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‎2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十五 一．选择题(每小题5分，共30分)‎ ‎1．若M={(x，y)| |tanpy|+sin2px=0}，N={(x，y)|x2+y2≤2}，则M∩N的元素个数是（ ）‎ ‎(A)4 (B)5 (C)8 (D)9‎ ‎2．已知f(x)=asinx+b+4(a，b为实数)，且f(lglog310)=5，则f(lglg3)的值是（ ）‎ ‎(A)-5 (B)-3 (C)3 (D)随a，b取不同值而取不同值 ‎3．集合A，B的并集A∪B={a1，a2，a3}，当A¹B时，(A，B)与(B，A)视为不同的对，则这样的(A，B)对的个数是（ ）‎ ‎ （A）8 （B）9 （C）26 （D）27‎ ‎4．若直线x=被曲线C:(x-arcsina)(x-arccosa)+(y-arcsina)(y+arccosa)=0所截的弦长为d，当a变化时d的最小值是( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)p ‎5．在△ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若c-a等于AC边上的高h，则sin+cos的值是( )‎ ‎ (A)1 (B) (C) (D)-1‎ ‎6．设m，n为非零实数，i为虚数单位，zÎC，则方程|z+ni|+|z-mi|=n与|z+ni|-|z-mi|=-m在同一复平面内的图形(F1，F2为焦点)是( )‎ 二、填空题（每小题5分，共30分）‎ ‎1．二次方程(1-i)x2+(l+i)x+(1+il)=0(i为虚数单位，lÎR)有两个虚根的充分必要条件是l的取值范围为________．‎ ‎2．实数x，y满足4x2-5xy+4y2=5，设 S=x2+y2，则+=_______．‎ ‎3．若zÎC，arg(z2-4)= ，arg(z2+4)= ，则z的值是________.‎ ‎4．整数的末两位数是_______.‎ ‎5．设任意实数x0>x1>x2>x3>0，要使log1993+log1993+log1993≥k·log1993恒成立，则k的最大值是_______.‎ ‎6．三位数(100，101，L，999)共900个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印一个三位数，有的卡片所印的，倒过来看仍为三位数，如198倒过来看是861；有的卡片则不然，如531倒过来看是 ，因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印_____张卡片．‎ 三、（本题满分20分）‎ 三棱锥S－ABC中，侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，M为三角形ABC的重心，D为AB的中点，作与SC平行的直线DP．证明：(1)DP与SM相交；(2)设DP与SM的交点为D¢，则D¢为三棱锥S－ABC的外接球球心．‎ 四、（本题满分20分）‎ 设00，故选A．‎ ‎6．设m，n为非零实数，i为虚数单位，zÎC，则方程|z+ni|+|z-mi|=n与|z+ni|-|z-mi|-m在同一复平面内的图形(F1，F2为焦点)是( )‎ 解：方程①为椭圆，②为双曲线的一支．二者的焦点均为(－ni，mi)，由①n>0，故否定A，‎ 由于n为椭圆的长轴，而C中两个焦点与原点距离(分别表示|n|、|m|)均小于椭圆长轴，故否定C．‎ 由B与D知，椭圆的两个个焦点都在y轴负半轴上，由n为长轴，知|OF1|=n，于是m<0，|OF2|=－m．曲线上一点到－ni距离大，否定D，故选B．‎ 二、填空题（每小题5分，共30分）‎ ‎1．二次方程(1-i)x2+(l+i)x+(1+il)=0(i为虚数单位，lÎR)有两个虚根的充分必要条件是l的取值范围为________．‎ 解：即此方程没有实根的条件．当λ∈R时，此方程有两个复数根，若其有实根，则 x2+λx+1=0，且x2－x－λ=0．相减得(λ+1)(x+1)=0．‎ 当λ=－1时，此二方程相同，且有两个虚根．故λ=－1在取值范围内．‎ 当λ≠－1时，x=－1，代入得λ=2．即λ=2时，原方程有实根x=－1．故所求范围是λ≠2．‎ ‎2．实数x，y满足4x2-5xy+4y2=5，设 S=x2+y2，则+=_______．‎ 解：令x=rcosθ，y=rsinθ，则S=r2得r2(4－5sinθcosθ)=5．S=．‎ ‎∴+=+=．‎ ‎3．若zÎC，arg(z2-4)= ，arg(z2+4)= ，则z的值是________.‎ 解：如图，可知z2表示复数4(cos120°+isin120°)．‎ ‎∴ z=±2(cos60°+isin60°)=±(1+i)．‎ ‎4．整数的末两位数是_______.‎ 解：令x=1031，则得==x2－3x+9－．由于0<<1，故所求末两位数字为09－1=08．‎ ‎5．设任意实数x0>x1>x2>x3>0，要使log1993+log1993+log1993≥k·log1993恒成立，则k的最大值是_______.‎ 解：显然>1，从而log1993>0．即++≥．‎ 就是[(lgx0－lgx1)+(lgx1－lgx2)+(lgx2－lgx3)]( ++)≥k．‎ 其中lgx0－lgx1>0，lgx1－lgx2>0，lgx2－lgx3>0，由Cauchy不等式，知k≤9．即k的最大值为9．‎ ‎6．三位数(100，101，L，999)共900个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印一个三位数，有的卡片所印的，倒过来看仍为三位数，如198倒过来看是861；有的卡片则不然，如531倒过来看是 ，因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印_____张卡片．‎ 解：首位与末位各可选择1，6，8，9，有4种选择，十位还可选0，有5种选择，共有4×5×4=80种选择．‎ 但两端为1，8，中间为0，1，8时，或两端为9、6，中间为0，1，8时，倒后不变；共有2×3+2×3=12个，故共有(80－12)÷2=34个．‎ 三、（本题满分20分）‎ 三棱锥S-ABC中，侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，M为三角形ABC的重心，D为AB的中点，作与SC平行的直线DP．证明：(1)DP与SM相交；(2)设DP与SM的交点为，则为三棱锥S—ABC的外接球球心．‎ ‎⑴ 证明：∵ DP∥SC，故DP、CS共面．‎ ‎∴ DCÍ面DPC，‎ ‎∵ M∈DC，ÞM∈面DPC，SMÍ面DPC．‎ ‎∵ 在面DPC内SM与SC相交，故直线SM与DP相交．‎ ‎⑵ ∵ SA、SB、SC两两互相垂直，∴ SC⊥面SAB，SC⊥SD．‎ ‎∵ DP∥SC，∴ DP⊥SD．△DD¢M∽△CSM，‎ ‎∵ M为△ABC的重心，∴ DM∶MC=1∶2．∴ DD¢∶SC=1∶2．‎ 取SC中点Q，连D¢Q．则SQ=DD¢，Þ平面四边形DD¢QS是矩形．‎ ‎∴ D¢Q⊥SC，由三线合一定理，知D¢C=PS．‎ 同理，D¢A= D¢B= D¢B= D¢S．即以D¢为球心D¢S为半径作球D¢．则A、B、C均在此球上．即D¢为三棱锥S—ABC的外接球球心．‎ 四、（本题满分20分）‎ 设0