2014年上海市高考数学试卷（文科） 20页

‎2014年上海市高考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、填空题（本大题共14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。‎ ‎1．（4分）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是　 　．‎ ‎2．（4分）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•=　 　．‎ ‎3．（4分）设常数a∈R，函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|，若f（2）=1，则f（1）=　 　．‎ ‎4．（4分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程　 　．‎ ‎5．（4分）某校高一、高二、高三分别有学生1600名，1200名，800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况 ‎，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为　 　．‎ ‎6．（4分）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为　 　．‎ ‎7．（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成角的大小为　 　（结果用反三角函数值表示）‎ ‎8．（4分）在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图所示，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于　 　．‎ ‎9．（4分）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为　 　．‎ ‎10．（4分）设无穷等比数列{an}的公比为q，若a1=（a3+a4+…an），则q=　 　．‎ ‎11．（4分）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是　 　．‎ ‎12．（4分）方程sinx+cosx=1在闭区间[0，2π]上的所有解的和等于　 　．‎ ‎13．（4分）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是　 　（结果用最简分数表示）．‎ ‎14．（4分）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为　 　．‎ ‎　‎ 二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分 ‎15．（5分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（　　）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 ‎16．（5分）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=（　　）‎ A．2 B．1 C．0 D．﹣1‎ ‎17．（5分）如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，AB是大正方形的一条边，Pi（i=1，2，…，7）是小正方形的其余顶点，则•（i=1，2，…，7）的不同值的个数为（　　）‎ A．7 B．5 C．3 D．1‎ ‎18．（5分）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（　　）‎ A．无论k，P1，P2如何，总是无解 B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解 C．存在k，P1，P2，使之恰有两解 D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解 ‎　‎ 三、解答题（共5小题，满分74分）‎ ‎19．（12分）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．‎ ‎20．（14分）设常数a≥0，函数f（x）=．‎ ‎（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；‎ ‎（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．‎ ‎21．（14分）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．‎ ‎（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？‎ ‎（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．‎ ‎22．（16分）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．‎ ‎（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；‎ ‎（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；‎ ‎（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求E的方程，并证明y轴为曲线E的分隔线．‎ ‎23．（18分）已知数列{an}满足an≤an+1≤3an，n∈N*，a1=1．‎ ‎（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；‎ ‎（2）若{an}是等比数列，且am=，求正整数m的最小值，以及m取最小值时相应{an}的公比；‎ ‎（3）若a1，a2，…a100成等差数列，求数列a1，a2，…a100的公差的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2014年上海市高考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题（本大题共14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。‎ ‎1．（4分）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是　　．‎ ‎【分析】由二倍角的余弦公式化简，可得其周期．‎ ‎【解答】解：y=1﹣2cos2（2x）‎ ‎=﹣[2cos2（2x）﹣1]‎ ‎=﹣cos4x，‎ ‎∴函数的最小正周期为T==‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题考查二倍角的余弦公式，涉及三角函数的周期，属基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（4分）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•=　6　．‎ ‎【分析】把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可．‎ ‎【解答】解：复数z=1+2i，其中i是虚数单位，‎ 则（z+）•=‎ ‎=（1+2i）（1﹣2i）+1‎ ‎=1﹣4i2+1‎ ‎=2+4‎ ‎=6．‎ 故答案为：6‎ ‎【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎3．（4分）设常数a∈R，函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|，若f（2）=1，则f（1）=　3　．‎ ‎【分析】利用f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|，f（2）=1，求出a，然后求解f（1）即可．‎ ‎【解答】解：常数a∈R，函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣a|，若f（2）=1，‎ ‎∴1=|2﹣1|+|22﹣a|，∴a=4，‎ 函数f（x）=|x﹣1|+|x2﹣4|，‎ ‎∴f（1）=|1﹣1|+|12﹣4|=3，‎ 故答案为：3．‎ ‎【点评】本题考查函数值的求法，基本知识的考查．‎ ‎　‎ ‎4．（4分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程　x=﹣2　．‎ ‎【分析】由题设中的条件y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出p，再由抛物线的性质求出它的准线方程 ‎【解答】解：由题意椭圆，故它的右焦点坐标是（2，0），‎ 又y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆右焦点重合，‎ 故=2得p=4，‎ ‎∴抛物线的准线方程为x=﹣=﹣2．‎ 故答案为：x=﹣2‎ ‎【点评】‎ 本题考查圆锥曲线的共同特征，解答此类题，关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征，熟练运用这些性质与几何特征解答问题．‎ ‎　‎ ‎5．（4分）某校高一、高二、高三分别有学生1600名，1200名，800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况 ‎，按各年级的学生数进行分层抽样，若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为　70　．‎ ‎【分析】根据分层抽样的定义，建立比例关系，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵高一、高二、高三分别有学生1600名，1200名，800名，‎ ‎∴若高三抽取20名学生，设共需抽取的学生数为x，‎ 则，解得x=90，‎ 则高一、高二共需抽取的学生数为90﹣20=70，‎ 故答案为：70．‎ ‎【点评】本题主要考查分层抽样的应用，比较基础．‎ ‎　‎ ‎6．（4分）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为　2　．‎ ‎【分析】由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得．‎ ‎【解答】解：∵xy=1，‎ ‎∴y=‎ ‎∴x2+2y2=x2+≥2=2，‎ 当且仅当x2=，即x=±时取等号，‎ 故答案为：2‎ ‎【点评】本题考查基本不等式，属基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成角的大小为　arcsin　（结果用反三角函数值表示）‎ ‎【分析】‎ 由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，在轴截面中，求出母线与轴所成角的正弦值，进而可得母线与轴所成角．‎ ‎【解答】解：设圆锥母线与轴所成角为θ，‎ ‎∵圆锥的侧面积是底面积的3倍，‎ ‎∴==3，‎ 即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，‎ 故圆锥的轴截面如下图所示：‎ 则sinθ==，‎ ‎∴θ=arcsin，‎ 故答案为：arcsin ‎【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，是解答的关键．‎ ‎　‎ ‎8．（4分）在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图所示，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于　24　．‎ ‎【分析】由已知中的三视图，分别判断切割前后几何体的形状，并分别计算出切割前后几何体的体积，相减可得答案．‎ ‎【解答】解：由已知中的三视图，可知：‎ 大长方体的长，宽，高分别为：3，4，5，‎ 故大长方体的体积为：60，‎ 切去两个小长方体后的几何体是一个以主视图为底面，高为3的柱体，‎ 其底面面积为4×5﹣2×2×2×2=12，‎ 故切去两个小长方体后的几何体的体积为：12×3=36，‎ 故切割掉的两个小长方体的体积之和为：60﹣36=24，‎ 故答案为：24‎ ‎【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图分析出几何体的形状是解答的关键．‎ ‎　‎ ‎9．（4分）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为　（﹣∞，2]　．‎ ‎【分析】分别由f（0）=a，x≥2，a≤x+综合得出a的取值范围．‎ ‎【解答】解：当x=0时，f（0）=a，‎ 由题意得：a≤x+，‎ 又∵x+≥2=2，‎ ‎∴a≤2，‎ 故答案为：（﹣∞，2]．‎ ‎【点评】本题考察了分段函数的应用，基本不等式的性质，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎10．（4分）设无穷等比数列{an}的公比为q，若a1=（a3+a4+…an），则q=　　．‎ ‎【分析】由已知条件推导出a1=，由此能求出q的值．‎ ‎【解答】解：∵无穷等比数列{an}的公比为q，‎ a1=（a3+a4+…an）‎ ‎=（﹣a1﹣a1q）‎ ‎=，‎ ‎∴q2+q﹣1=0，‎ 解得q=或q=（舍）．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查等比数列的公比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极限知识的合理运用．‎ ‎　‎ ‎11．（4分）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是　（0，1）　．‎ ‎【分析】直接利用已知条件转化不等式求解即可．‎ ‎【解答】解：f（x）=﹣，若满足f（x）＜0，‎ 即＜，‎ ‎∴，‎ ‎∵y=是增函数，‎ ‎∴的解集为：（0，1）．‎ 故答案为：（0，1）．‎ ‎【点评】本题考查指数不等式的解法，指数函数的单调性的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）方程sinx+cosx=1在闭区间[0，2π]上的所有解的和等于　　．‎ ‎【分析】由三角函数公式可得sin（x+）=，可知x+=2kπ+，或x+‎ ‎=2kπ+，k∈Z，结合x∈[0，2π]，可得x值，求和即可．‎ ‎【解答】解：∵sinx+cosx=1，‎ ‎∴sinx+cosx=，‎ 即sin（x+）=，‎ 可知x+=2kπ+，或x+=2kπ+，k∈Z，‎ 又∵x∈[0，2π]，‎ ‎∴x=，或x=，‎ ‎∴+=‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式，属基础题．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是　　（结果用最简分数表示）．‎ ‎【分析】要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，选择的3天恰好为连续3天的概率，须先求在10天中随机选择3天的情况，‎ 再求选择的3天恰好为连续3天的情况，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：在未来的连续10天中随机选择3天共有种情况，‎ 其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种，分别是（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），‎ ‎（5，6，7），（6，7，8），（7，8，9），（8，9，10），‎ ‎∴选择的3天恰好为连续3天的概率是，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查古典概型以及概率计算公式，属基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）已知曲线C：x=﹣‎ ‎，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为　[2，3]　．‎ ‎【分析】通过曲线方程判断曲线特征，通过+=，说明A是PQ的中点，结合x的范围，求出m的范围即可．‎ ‎【解答】解：曲线C：x=﹣，是以原点为圆心，2 为半径的圆，并且xP∈[﹣2，0]，‎ 对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，‎ 说明A是PQ的中点，Q的横坐标x=6，‎ ‎∴m=∈[2，3]．‎ 故答案为：[2，3]．‎ ‎【点评】本题考查直线与圆的位置关系，函数思想的应用，考查计算能力以及转化思想．‎ ‎　‎ 二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分 ‎15．（5分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（　　）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 ‎【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定．‎ ‎【解答】解：当a=5，b=0时，满足a+b＞4，但a＞2且b＞2不成立，即充分性不成立，‎ 若a＞2且b＞2，则必有a+b＞4，即必要性成立，‎ 故“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+‎ b=（　　）‎ A．2 B．1 C．0 D．﹣1‎ ‎【分析】根据集合相等的条件，得到元素关系，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：根据集合相等的条件可知，若{a，b}={a2，b2}，‎ 则①或②，‎ 由①得，‎ ‎∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a=1，b=1，此时集合{1，1}不满足条件．‎ 由②得，若b=a2，a=b2，则两式相减得a2﹣b2=b﹣a，即（a﹣b）（a+b）=﹣（a﹣b），‎ ‎∵互异的复数a，b，‎ ‎∴a﹣b≠0，即a+b=﹣1，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查集合相等的应用，根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键，注意要进行分类讨论．‎ ‎　‎ ‎17．（5分）如图，四个边长为1的小正方形排成一个大正方形，AB是大正方形的一条边，Pi（i=1，2，…，7）是小正方形的其余顶点，则•（i=1，2，…，7）的不同值的个数为（　　）‎ A．7 B．5 C．3 D．1‎ ‎【分析】建立适当的平面直角坐标系，利用坐标分别求出数量积，由结果可得答案．‎ ‎【解答】解：如图建立平面直角坐标系，‎ 则A（0，0），B（0，2），P1（0，1），P2（1，0），P3（1，1），P4（1，2），P5（2，0），P6（2，1），P7（2，2），‎ ‎∴，=（0，1），=（1，0），=（1，1），=（1，2），=（2，0），=（2，1），=（2，2），‎ ‎∴=2，=0，=2，=4，=0，=2，=4，‎ ‎∴•（i=1，2，…，7）的不同值的个数为3，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查平面向量的数量积运算，属基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（5分）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（　　）‎ A．无论k，P1，P2如何，总是无解 B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解 C．存在k，P1，P2，使之恰有两解 D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解 ‎【分析】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a1，b1，P2，a2，b2的关系，然后求解方程组的解即可．‎ ‎【解答】解：P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y=kx+1的斜率存在，‎ ‎∴k=，即a1≠a2，并且b1=ka1+1，b2=ka2+1，∴a2b1﹣a1b2=ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1=a2﹣a1‎ ‎，‎ ‎①×b2﹣②×b1得：（a1b2﹣a2b1）x=b2﹣b1，‎ 即（a1﹣a2）x=b2﹣b1．‎ ‎∴方程组有唯一解．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查一次函数根与系数的关系，直线的斜率的求法，方程组的解和指数的应用．‎ ‎　‎ 三、解答题（共5小题，满分74分）‎ ‎19．（12分）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．‎ ‎【分析】利用侧面展开图三点共线，判断△P1P2P3是等边三角形，然后求出边长，利用正四面体的体积求出几何体的体积．‎ ‎【解答】解：根据题意可得：P1，B，P2共线，∵∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2，∠ABC=60°，‎ ‎∴∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2=60°，‎ ‎∴∠P1=60°，同理∠P2=∠P3=60°，‎ ‎∴△P1P2P3是等边三角形，P﹣ABC是正四面体，‎ ‎∴△P1P2P3的边长为4，‎ VP﹣ABC==‎ ‎【点评】本题考查空间想象能力以及逻辑推理能力，几何体的侧面展开图和体积的求法．‎ ‎　‎ ‎20．（14分）设常数a≥0，函数f（x）=．‎ ‎（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；‎ ‎（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．‎ ‎【分析】（1）根据反函数的定义，即可求出，‎ ‎（2）利用分类讨论的思想，若为偶函数求出a的值，若为奇函数，求出a的值，问题得以解决．‎ ‎【解答】解：（1）∵a=4，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴调换x，y的位置可得，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．‎ ‎（2）若f（x）为偶函数，则f（x）=f（﹣x）对任意x均成立，‎ ‎∴=，整理可得a（2x﹣2﹣x）=0．‎ ‎∵2x﹣2﹣x不恒为0，‎ ‎∴a=0，此时f（x）=1，x∈R，满足条件；‎ 若f（x）为奇函数，则f（x）=﹣f（﹣x）对任意x均成立，‎ ‎∴=﹣，整理可得a2﹣1=0，‎ ‎∴a=±1，‎ ‎∵a≥0，‎ ‎∴a=1，‎ 此时f（x）=，满足条件；‎ 当a＞0且a≠1时，f（x）为非奇非偶函数 综上所述，a=0时，f（x）是偶函数，a=1时，f（x）是奇函数．当a＞0且a≠1时，f（x）为非奇非偶函数 ‎【点评】本题主要考查了反函数的定义和函数的奇偶性，利用了分类讨论的思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（14分）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．‎ ‎（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？‎ ‎（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．‎ ‎【分析】（1）设CD的长为x，利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论．‎ ‎（2）利用正弦定理，建立方程关系，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）设CD的长为x米，则tanα=，tanβ=，‎ ‎∵0，‎ ‎∴tanα≥tan2β＞0，‎ ‎∴tan，‎ 即=，‎ 解得0≈28.28，‎ 即CD的长至多为28.28米．‎ ‎（2）设DB=a，DA=b，CD=m，‎ 则∠ADB=180°﹣α﹣β=123.43°，‎ 由正弦定理得，‎ 即a=，‎ ‎∴m=≈26.93，‎ 答：CD的长为26.93米．‎ ‎【点评】本题主要考查解三角形的应用问题，利用三角函数关系式以及正弦定理是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎22．（16分）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．‎ ‎（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；‎ ‎（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；‎ ‎（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求E的方程，并证明y轴为曲线E的分隔线．‎ ‎【分析】（1）把A、B两点的坐标代入η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），再根据η＜0，得出结论．‎ ‎（2）联立 可得 （1﹣4k2）x2=1，根据此方程无解，可得1﹣4k2≤0，从而求得k的范围．‎ ‎（3）设点M（x，y），与条件求得曲线E的方程为[x2+（y﹣2）2]x2=1 ①．由于y轴为x=0，显然与方程①联立无解．把P1、P2的坐标代入x=0，由η=1×‎ ‎（﹣1）=﹣1＜0，可得x=0是一条分隔线．‎ ‎【解答】解：（1）把点（1，2）、（﹣1，0）分别代入x+y﹣1可得η=（1+2﹣1）（﹣1﹣1）=﹣4＜0，‎ ‎∴点（1，2）、（﹣1，0）被直线 x+y﹣1=0分隔．‎ ‎（2）联立 可得 （1﹣4k2）x2=1，根据题意，此方程无解，故有1﹣4k2≤0，‎ ‎∴|k|≥．当|k|≥时，对于直线y=kx，曲线x2﹣4y2=1上的点（﹣1，0）和（1，0）满足η=﹣k2＜0，即点（﹣1，0）和（1，0）被y=kx分隔．‎ 故实数k的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．‎ ‎（3）设点M（x，y），则 •|x|=1，故曲线E的方程为[x2+（y﹣2）2]x2=1 ①．‎ 对任意的y0，（0，y0）不是上述方程的解，即y轴与曲线E没有公共点． ‎ 又曲线E上的点（1，2）、（﹣1，2）对于y轴（x=0）满足η=1×（﹣1）=﹣1＜0，即点（﹣1，2）和（1，2）被y轴分隔，所以y轴为曲线E的分隔线．‎ ‎【点评】本题主要考查新定义，直线的一般式方程，求点的轨迹方程，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎23．（18分）已知数列{an}满足an≤an+1≤3an，n∈N*，a1=1．‎ ‎（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；‎ ‎（2）若{an}是等比数列，且am=，求正整数m的最小值，以及m取最小值时相应{an}的公比；‎ ‎（3）若a1，a2，…a100成等差数列，求数列a1，a2，…a100的公差的取值范围．‎ ‎【分析】（1）由题意可得：，，代入解出即可；‎ ‎（2）设公比为q，由已知可得，，由于，可得 ‎．而，可得，再利用对数的运算法则和性质即可得出．‎ ‎（3）设公差为d，由已知可得3[1+（n﹣2）d]，其中2≤n≤100，即，解出即可．‎ ‎【解答】解；（1）由题意可得：，∴；‎ 又，∴3≤x≤27．‎ 综上可得：3≤x≤6．‎ ‎（2）设公比为q，由已知可得，，又，‎ ‎∴．因此，‎ ‎∴，‎ ‎∴m=1﹣logq1000==1﹣=≈7.29．‎ ‎∴m的最小值是8，因此q7=，‎ ‎∴=．‎ ‎（3）设公差为d，由已知可得≤1+nd≤3[1+（n﹣1）d]‎ 即，‎ 令n=1，得．‎ 当2≤n≤99时，不等式即，．‎ ‎∴．‎ 综上可得：公差d的取值范围是．‎ ‎【点评】本题综合考查了等差数列与等比数列的通项公式、不等式的性质、对数的运算法则等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．‎ ‎　‎