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- 2021-06-19 发布
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2006年全国统一高考数学试卷Ⅱ（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1. 已知向量a→=(4, 2)，向量b→=(x, 3)，且a→ // b→，则x=( )
A.9 B.6 C.5 D.3
2. 已知集合M＝{x|x<3}，N＝{x|log2x>1}，则M∩N＝（ ）
A.⌀ B.{x|00)，则f(x)的反函数为( )
A. y=ex+1(x∈R) B.y=ex-1(x∈R) C. y=ex+1(x>1) D. y=ex-1(x>1)
9. 已知双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线方程为y=43x，则双曲线的离心率为（ ）
A.53 B.43 C.54 D.32
10. 若f(sinx)=2-cos2x，则f(cosx)等于（ ）
A.2-sin2x B.2+sin2x C.2-cos2x D.2+cos2x
11. 过点(-1, 0)作抛物线y＝x2+x+1的切线，则其中一条切线为（ ）
A.2x+y+2＝0 B.3x-y+3＝0 C.x+y+1＝0 D.x-y+1＝0
12. 5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有（ ）
A.150种 B.180种 C.200种 D.280种
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13. 在(x4+1x)10的展开式中常数项为________（用数字作答）．
14. 圆O1是以R为半径的球O的小圆，若圆心O1到球心O的距离与球半径面积S1和球O的表面积S的比为S1:S=2:9，则圆心O1到球心O的距离与球半径的比OO1:R=________．
15. 过点(1,2)的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=________．
16. 一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在[2500, 3000)（元）月收入段应抽出________人．
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三、解答题（共6小题，满分74分）
17. 在△ABC中，∠B=45∘，AC=10，cosC=255，
(1)求BC的长；
(2)记AB的中点为D，求中线CD的长．
18. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，S4=1，S8=17，求通项公式an．
19. 某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．
（1）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；
（2）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率．
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20. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．
（1）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；
（2）设AA1=AC=2AB，求二面角A1-AD-C1的大小．
21. 设a∈R，二次函数f(x)=ax2-2x-2a．若f(x)>0的解集为A，B={x|10)．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．
(Ⅰ)证明FM→.AB→为定值；
(Ⅱ)设△ABM的面积为S，写出S＝f(λ)的表达式，并求S的最小值．
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参考答案与试题解析
2006年全国统一高考数学试卷Ⅱ（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1.B
2.D
3.D
4.D
5.C
6.B
7.A
8.B
9.A
10.D
11.D
12.A
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13.45
14.1:3
15.22
16.25
三、解答题（共6小题，满分74分）
17.解：(1)由cosC=255得sinC=55
sinA=sin(180∘-45∘-C)=22(cosC+sinC)=31010
由正弦定理知BC=ACsinB⋅sinA=1022⋅31010=32
(2)AB=ACsinB⋅sinC=1022⋅55=2
BD=12AB=1
由余弦定理知
CD=BD2+BC2-2BD⋅BCcosB
=1+18-2⋅1⋅32⋅22=13
18.解：设{an}的公比为q，由S4=1，S8=17知q≠1，
∴ 得a1(q4-1)q-1=1①
a1(q8-1)q-1=17②
由 ①和②式
整理得q8-1q4-1=17
解得q4=16
所以q=2或q=-2
将q=2代入 ①式得a1=115，
∴ a=2n-115
将q=-2代入 ①式得a1=-15，
∴ an=(-1)n×2n-15，
综上所述an=2n-115或an=(-1)n×2n-15
19.由题意知抽检的6件产品中二等品的件数ξ＝0，1，2，3
P(ξ=0)=C42C52⋅C32C52=18100=950P(ξ=1)=C41C52⋅C32C52+C42C52⋅C31⋅C21C52=2450=1225P(ξ=2)=C41C52⋅C31⋅C21C52+C42C52⋅C22C52=1550P(ξ=3)=C41C52⋅C22C52=250=125，
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∴ ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
950
2450
1550
250
∴ ξ的数学期望E(ξ)=0×950+1×2450+2×1550+3×250=1.2
∵ P(ξ＝2)=1550，P(ξ＝3)=250，这两个事件是互斥的
∴ P(ξ≥2)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=1550+250=1750
20.解：（1）设O为AC中点，连接EO，BO，则EO= // 12C1C，又C1C= // B1B，所以EO= // DB，EOBD为平行四边形，ED // OB．
∵ AB=BC，
∴ BO⊥AC，
又平面ABC⊥平面ACC1A1，BOÌ面ABC，
故BO⊥平面ACC1A1，
∴ ED⊥平面ACC1A1，ED⊥AC1，ED⊥CC1，
∴ ED⊥BB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线．
（2）连接A1E，由AA1=AC=2AB可知，A1ACC1为正方形，
∴ A1E⊥AC1，又由ED⊥平面ACC1A1和EDÌ平面ADC1知平面
ADC1⊥平面A1ACC1，
∴ A1E⊥平面ADC1．
作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，则A1F⊥AD，∠A1FE为二面角A1-AD-C1的平面角．
不妨设AA1=2，则AC=2，AB=2，ED=OB=1，EF=AE×EDAD=23，
tan∠A1FE=3，
∴ ∠A1FE=60∘．
所以二面角A1-AD-C1为60∘．
21.解：由题意可知二次函数a≠0，
令f(x)=0解得其两根为x1=1a-2+1a2，x2=1a+2+1a2
由此可知x1<0，x2>0
(I)当a>0时，A={x|xx2}，则A∩B≠ϕ的充要条件是x2<3，
即1a+2+1a2<3解得a>67
(II)当a<0时，A={x|x11，
即1a+2+1a2>1
解得a<-2
综上，使A∩B=ϕ成立的a的取值范围为(-∞,-2)∪(67，+∞)
22.（1）设A(x1, y1)，B(x2, y2)，M(xo, yo)，焦点F(0, 1)，准线方程为y＝-1，
显然AB斜率存在且过F(0, 1)
设其直线方程为y＝kx+1，联立4y＝x2消去y得：x2-4kx-4＝0，
判别式△＝16(k2+1)>0．
x1+x2＝4k，x1x2＝-4
于是曲线4y＝x2上任意一点斜率为y'=x2，则易得切线AM，BM方程分别为y＝(12)x1(x-x1)+y1，y＝(12)x2(x-x2)+y2，其中4y1＝x12，4y2＝x22，联立方程易解得交点M坐标，xo=x1+x22=2k，yo=x1x24=-1，即M(x1+x22, -1)
6 / 6
从而，FM→=(x1+x22, -2)，AB→(x2-x1, y2-y1)
FM→⋅AB→=12(x1+x2)(x2-x1)-2(y2-y1)=12(x22-x12)-2[14(x22-x12)]＝0，（定值）命题得证．
这就说明AB⊥FM．
（2）由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S=12|AB||FM|．
∵ AF→=λFB→(λ>0)，
∴ (-x1, 1-y1)＝λ(x2, y2-1)，即-x1=λx21-y1=λ(y2-1) ，
而4y1＝x12，4y2＝x22，
则x22=4λ，x12＝4λ，
|FM|=(x1+x22)2+(-2)2=14x12+14x22+12x1x2+4=λ+1λ+2=λ+1λ．
因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝-1的距离，所以
|AB|＝|AF|+|BF|＝y1+y2+2=14x12+14x22+2＝λ+1λ+2＝(λ+1λ)2．
于是S=12|AB||FM|=12(λ+1λ)3，
由λ+1λ≥2知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4．
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