2020年高中数学 第一章 数列 4页

‎1.3.1‎‎ 第1课时 等比数列的概念及通项公式 ‎[A　基础达标]‎ ‎1．若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比q为(　　)‎ A．2　　　　　　 　　　 B．4‎ C．8 D．16‎ 解析：选B.由anan＋1＝16n，知a‎1a2＝16，a‎2a3＝162，后式除以前式得q2＝16，所以q＝±4.因为a‎1a2＝aq＝16＞0，所以q＞0，所以q＝4.‎ ‎2．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．a≠1 B．a≠0或a≠1‎ C．a≠0 D．a≠0且a≠1‎ 解析：选D.由于a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则a需满足a≠0，a(1－a)≠0，a(1－a)2≠0，所以a≠0且a≠1.‎ ‎3．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1，若am＝a‎1a2a3a4a5，则m等于(　　)‎ A．9 B．10‎ C．11 D．12‎ 解析：选C.在等比数列{an}中，因为a1＝1，所以am＝a‎1a2a3a4a5＝aq10＝q10.又因为am＝ qm－1，所以m－1＝10，所以m＝11.‎ ‎4．在数列{an}中，a1＝1，点(an，an＋1)在直线y＝2x上，则a4的值为(　　)‎ A．7 B．8‎ C．9 D．16‎ 解析：选B.因为点(an，an＋1)在直线y＝2x上，‎ 所以an＋1＝2an.‎ 因为a1＝1≠0，‎ 所以an≠0，‎ 所以{an}是首项为1，公比为2的等比数列，‎ 所以a4＝1×23＝8.‎ ‎5．一个数分别加上20，50，100后得到的三个数成等比数列，其公比为(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选A.设这个数为x，‎ 则(50＋x)2＝(20＋x)·(100＋x)，‎ 解得x＝25，‎ 4‎ 所以这三个数为45，75，125，公比q为＝.‎ ‎6．(1)把下面数列填上适当的数．‎ ‎32，16，________，4，2，1.‎ ‎(2)数列2，4，8，16，32，…，的一个通项公式为________．‎ 解析：(1)公比为的等比数列．‎ ‎(2)该数列为等比数列，首项a1＝2，公比q＝2，所以an＝a1qn－1＝2n.‎ 答案：(1)8　(2)an＝2n ‎7．已知等比数列{an}的前三项为a－2，a＋2，a＋8，则等于________．‎ 解析：由题意知(a＋2)2＝(a－2)(a＋8)，‎ 所以a＝10，‎ 所以{an}的首项为8，公比为，‎ 即an＝8×，‎ 所以＝＝.‎ 答案： ‎8．已知{an}是递增等比数列，a2＝2，a4－a3＝4，则此数列的公比q＝________．‎ 解析：由题意得2q2－2q＝4，解得q＝2或q＝－1.又{an}单调递增，得q>1，所以q＝2.‎ 答案：2‎ ‎9．在等比数列{an}中，a3＝32，a5＝8.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式an；‎ ‎(2)若an＝，求n.‎ 解：(1)因为a5＝a1q4＝a3q2，‎ 所以q2＝＝.‎ 所以q＝±.‎ 当q＝时，an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3qn－3＝‎ ‎32×＝28－n；‎ 4‎ 当q＝－时，an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3qn－3＝‎ ‎32×.‎ 所以an＝28－n或an＝32×.‎ ‎(2)当an＝时，28－n＝或32×＝，解得n＝9.‎ ‎10．已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.‎ ‎(1)求a2，a3；‎ ‎(2)求{an}的通项公式．‎ 解：(1)由题意可得a2＝，a3＝.‎ ‎(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0‎ 得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．‎ 因为{an}的各项都为正数，‎ 所以＝.‎ 故{an}是首项为1，公比为的等比数列，因此an＝.‎ ‎[B　能力提升]‎ ‎11．设x∈R，记不超过x的最大整数为[x]，如[2.5]＝2，[－2.5]＝－3，令{x}＝x－[x]，则，，，三个数构成的数列(　　)‎ A．是等比数列但不是等差数列 B．是等差数列但不是等比数列 C．既是等差数列又是等比数列 D．既不是等差数列也不是等比数列 解析：选A.因为＝1，所以＝－＝－1＝.由于·＝12，＋＝≠2×1，所以，1，成等比数列，不成等差数列，即，，成等比数列，不成等差数列．‎ ‎12．已知等比数列{an}中，a1＝1，且a1，a3，‎2a2成等比数列，则an＝________．‎ 解析：设等比数列{an}的公比为q，‎ 4‎ 则a2＝q，a3＝q2.因为a1，a3，‎2a2成等比数列，‎ 所以q4＝2q，解得q＝2，所以an＝2n－1.‎ 答案：2n－1‎ ‎13．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1.‎ ‎(1)求证：{an}是等比数列，并求出其通项公式；‎ ‎(2)设bn＝an＋1＋2an，求证：数列{bn}是等比数列．‎ 解：(1)因为Sn＝2an＋1，所以Sn＋1＝2an＋1＋1，‎ Sn＋1－Sn＝an＋1＝(2an＋1＋1)－(2an＋1)‎ ‎＝2an＋1－2an，‎ 所以an＋1＝2an①，‎ 由已知及①式可知an≠0.‎ 所以由＝2，知{an}是等比数列．‎ 由a1＝S1＝‎2a1＋1，‎ 得a1＝－1，所以an＝－2n－1.‎ ‎(2)证明：由第一问知，an＝－2n－1，‎ 所以bn＝an＋1＋2an＝－2n－2×2n－1＝－2×2n＝－2n＋1＝－4×2n－1.‎ 所以数列{bn}是等比数列．‎ ‎14．(选做题)在公差不为0的等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1＝b1＝1，a2＝b2，a8＝b3.‎ ‎(1)求数列{an}的公差和数列{bn}的公比；‎ ‎(2)是否存在a，b，使得对于一切自然数n，都有an＝logabn＋b成立？若存在，求出a，b；若不存在，请说明理由．‎ 解：(1)设{an}的公差为d(d≠0)，{bn}的公比为q(q≠0)，由已知a1＝b1＝1，a2＝b2，得1＋d＝q.由a8＝b3，得1＋7d＝q2，解得(舍去)或即数列{an}的公差为5，数列{bn}的公比为6.‎ ‎(2)假设存在a，b，使得an＝logabn＋b成立，即1＋(n－1)·5＝loga6n－1＋b，所以5n－4＝(n－1)loga6＋b，所以(5－loga6)n－(4＋b－loga6)＝0.要使上式对于一切自然数n成立，必须且只需解得因此，存在a＝，b＝1使得结论成立．‎ 4‎