高中数学第四章数列4-3等比数列4-3-1第1课时等比数列的概念及通项公式课件新人教A版选择性必修第二册 28页

4.3.1 　等比数列的概念 第 1 课时　等比数列的概念及通项公式 激趣诱思 知识点拨 从 1976 年至 1999 年在我国累计推广种植杂交水稻 35 亿多亩 , 增产稻谷 3 500 亿千克 , 年增稻谷可养活 6 000 万人口 . 这一切都归功于一个人 ——“ 杂交水稻之父 ” 袁隆平 , 西方世界称他的杂交水稻是 “ 东方魔稻 ”, 并被认为是解决下个世纪世界性饥饿问题的法宝 . 袁隆平在培育某水稻新品种时 , 培育出第一代 120 粒种子 , 并且从第一代起 , 由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的 120 粒种子 , 那么到第 5 代时大约可以得到这个新品种的多少粒种子 ? 学习了本节内容之后 , 你就能得到这个问题的答案了 . 激趣诱思 知识点拨 一、等比数列 一般地 , 如果一个数列从 第 2 项 起 , 每一项与它的前一项的比都等于 同一个常数 , 那么这个数列叫做等比数列 , 这个常数叫做等比数列的 公比 , 公比通常用字母 q ( q ≠0) 表示 . 名师点析 对等比数列定义的理解 (1) 定义中强调 “ 从第 2 项起 ”, 因为第 1 项没有前一项 . (2) 每一项与它的前一项的比必须是同一个常数 ( 因为同一个常数体现了等比数列的基本特征 ) . (3) 公比 q 是每一项 ( 从第 2 项起 ) 与它的前一项的比 , 不要把分子与分母弄颠倒 . (4) 等比数列中的任何一项均不能为零 . (5) 等比数列的公比可以是正数、负数 , 但不能为零 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 判断下列数列是不是等比数列 . 如果是 , 写出其公比 q. ④ 1,0,1,0,1,0, … ; ⑤ 1, - 4,16, - 64,256, … . 解 : ① 不是等比数列 ; ② 是等比数列 , 公比为 1; ③ 是等比数列 , 公比 为 ; ④ 不是等比数列 ; ⑤ 是等比数列 , 公比为 - 4 . 激趣诱思 知识点拨 二、等比中项 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G , 使 a , G , b 成等比数列 , 那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项 , 此时 G 2 =ab. 名师点析 等比中项概念的理解 (1) 只有同号的两个实数才有等比中项 . (2) 若两个实数有等比中项 , 则一定有两个 , 它们互为相反数 . 激趣诱思 知识点拨 微 练习 A.1 　　　 B. - 1 　　　 C. ± 1 　　　 D.2 答案 : C 激趣诱思 知识点拨 三、等比数列的通项公式 首项为 a 1 , 公比为 q 的等比数列 { a n } 的通项公式为 a n =a 1 q n- 1 . 名师点析 已知等比数列的首项和公比 , 可以求得任意一项 . 已知 a 1 , n , q , a n 四个量中的三个 , 可以求得第四个量 . 微拓展 (1) 通项公式 a n =a 1 q n- 1 , q 的次数比等号前的项数小 1, 不能记错 . 此公式中 q 的次数可以这样记 : 次数为等号前面的项 a n 的项数 n 减去等号后的项 a 1 的项数 1 . (2) 变形公式 a n =a m q n-m , 此公式中 q 的次数也可以这样记 : 次数为等号前面的项 a n 的项数 n 减去等号后的项 a m 的项数 m. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 等比数列通项公式的应用 例 1 在等比数列 { a n } 中 , 求解下列问题 : (1) 若 a 2 = 3, a 5 = , 求 { a n } 的通项公式 ; (2) 若 a 2 = 4, q= 2, a n = 128, 求 n ; (3) 若 a 2 +a 5 = 18, a 3 +a 6 = 9, 求 a 7 . 分析 : 先根据等比数列的通项公式 , 结合条件列出方程 ( 组 ) 求得 a 1 , q , 再解决其他问题 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 等比数列的计算 (1) 等比数列的基本量是 a 1 和 q , 很多等比数列问题都可以归结为其基本量的运算问题 . 解决这类问题时 , 最核心的思想方法是解方程 ( 组 ) 的方法 , 即依据题目条件 , 先根据等比数列的通项公式建立关于 a 1 和 q 的方程 ( 组 ), 再解方程 ( 组 ), 求得 a 1 和 q 的值 , 最后解决其他问题 . (2) 在等比数列的基本量运算问题中 , 建立方程 ( 组 ) 进行求解时 , 要注意运算的技巧性 , 特别注意整体思想的应用 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 1 在等比数列 { a n } 中 , a 5 -a 1 = 15, a 4 -a 2 = 6, 求 a 3 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 等比中项及其应用 例 2 (1) 已知等比数列的前 3 项依次为 x ,2 x+ 2,3 x+ 3, 求实数 x 的值 . (2) 已知等比数列 { a n }, a 2 a 3 a 4 = 64, a 3 +a 6 = 36, 求 a 1 和 a 5 的等比中项 . 分析 : (1) 可由等比中项的定义建立关于 x 的方程求解 :(2) 先求出 a 1 和 a 5 的值 , 再根据等比中项的定义求解 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : (1) 因为等比数列的前 3 项依次为 x ,2 x+ 2,3 x+ 3, 所以 x (3 x+ 3) = (2 x+ 2) 2 , 解得 x=- 1 或 x=- 4 . 又因为当 x=- 1 时 ,2 x+ 2 = 3 x+ 3 = 0 不合题意 , 所以实数 x 的值为 - 4 . 所以 a 5 =a 1 q 4 = 16 . 设 a 1 和 a 5 的等比中项为 G , 则 G 2 =a 1 a 5 = 16, 所以 G= ± 4, 故 a 1 和 a 5 的等比中项是 ± 4 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 等比中项的求解策略 1 . 任意两个实数都有等差中项 , 且等差中项是唯一的 . 与等差中项不同 , 只有同号的两个数才有等比中项 , 且等比中项有两个 , 它们互为相反数 . 2 . 若 a , b , c 成等比数列 , 则必有 b 2 =ac ; 但若 b 2 =ac , a , b , c 不一定成等比数列 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2 在等差数列 { a n } 中 , a 1 = 9, 公差 d= 1 . 若 a k 是 a 1 和 a 2 k 的等比中项 , 则 k= ( 　　 ) A.2 　　　　 B.4 　　　　 C.6 　　　　 D.8 解析 : 依题意 , 得 = a 1 a 2 k , 即 [9 + ( k- 1)] 2 = 9[9 + (2 k- 1)], 整理 , 得 k 2 - 2 k- 8 = 0, 解得 k= 4( k=- 2 舍去 ) . 答案 : B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 等比数列的判断与证明 例 3 (1) 判断下列数列是否为等比数列 . ① 1,3,3 2 ,3 3 , … ,3 n- 1 , … ; ② - 1,1,2,4,8, … ; ③ a 1 , a 2 , a 3 , … , a n , … . (2) 已知数列 { a n } 满足 a 1 = 5, a n = a n- 1 + 1( n ≥ 2), b n =a n - 3 . ① 求证 :{ b n } 为等比数列 ; ② 求 { a n } 的通项公式 . 分析 : (1) 判定等比数列 , 要抓住 3 个要点 : ① 从第二项起 . ② 要判定每一项 , 不能有例外 . ③ 每一项与前一项的比是同一个常数 , 且不能为 0 . (2) ① 先对给出的等式 a n = a n- 1 + 1 进行转化变形 , 与 b n =a n - 3 相结合 , 得出 b n 与 b n- 1 的关系 , 从而判断数列 { b n } 是否为等比数列 ; ② 由 { b n } 为等比数列 , 先求出 b n , 再根据 b n =a n - 3 求出 a n . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (1) 解 : ① 记数列为 { a n }, 显然 a 1 = 1, a 2 = 3, … , a n = 3 n- 1 , … . ∴ 数列为等比数列 , 且公比为 3 . ② 记数列为 { a n }, 显然 a 1 =- 1, a 2 = 1, a 3 = 2, … , ③ 当 a= 0 时 , 数列为 0,0,0, … 是常数列 , 不是等比数列 ; 当 a ≠0 时 , 数列为 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , … , a n , … , 显然此数列为等比数列 , 且公比为 a. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 在本例 (2) 中 , 若将条件改为 “ 数列 { a n } 的前 n 项和 S n 满足 S n = a n + 1( n ∈ N * )”, 再求 { a n } 的通项公式 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 通项法证明等比数列 典例 已知数列 { a n } 是各项均为正数的等差数列 , 且 lg a 1 ,lg a 2 ,lg a 4 成等差数列 , 又 b n = , n= 1,2,3 , … , 则数列 { b n } 是否为等比数列 ? 分析 : 先求出数列 { a n } 的通项公式 , 再求出数列 { b n } 的通项公式 , 从而判断 { b n } 是否为等比数列 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : 因为 lg a 1 ,lg a 2 ,lg a 4 成等差数列 , 所以 2lg a 2 = lg a 1 + lg a 4 , 即 = a 1 · a 4 , 设 { a n } 的公差为 d , 所以 ( a 1 +d ) 2 =a 1 ·( a 1 + 3 d ) ⇒ d 2 =a 1 d ⇒ d= 0 或 d=a 1 . ① 当 d= 0 时 ,{ a n } 为常数列且各项均为正数 , 所以 { b n } 也为常数列且各项均为正数 . 所以 { b n } 为等比数列 . ② 当 d=a 1 ≠0 时 , = a 1 + (2 n - 1) d=d+ 2 n d-d= 2 n d= (2 d )·2 n- 1 , 即 b n = (2 d )·2 n- 1 , 所以 { b n } 为等比数列 . 综合 ①② 可知 { b n } 为等比数列 . 方法点睛 用通项公式证明一个数列为等比数列时 , 关键是求出 a n =a 1 q n- 1 这个形式 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1 . 下列数列为等比数列的是 ( 　　 ) A.0,1,2,4, … B.2 2 ,4 2 ,6 2 ,8 2 , … C. q- 1,( q- 1) 2 ,( q- 1) 3 ,( q- 1) 4 , … 答案 : D 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2 . 在等比数列 { a n } 中 , 已知 a 5 +a 1 = 34, a 5 -a 1 = 30, 则 a 3 = ( 　　 ) A.8 B. - 8 C . ± 8 D.16 解析 : 由 a 5 +a 1 = 34, a 5 -a 1 = 30, 得 a 1 = 2, a 5 = 32, 所以公比 q 4 = = 16, 所以 q 2 = 4, 所以 a 3 =a 1 q 2 = 2 × 4 = 8 . 答案 : A 3 . 若等比数列的首项为 4, 公比为 2, 则数列中第 3 项与第 5 项的等比中项为 　　　　　 .   解析 : ∵ a 3 = 4 × 2 2 = 16, a 5 = 4 × 2 4 = 64 , 答案 : ± 32 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4 . 若数列 { a n } 的前 n 项和 S n 满足 S n = 4 a n + 1( n ∈ N * ), 则数列 { a n } 的通项公式为 　　　　 .   探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5 . 若等比数列 { a n } 的各项均为正数 , 且前 3 项依次为 1, a+ 1,2 a+ 5 . (1) 求该数列的通项公式 ; (2) 判断 728 是不是该数列中的项 . 解 : (1) 依题意 , 得 ( a+ 1) 2 = 2 a+ 5, 解得 a= 2( a=- 2 舍去 ) . (2) 令 3 n- 1 = 728, 解得 n= log 3 728 + 1, 但 log 3 728 + 1 ∉ N * , 所以 728 不是该数列中的项 .