∠NFB＝π.
(3)S＝·FB|y1－y2|＝|k||x1－x2|
＝ .
令t＝1＋2k2，
则S＝＝，
当k2＝(满足k2＜)时，S的最大值为.
12．(2019·浙江金华十校第二期调研)已知抛物线C：y＝x2，点P(0，2)，A，B是抛物线上两个动点，点P到直线AB的距离为1.
(1)若直线AB的倾斜角为，求直线AB的方程；
(2)求|AB|的最小值．
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解：(1)设直线AB的方程：y＝x＋m，则＝1，
所以m＝0或m＝4，所以直线AB的方程为y＝x或y＝x＋4.
(2)设直线AB的方程为y＝kx＋m，则＝1，
所以k2＋1＝(m－2)2.
由，得x2－kx－m＝0，所以x1＋x2＝k，x1x2＝－m，
所以|AB|2＝[－4x1x2]＝＝，记f(m)＝(m2＋3)，所以f′(m)＝2(m－2)(2m2－2m＋3)，
又k2＋1＝≥1，所以m≤1或m≥3，
当m∈时，f′(m)＜0，f(m)单调递减，当m∈时，f′(m)＞0，f(m)单调递增，
f(m)min＝f(1)＝4，所以|AB|min＝2.
13.(2019·宁波市高考模拟)已知椭圆方程为＋y2＝1，圆C：(x－1)2＋y2＝r2.
(1)求椭圆上动点P与圆心C距离的最小值；
(2)如图，直线l与椭圆相交于A、B两点，且与圆C相切于点M，若满足M为线段AB中点的直线l有4条，求半径r的取值范围．
解：(1)设P(x，y)，|PC|＝＝＝，
由－2≤x≤2，当x＝时，|PC|min＝.
(2)当直线AB斜率不存在且与圆C相切时，M在x轴上，故满足条件的直线有2条；
当直线AB斜率存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0),
由，整理得：＝－×，
则kAB＝－，kMC＝，kMC×kAB＝－1，
则kMC×kAB＝－×＝－1，解得：x0＝，
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由M在椭圆内部，则＋y＜1，解得：y＜，
由：r2＝(x0－1)2＋y＝＋y，
所以＜r2＜，解得：＜r＜.
所以半径r的取值范围为(，) .
14．(2019·严州中学月考改编)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，P(m，0)为C的长轴上的一个动点，过P点且斜率为的直线l交C于A，B两点．当m＝0时，·＝－.
(1)求椭圆C的方程；
(2)证明：|PA|2＋|PB|2为定值．
解：(1)因为离心率为，所以＝.
当m＝0时，l的方程为y＝x，代入＋＝1并整理得x2＝.
设A(x0，y0)，则B(－x0，－y0)，
·＝－x－y＝－x＝－·.
又因为·＝－，所以a2＝25，b2＝16，椭圆C的方程为＋＝1.
(2)证明：将l的方程为x＝y＋m，代入＋＝1，
并整理得25y2＋20my＋8(m2－25)＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|PA|2＝(x1－m)2＋y＝y，
同理|PB|2＝y.
则|PA|2＋|PB|2＝(y＋y)＝[(y1＋y2)2－2y1y2]＝·
＝41.
所以|PA|2＋|PB|2为定值．
15.(2019·温州十五校联合体联考)如图，已知抛物线C1：y2＝2px(p＞0)，直线l与抛物线C1相交于A、B两点，且当倾斜角为60°的直线l经过抛物线C1的焦点F时，有|AB|＝.
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(1)求抛物线C1的方程；
(2)已知圆C2：(x－1)2＋y2＝，是否存在倾斜角不为90°的直线l，使得线段AB被圆C2截成三等分？
若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
解：(1)当倾斜角为60°的直线l经过抛物线C1的焦点F时，直线l的方程为y＝(x－)，联立方程组，即3x2－5px＋p2＝0，
所以|AB|＝＋p＝，即p＝，
所以抛物线C1的方程是y2＝x.
(2)假设存在直线l，使得线段AB被圆C2截成三等分，令直线l交圆C2于C，D，设直线l的方程为x＝my＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，线段AB与线段CD的中点重合且有|AB|＝3|CD|，联立方程组，即4y2－my－b＝0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝－，x1＋x2＝＋2b，
所以线段AB中点的坐标M为(＋b，)，即线段CD的中点为(＋b，)，又圆C2的圆心为C2(1，0)，
所以kMC2＝＝－m，
所以m2＋8b－7＝0，即b＝－，
又因为|AB|＝·＝
·，因为圆心C2(1，0)到直线l的距离d＝，圆C2的半径为，
所以3|CD|＝6＝(m2＜3)，
所以m4－22m2＋13＝0，即m2＝11±6，
所以m＝±，b＝，
故直线l的方程为x＝±y＋.
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