2021届新高考版高考数学一轮复习课件：专题十二　数系的扩充与复数的引入（讲解部分） 12页

第十二章 数系的扩充与复数的引入 高考数学 考点一　复数的概念及几何意义 1.复数的有关概念 考点清单 内容 意义 备注 复数的 概念 形如①       a + b i      ( a ∈R, b ∈R)的数叫做复数,其中实部为②       a       ,虚部为③       b       若 b =0,则 a + b i为实数;若 a =0且 b ≠ 0,则 a + b i为纯虚数 复数 相等 a + b i= c + d i ⇔ ④       a = c 且 b = d      ( a , b , c , d ∈R) 共轭 复数 a + b i与 c + d i共轭 ⇔ ⑤       a = c 且 b =- d       ( a , b , c , d ∈R) 复平面 建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,⑥       x 轴      叫实轴, y 轴叫虚轴 实轴上的点都表示实数;除了原 点外,虚轴上的点都表示纯虚数, 各象限内的点都表示虚数 复数 的模 设   对应的复数为 z = a + b i,则向量   的长度叫做复数 z = a + b i的模,其中 a , b ∈R | z |=| a + b i|= ⑦               ( a , b ∈R) 2.复数的几何意义 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的,复数集C与复平 面内所有以原点 O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的.   其中 a , b ∈R. 考点二　复数的运算 　　1.复数的加、减、乘、除运算法则 设 z 1 = a + b i, z 2 = c + d i( a , b , c , d ∈R),则 (1)加法: z 1 + z 2 =( a + b i)+( c + d i)=( a + c )+( b + d )i; (2)减法: z 1 - z 2 =( a + b i)-( c + d i)=⑧ 　( a - c )+( b - d )i     ; (3)乘法: z 1 · z 2 =( a + b i)·( c + d i)=⑨ 　( ac - bd )+( bc + ad )i     ; (4)除法:   =   =   =⑩         +   i     ( c + d i ≠ 0). 2.复数加法的运算律 复数的加法满足交换律、结合律,即对任何 z 1 , z 2 , z 3 ∈C,有 z 1 + z 2 = z 2 + z 1 ,( z 1 + z 2 )+ z 3 = z 1 +( z 2 + z 3 ). 3.复数加、减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义 若复数 z 1 、 z 2 对应的向量   、   不共线,则复数 z 1 + z 2 是以   、   为两 邻边的平行四边形的对角线   所对应的复数. (2)复数减法的几何意义 复数 z 1 - z 2 是   -   =   所对应的复数. 考法一　复数有关概念的解题方法 知能拓展 例1 　(1)(2019河北唐山模拟,3)若 z =( m 2 + m -6)+( m -2)i为纯虚数,则实数 m 的 值为   (　　) A.-2　    B.2　    C.3　    D.-3 (2)(2017天津,9,5分)已知 a ∈R,i为虚数单位,若   为实数,则 a 的值为 　     　     . 解析 　(1)∵ z =( m 2 + m -6)+( m -2)i为纯虚数,∴   解得 m =-3,故选D. (2)解法一:因为   =   =   为实数,所以-   =0,解得 a =-2. 解法二:令   = t ( t ∈R),则 a -i= t (2+i)=2 t + t i, 所以   解得 a =-2. 答案 　(1)D　(2)-2 方法总结 　1.解决与复数的基本概念和性质有关的问题时,应注意复数和 实数的区别与联系,把复数问题实数化是解决复数问题的关键. 2.复数的分类及所对应的点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部 应该满足的条件的问题,只需把复数化为 a + b i( a , b ∈R)的形式,列出实部和 虚部满足的关系式即可. 3.解题时一定要先看复数是不是 a + b i( a , b ∈R)的形式,以确定实部和虚部. 例2 　(1)(2019安徽马鞍山二模,3)已知复数 z =   (i为虚数单位),则| z |=   (　　) A.   　    B.2　    C.   　    D.   (2)(2019湖北武汉模拟,3)设复数 z 满足   =i,则 z =   (　　) A.   +   i　　B.   -   i C.-   +   i　　D.-   -   i (3)(2019甘肃、青海、宁夏3月联考)   在复平面内对应的点位于   (    　) A.第一象限　    B.第二象限 C.第三象限　    D.第四象限 考法二　复数四则运算问题的解法 解析 　(1)∵ z =   =   =-   +   i,∴| z |=   =   .故选A. (2)由   =i,得1+2 z =i-i z ,∴ z =   =   =-   +   i.故选C. (3)   =   =   =-4+3i.该复数在复平面内对应的点为(-4,3),此点 在第二象限,故选B. 答案 　(1)A　(2)C　(3)B 方法总结 　1.复数的乘法 复数的乘法类似于多项式的乘法,可将含有虚数单位i的看作一类同类项, 不含i的看作另一类同类项,分别合并即可. 2.复数的除法 除法的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成 最简形式. 3.常用结论 (1)i 4 n =1,i 4 n +1 =i,i 4 n +2 =-1,i 4 n +3 =-i, n ∈N * . (2)(1 ± i) 2 = ± 2i,( a + b i)( a - b i)= a 2 + b 2 ( a , b ∈R).